精品解析：陕西省陕西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期初考试数学试卷

高2026届高二第一学期期初考试数学试题 （总分：120分，时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求，从而可求. 【详解】由题设有，故，故， 故选：D 2. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率和概率的关系得到答案. 【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个， 故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：B 3. 已知平面平面是平面外两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中的直线与平面以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，平面平面是平面外的直线，故，A正确， 对于B，若，平面平面则，故B正确， 对于C，若，则或者相交或者异面，故C错误， 对于D，若，平面平面，则，故D正确， 故选：C 4. 有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15例”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据判断，一定符合该标志的是（ ） A. 甲地：均值为4，中位数为3 B. 乙地：均值为5，方差为10 C. 丙地：中位数为3，众数为2 D. 丁地：均值为3，方差大于0 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用均值，中位数，众数，方差的意义逐一判断各个选项即得.. 【详解】对于A，均值为4，中位数为3，不能保证10个数据中每个数据都不超过15， 如前4天每天新增疑似病例都为1，第5至第10天每天新增疑似病例数依次为2，4，4，5，5，16， 满足均值为4，中位数为3，而第10天新增疑似病例数超过15，A不是； 对于B，均值为5，方差为10时，令这10个数据依次为，则， ，则，即，因此所有数据都不超过15，B是； 对于C，中位数为3，众数为2，不能保证10个数据中每个数据都不超过15， 如前5天每天新增疑似病例都为2，第6至第10天每天新增疑似病例数依次为4，4，4，4，24， 满足中位数为3，众数为2，但第10天新增疑似病例数超过15，C不是； 对于D，均值为3，方差大于0，不能保证10个数据中每个数据都不超过15， 如前9天每天新增疑似病例都为0，第10天新增疑似病例数为30， 满足均值为3，方差大于0，但第10天新增疑似病例数超过15，D不是. 故选：B. 5. 把一根长度为7的铁丝截成3段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设构成三角形的事件为，先求出基本事件数有15种，其中能构成三角形的情况有6种情况，从而可求能构成三角形的概率； 【详解】所有的“三段铁丝的长度”的情况有： ①三边长度为“1，1，5”：考虑顺序后包含3种基本事件； ②三边长度为“1，2，4”：考虑顺序后包含6种基本事件； ③三边长度为“1，3，3”：考虑顺序后包含3种基本事件； ④三边长度为“2，2，3”： 考虑顺序后包含3种基本事件； 共计15种，设构成三角形的事件为， 其中能构成三角形的情况有2种情况：“1，3，3”；“2，2，3”，考虑顺序后包含6种基本事件， 则所求的概率是． 故选：A． 6. 设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（ ） A. 若确定，则唯一确定 B. 若确定，则唯一确定 C. 若确定，则唯一确定 D. 若确定，则唯一确定 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，将整理成关于的二次函数，利用二次函数的最小值建立方程，整理成，即可分析得出结论. 【详解】由题意知，， 设，因， 则当时，， 即，化简得：， 因，故若确定，则唯一确定，D正确； 而当确定，由正弦函数的图象知，可能有两个值，即B错误； 又因与没有关联，故A,C错误. 故选：D. 7. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 8. 三棱锥的侧棱是它的外接球的直径，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是三棱锥外接球的直径，先找到垂直条件，求出，，再作出三棱锥的高，在中，用余弦定理求得，再结合垂直关系求得，设，表示出，在中，用余弦定理列等式求得，再套入三棱锥体积公式求解即可. 【详解】 取的中点，则三棱锥的外接球是球，半径为， 因为是球的直径，在球的球面上，所以， ，， 过点作平面，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 又，平面，，所以平面， 又平面，所以， 在中，由余弦定理， 所以，，设， 因为平面，平面，所以， ，， 在中，由余弦定理， 解得，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于底面三角形运用余弦定理的处理，以及三棱锥高的求解. 二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 已知、都是复数，下列正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D. 【详解】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误； 对于C：令、，则，， 所以，但是，故C错误； 设，， 所以， 则 ， 又， 所以，故B正确； ，又， 所以，故D正确. 故选：BD 10. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断. 【详解】已知事件A，B发生的概率分别为，， 对于A，若A与B互斥，则，A选项正确； 对于B，若，则，B选项错误； 对于C，若， 则，有A与B相互独立，C选项正确； 对于D，若A与B相互独立，有， 则，D选项正确. 故选：ACD. 11. 某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 直方图中x的值为0.030 B. 估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分 C. 估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分 D. 估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由各组的频率和为1求解，对于B，利用平均数的定义求解判断，对于C，利用众数的定义求解，对于D，先判断中位数所在的区间，再列方程求解. 【详解】对于A，由频率分布直方图可知，，解得，所以A正确， 对于B，由频率分布直方图可知该市普法知识竞赛成绩的平均数为 分，所以B错误， 对于C，由频率分布直方图可知该市普法知识竞赛成绩的众数为95分，所以C正确， 对于D，因为前3组的频率和为，前4组的频率和为， 所以中位数在80到90之间，设中位数，则，解得，所以D错误， 故选：AC 12. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的体积之比为 B. 四面体CDEF的体积的取值范围为 C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A；利用建立函数关系判断B；求出球心O到平面DEF距离的最大值判断C；令点P在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q，设，利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答. 【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确； 对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点， 四面体CDEF的体积，B错误； 对于C，过作于，如图，而，则， 又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则， 又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误； 对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接， 当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立， 因此，， 则， 令，则，而，即， 因此，解得，所以的取值范围为，D正确. 故选：AD 【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图. 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 三、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 从某中学抽取12名同学，他们的数学成绩如下：87，85，92，90，83，92，87，98，96，84，99，78（单位：分），则这12名同学数学成绩的第75百分位数为________． 【答案】94 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可得解. 【详解】将这组数据从小到大排列为78，83，84，85，87，87，90，92，92，96，98，99， 又，所以第75百分位数为． 故答案为：94. 14. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是__． 【答案】8 【解析】 【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可. 【详解】解：因为且， 所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆， 所以，表示圆上的点和点的距离， 因为圆心到点的距离为， ， 故答案为： 15. 直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】依题意，， 所以点到的距离. 故答案为： 16. 在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为______m. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可确定，，设尖塔高为，则，，在中解三角形即可. 【详解】 如图，尖塔为，设， 则由题意可知，，， 在中，由余弦定理可知， 即，解得，即，， 由线段上的点处测得塔顶的仰角为最大可知， 故，即， 得， 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共56分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． （1）证明：平面； （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 【答案】（1）证明：如图所示： 分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出； （2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 [方法一]：分割法一 如图所示： 分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍． 因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积 ． [方法二]：分割法二 如图所示： 连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积 18. 面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为.求： （1）他们能研制出疫苗的概率； （2）至多有一个机构研制出疫苗的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件概率公式和相互独立乘法概率公式求解即可； （2）利用对立事件概率公式、互斥事件的概率加法公式和相互独立乘法概率公式求解即可. 【小问1详解】 设“A机构在一定时期研制出疫苗”为事件D，“B机构在一定时期研制出疫苗”为事件E， “C机构在一定时期研制出疫苗”为事件F， 则，，， 则他们能研制出疫苗的概率为 ； 【小问2详解】 至多有一个机构研制出疫苗的概率为 . 19. 记内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再判断为锐角，即可求出、，从而求出，即可得解； （2）依题意可得，将两边平方，结合及数量积的运算律求出、，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为，由余弦定理可得， 又，所以， 又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角， 又，所以， 所以 ， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得，，且， 因为， 所以 ， 所以，， 所以． 20. 某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据； 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第i个女生的身高为（，2，3，…，10），样本平均数，方差. 参考数据：，，. （1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； （2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值； （3）如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差. 【答案】（1）40； （2）； （3）平均数为159，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据样本数据在范围内的占比易求得女生总体在此范围内的人数； （2）先利用加权平均数公式求出总样本的平均数，再利用混合样本的方差公式计算,最后对，进行估计即可； （3）先判断169为离群值，再由平均数公式计算剩余9人的身高平均数，利用方差公式求出，再由公式计算出方差. 【小问1详解】 因女生样本中，身高在范围内的占比为， 故该校高一女生身高在范围内的人数估计为； 【小问2详解】 记总样本的平均数为，标准差为， 由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为，方差为， 女生样本（10人）的身高平均数为，方差， 则， ， 故； 【小问3详解】 因，，则，即， 约为，由样本数据知，，为离群值， 剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：； 由可得，， 则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：. 21. 如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （2）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届高二第一学期期初考试数学试题 （总分：120分，时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面平面是平面外两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15例”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据判断，一定符合该标志的是（ ） A. 甲地：均值为4，中位数为3 B. 乙地：均值为5，方差为10 C. 丙地：中位数为3，众数为2 D. 丁地：均值为3，方差大于0 5. 把一根长度为7的铁丝截成3段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（ ） A. 若确定，则唯一确定 B. 若确定，则唯一确定 C. 若确定，则唯一确定 D. 若确定，则唯一确定 7. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥的侧棱是它的外接球的直径，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 已知、都是复数，下列正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 10. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 11. 某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 直方图中x的值为0.030 B. 估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分 C. 估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分 D. 估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分 12. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的体积之比为 B. 四面体CDEF的体积的取值范围为 C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 三、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 从某中学抽取12名同学，他们的数学成绩如下：87，85，92，90，83，92，87，98，96，84，99，78（单位：分），则这12名同学数学成绩的第75百分位数为________． 14. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是__． 15. 直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为______． 16. 在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为______m. 四、解答题：（本题共5小题，共56分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． （1）证明：平面； （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 18. 面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为.求： （1）他们能研制出疫苗的概率； （2）至多有一个机构研制出疫苗的概率. 19. 记内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 20. 某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据； 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第i个女生的身高为（，2，3，…，10），样本平均数，方差. 参考数据：，，. （1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； （2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值； （3）如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差. 21. 如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $