精品解析：2024年贵州省黔东南苗族侗族自治州 从江县停洞中学中考一模数学试题

2024年从江县停洞中学中考一模数学试卷 1．全卷共8页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 贵州省剑河县传统美术剪纸（苗族剪纸）是国家级非物质文化遗产之一．下列剪纸图中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 德余高速乌江特大桥位于铜仁市思南、石阡及遵义市凤冈三县交界处，是目前世界上最大跨径上承式钢管混凝土拱桥，全长公里，双向四车道，设计速度每小时千米，项目总投资概算亿元．亿用科学记数法表示正确的是（ ） A B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 7. 为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，继续巩固贵阳市生态文明建设的成果，贵阳市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级，降低污染物排放，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（ ） A. 月份的利润为万元 B. 月份该厂利润达到万元 C. 技术升级完成前后共有个月的利润低于万元 D. 技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元 8. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（ ） A. 5 B. 5或 C. 或 D. 5或 10. 如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，点为的中点，连接，若，则的周长是（ ） A. 12 B. C. D. 11. 如图，正方形的边长为，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，与轴交于点．若点恰好是的中点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 __． 14. 已知是方程的根，则代数式的值为_________. 15. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是___________． 16. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解分式方程：． 18. 小惠自编一题：如图，在菱形中，对角线交于点，求证：． 并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：四边形是菱形， ，，， 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 19. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 m 7 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）补齐乙队成绩条形统计图； （3）①甲队成绩的中位数为_________，乙队成绩的中位数为___________； ②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 20. 为了提升学生防灾减灾意识，某学校组织学生到贵州省消防总队进行参观学习．同学们现场观看了消防员的消防演习，小明回家后，想利用自己所学的知识解决下面问题：如图（1），线段是消防车上的云梯，可自由伸缩，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为． （1）若，求此时云梯的长； （2）如图（2），云梯上的消防员为了到达上一层楼，联系下方的消防员调整云梯的角度，使得，若云梯伸长的速度为米/秒，则云梯完成伸长最快需要多长时间？（结果精确到小数点后一位）（参考数据：，，） 21. 如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围． 22. 随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 23. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想度数，并证明你的结论． 24. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 25. 【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： （1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： （3）证明是一条三等分线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年从江县停洞中学中考一模数学试卷 1．全卷共8页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得9的算术平方根． 【详解】解：9的算术平方根是3， 故选C 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键． 2. 贵州省剑河县传统美术剪纸（苗族剪纸）是国家级非物质文化遗产之一．下列剪纸图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义，找出对称轴，对称中心是解题的关键． 中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B ． 3. 德余高速乌江特大桥位于铜仁市思南、石阡及遵义市凤冈三县交界处，是目前世界上最大跨径上承式钢管混凝土拱桥，全长公里，双向四车道，设计速度每小时千米，项目总投资概算亿元．亿用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，形式为，是小数点向左（或向右）移动的位数，当小数点向左移动时，为正数；当小数点向右移动时，为移动位数的相反数，由此即可求解． 【详解】解：亿， 故选：C ． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，完全平分公式，二次根式的化简，合并同类项，根据整数的混合运算即可求解． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：A ． 5. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键． 6. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据SSS，SAS，AAS逐一判定，其中SSA不一定符合要求． 【详解】A. ．根据SSS一定符合要求； B. ．根据SAS一定符合要求； C. ．不一定符合要求； D. ．根据AAS一定符合要求． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，AAS三个判定定理． 7. 为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，继续巩固贵阳市生态文明建设的成果，贵阳市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级，降低污染物排放，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（ ） A. 月份的利润为万元 B. 月份该厂利润达到万元 C. 技术升级完成前后共有个月的利润低于万元 D. 技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，根据题意，分别求出一次函数、反比例函数解析式，结合图示中的信息代入求值比较即可求解． 【详解】解：∵技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，，即， ∵完成后是一次函数图像的一部分，设一次函数解析式为，且点、在一次函数图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴A、月份的利润为万元，原选项错误，不符合题意； B、当时，（万元）万元，原选项错误，不符合题意； C、∵完成后是一次函数图像的一部分， ∴， 解得，，且， ∴5月的利润低于万元； 技术升级完成前利用为100万元时，，则当时，这两个月的利润低于100万元； ∴技术升级完成前后有3月、4月、5月共3个月的利润低于 万元，故原选项错误，不符合题意； D、技术升级完成后的利润为， ∴（万元）， ∴技术升级完成后每月利润比前一个月增加 万元，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 8. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为； 故选C． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 9. 定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（ ） A. 5 B. 5或 C. 或 D. 5或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分两边情况：时，，；时，，，据此分别求出的值即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，因式分解法和公式法解一元二次方程，解答此题的关键是注意分两种情况讨论． 【详解】解：表示，中的较大值，， 当时，，， ， 解得或，舍去）． 当时，，， ， 解得或，舍去）． 综上，可得若， 则的值是5或． 故选：B． 10. 如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，点为的中点，连接，若，则的周长是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的“三线合一”和等角对等边，三角形的中位线的性质，勾股定理的综合．根据作图可得是的平分线，由此可得，点是中点，运用勾股定理可得，根据点为中点，可得，，再根据三角形的周长计算方法即可求解． 【详解】解：根据作图可得，是的角平分线， ∴， ∵，即是等腰三角形， ∴，点是的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：D ． 11. 如图，正方形的边长为，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，与轴交于点．若点恰好是的中点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点作轴于点，根据是的中点，可得，在中，运用勾股定理可得，根据题意可得，由此可算出，，因为点在第四象限，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是的中点，， ， 在中， ， ∵， ∴， ，即， ，， ， 点在第四象限， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 __． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案． 【详解】解：由题意得：点B表示的数是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键． 14. 已知是方程的根，则代数式的值为_________. 【答案】4046 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， 故答案为：4046． 15. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是___________． 【答案】－1 【解析】 【分析】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段求解． 【详解】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F 由题意知，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义，添加辅助线构建相似三角形是解题的关键． 16. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）6；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解分式方程， （1）先去绝对值，计算负整数指数幂，去括号，再根据实数的混合运算法则即可求解； （2）将分式化为一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法进行求解，最后检验根是否符合题意即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 原方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得，， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 18. 小惠自编一题：如图，在菱形中，对角线交于点，求证：． 并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：四边形是菱形， ，，， 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】赞成小洁的说法；补充，证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，正方形的判定与性质，根据有一个角是直角的菱形是正方形，正方形的对角线相等即可求解． 【详解】解：赞成小洁的说法，补充， 证明：∵四边形菱形，， ∴菱形是正方形， ∴． 19. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 m 7 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）补齐乙队成绩条形统计图； （3）①甲队成绩的中位数为_________，乙队成绩的中位数为___________； ②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①9分，8分②，，中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分比，结合圆心角的计算解答即可． （2）根据样本容量，求得7分的人数补图即可． （3）①根据有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数为中位数计算即可． ②根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量是（人）， ∴（人），， 故答案为：；12． 【小问2详解】 ∵（人）， ∴补图如下： 【小问3详解】 ①∵甲队的第10个，11个数据都是9分， ∴中位数是（分）； ∵乙队的第10个，11个数据都是8分， ∴中位数是（分）； 故答案为：9分，8分． ②②（分）， （分）， 故从中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好． 【点睛】本题考查了中位数，条形统计图，扇形统计图，熟练掌握中位数，平均数，扇形统计图，条形统计图的基本计算是解题的关键． 20. 为了提升学生防灾减灾意识，某学校组织学生到贵州省消防总队进行参观学习．同学们现场观看了消防员的消防演习，小明回家后，想利用自己所学的知识解决下面问题：如图（1），线段是消防车上的云梯，可自由伸缩，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为． （1）若，求此时云梯的长； （2）如图（2），云梯上的消防员为了到达上一层楼，联系下方的消防员调整云梯的角度，使得，若云梯伸长的速度为米/秒，则云梯完成伸长最快需要多长时间？（结果精确到小数点后一位）（参考数据：，，） 【答案】（1）云梯的长度为米 （2）云梯完成伸长最快需要秒 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）在中，，，根据，可得云梯伸长的长度，因为云梯伸长的速度为1米/秒，根据路程除以速度即可求出时间． 【小问1详解】 解：在中，，， 中， 米， 答：此时云梯的长度为米； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 又， ， 云梯伸长的长度约为：（米）， 又云梯伸长的速度为1米/秒， 云梯完成伸长最快需要3.3秒． 21. 如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例与几何图形的关系，根据几何图形面积的计算方法求反比例函数的值， （1）如图所示，过点作轴于点，设，根据反比例函数图象的性质可得四边形是矩形，，根据平行四边形的性质可得，结合，可得求出，由此可得，即可求解； （2）设，点到的距离为，由三角形的面积公式得，再根据点位于第三象限的特点即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作轴于点，设， ∵平行四边形中，边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：根据题意，设， ∵， ∴设点到的距离为，则， ∴， ∵点位于第三象限，即，且， ∴，则， ∴． 22. 随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 （2）9月份后9天日均接待游客人数最多是0.1万人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，利用该景区8月份游客人数该景区6月份游客人数（这两个月中该景区游客人数的月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，根据9月份该景区游客人数的增长率不会超过前两个月的月平均增长率，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设9月份后9天日均接待游客人数是y万人， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最大值为． 答：9月份后9天日均接待游客人数最多是万人． 23. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】（1）1 （2） 证明：是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ； （3） 解：，证明如下： 如图，连接， ， ， 直径垂直弦， ，， 又， ， ， 设，， 则， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ， ． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得； （2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【小问1详解】 解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 24. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 25. 【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： （1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： （3）证明是的一条三等分线． 【答案】（1） （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证； （3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：由题意可知； 【小问2详解】 证明：由折叠的性质可得：，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，， ∵折痕，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $