2.5有理数的乘方　讲义　　2024—2025学年鲁教版（五四制）数学六年级上册

第二章 有理数及其运算 2.5有理数的乘方 知识点一 有理数乘方的意义 一般地，个相同的因数相乘，记作，即. 这种求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，叫做底数，叫做指数，读作“的次幂”（或“的次方”）. 注意：①一个数可以看成这个数本身的1次方，如2就是，就是，指数1通常省略不写； ②当底数是负数或分数时必须加上括号，如不能写成，不能写成. 例1 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么. （1）6×6×6；（2）2.2×2.2；（3）(-3)×(-3)×(-3)×(-3)；（4）. 知识点二 有理数的乘方运算及符号法则 1.有理数的乘方运算：可根据乘方的意义将其转化成乘法运算，利用有理数乘法法则来进行计算. 2.符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0. 提示：①有理数的乘方运算首先要确定符号，然后计算底数绝对值的幂. ②平方等于本身的数是0,1；立方等于本身的数是0，±1. 归纳：与，与的区别：表示个相乘，而表示个相乘的积的相反数；表示个相乘，而表示的次幂与的商. 例2 计算：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）. 知识点三 有理数的乘除、乘方的混合运算 先算乘方，后算乘除，有括号的要先算括号里的，遇到高次乘方时，要注意巧算：（1）看底数是否互为倒数（或负倒数）的关系，如果不是，考虑是否可以转化为这种关系，从而约分化简再乘方；（2）看底数是否出现相反数关系. 例3 计算：（1）；（2）. 知识点四 科学记数法 1.科学记数法的概念：一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.如125 963 000 000. 2.用科学记数法表示大数：科学记数法的表示形式为. （1）的取值范围为，所以是1位的整数或者是整数位数只有一位的小数.如：. （2）值的确定方法有两种：①小数点向左移动几位就为几.②的值比原来的整数位数少1. 提示：①科学记数法表示的数只改变数的形式，并没有改变数的大小.②对于含有记数单位并需转换单位的科学记数法，利用1亿，1万，1千等来表示，可使问题简化. 例4 用科学记数法表示下列各数：（1）199 800 000；（2）2 009 000 000；（3）2.4万. 知识点五 把用科学记数法表示的大数还原为原数 还原用科学记数法表示的大数的方法： 法1：根据10的指数来确定，是几，就把小数点向右移动几位，不够用0补足. 法2：把用科学记数法表示的大数中的指数加上1，就得到了原数的整数位数. 法3：先算乘方，将写成，再乘即得原数. 例5 将用科学记数法表示的大数还原：（1）；（2）. 习题追练 题型一 有理数的乘方运算 例1 下列各数中最大的是（ ） A. B. C. D. 练1 计算：（1）； （2）； （3）； （4）（为正整数）. 题型二 有理数的乘方在生活中的应用 例2 1 m长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的木棒的一半，如此截下去，第6次截完后剩下的木棒有多长？ 练2 某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次（由1个分裂成2个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多长时间？ 题型三 规律探究题 例3 观察下列各式：，，，，，，，，…. 通过观察，用你发现的规律写出的末位数字： . 练3 观察下列等式：，，，，则 ， . 例3-1 （竞赛题）问题：你能比较与的大小吗？＝ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较和的大小（是非零自然数）.然后，我们从，，，…这类简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，猜想出结论. （1）通过计算比较下列每组中两个数的大小：（填“＞”“＜”或“＝”） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；…. （2）由（1）可以猜测与的大小关系：当 时，；当 时，. （3）根据上面的猜想，可以知道： . 题型四 有理数乘方与其他知识的综合 例4 若和互为相反数，和互为倒数，的绝对值和倒数均是它本身，的相反数是它本身，求的值. 练4 若，求的值. 题型五 科学记数法在生活中的应用 例5 某市计划修建一个长为 m，宽为 m的矩形市民休闲广场.（1）请计算该广场的面积（结果用科学记数法表示）；（2）如果用一种60 cm×60 cm正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖. 练5 一台计算机的运算速度为次/s.求这台计算机 s运算了多少次. 题型六 有关科学记数法的创新题 例6 先计算，然后根据计算结果回答问题. 计算： ； ； ； ； 已知：式子（其中，，均为大于或等于1且小于10的数，，，均为正整数）成立，你能说出，，之间存在的等量关系吗？ 练6 将下列各数按从小到大的顺序排列：，，，. 综合提升练 1.比较和，下列说法正确的是（ ） A.它们的底数相同，指数也相同 B.它们的底数相同，但指数不相同 C.它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 D.虽然它们的底数不同，但运算结果相同 2.下列各组数中，数值相等的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 3.光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于 km，下列正确的是（ ） A. B. C.是一个12位数 D.是一个13位数 4.定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ） A.-5 B.-3 C.5 D.3 5.某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级的序号，其班级序号为. 图中第一行数字从左到右依次为0,1,0,1，班级序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ） A. B. C. D. 6.我国自主研发的500 m口径球面射电望远镜右“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250 000 m2.用科学记数法表示数据250 000为 . 7.一个整数815 550…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 . 8.若，互为相反数，，互为倒数，且，则 . 9.，，，，，….通过观察，按照你所发现的规律，的末尾数字为 . 10.计算：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）（为正整数）. 11.在《计算之书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，求刀鞘数. 12.阅读材料，求的值. 解：设①，将等式①的两边同乘2， 得②， 用②-①得，即， 即.请仿照此法，解答下列问题： （1）请直接填写的值为 ； （2）求的值； （3）求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$