精品解析：甘肃省天水市第九中学2024-2025学年高一上学期入学检测考试数学试题

天水市第九中学2024级新生入学检测考试 数学试题 （考试时间100分钟，总分100分） 一、选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 4. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知抛物线的图像如图所示则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （m为任意实数） 9. 如图，在菱形ABCD中，，O为对角线的交点将菱形ABCD绕点O逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形给出下面四个结论，正确结论的是（ ） A. 该八边形各边长都相等 B. 该八边形各内角都相等 C. 点O到该八边形各顶点的距离都相等 D. 点O到该八边形各边所在直线的距离都相等 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 10. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为__________． 11. 因式分解__________． 12. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. （1）先化简，再求值：，其中； （2）解不等式组： 14. 如图，在中，，D是BC的中点，． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若，求EF的长． 15. 天一阁（图1）位于天水市麦积区的马跑泉公园内，共七级，为砼框架式结构，造型独特别致，巍巍峨峨，傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量天一阁高度AB的实践活动.A为天一阁的顶端，，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得A点仰角为，向西平移9.8米至点D，测得A点仰角为，请根据测量数据，求天一阁的高度AB.（结果保留整数，参考数据：） 16. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知A点坐标为． （1）求a，k的值； （2）将直线向上平移m（）个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若，求m的值． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线BC． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段（点N在直线BC下方），已知，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水市第九中学2024级新生入学检测考试 数学试题 （考试时间100分钟，总分100分） 一、选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可. 【详解】A是中心对称图形，不是轴对称图形，B既是轴对称图形又是中心对称图形， C既不是轴对称图形又不是中心对称图形，D是轴对称图形但不是中心对称图形， 故选：B 2. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 3. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合三角形的中位线定理，即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以是的中位线， 又因为，根据三角形的中位线定理，可得. 故选：C. 4. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列方程即可. 【详解】买了甜果x个，苦果y个，每个甜果、苦果的单价分别为文钱， 由题意，得：； 故选：A． 5. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分别代入到反比例函数中，求出的值再比较大小可得. 【详解】由题意知，将分别代入到反比例函数中 得，解之可得， 所以. 故选：B 6. 若是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意知，正实数，且满足， 可得，即，所以. 故选：A. 7. 直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和可得出的度数，最后根据邻补角的意义即可求解. 【详解】正六边形每个内角为：， 六边形的内角和也为：， ， ， ， . 故选：. 二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知抛物线的图像如图所示则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （m为任意实数） 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】抛物线开口往下，， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和，∴对称轴为，， ，，故选项A错误． ∵，∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，，∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，，， ，故选项D正确． 故选：D． 9. 如图，在菱形ABCD中，，O为对角线的交点将菱形ABCD绕点O逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形给出下面四个结论，正确结论的是（ ） A. 该八边形各边长都相等 B. 该八边形各内角都相等 C. 点O到该八边形各顶点的距离都相等 D. 点O到该八边形各边所在直线的距离都相等 【答案】AD 【解析】 【分析】连接，根据可判断A；求出、可判断B；连接，根据，可得可判断C；点O到该八边形各边所在直线的距离都等于可判断D. 【详解】因为菱形中，所以， ，根据对称性在对角线上， 在对角线上，且，， 对于A，根据轴对称的性质，可知， 故判断是否与相等即可，如图，连接，则， 又，所以，所以， 可得该八边形各边长都相等，故A正确； 对于B，如下图，因为，而， 所以该八边形各内角并不是都相等，故B错误； 对于C，连接，根据对称性，，，， 所以，可得，又， 所以，所以，可得点O到该八边形各顶点的距离并不是都相等， 故C错误； 对于D，点O到该八边形各边所在直线的距离都等于，所以点到该八边形各边所在直线的距离都相等，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用图形的对称性解题. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 10. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为__________． 【答案】89 【解析】 【分析】根据众数概念可解. 【详解】89出现次数最多，共3次，根据众数概念知道众数为89. 故答案为：89. 11. 因式分解__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接因式分解即可. 【详解】. 故答案为：. 12. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则__________． 【答案】108 【解析】 【分析】利用弧长公式根据点P移动的弧长等于3个周长，列出关于的方程，解方程即可. 【详解】∵的周长为， ∴顺时针转动3周时，点P移动的弧长为， ∴，解得. 故答案为：108. 四、解答题：本题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. （1）先化简，再求值：，其中； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简式子，再把代入求值即可. （2）利用一元一次不等式组的解法直接求解即可； 【详解】（1）原式， 当时，原式． （2）由，得， 由，得，解得， 所以不等式组的解集为； 14. 如图，在中，，D是BC的中点，． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由几何关系和勾股定理求出，根据等面积法得出，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 15. 天一阁（图1）位于天水市麦积区的马跑泉公园内，共七级，为砼框架式结构，造型独特别致，巍巍峨峨，傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量天一阁高度AB的实践活动.A为天一阁的顶端，，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得A点仰角为，向西平移9.8米至点D，测得A点仰角为，请根据测量数据，求天一阁的高度AB.（结果保留整数，参考数据：） 【答案】31米 【解析】 【分析】设平移后得到，延长交于点，设，分别解，表示出的长，列出方程进行求解即可． 【详解】设平移后得到，延长交于点， 则，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，∴，∴， ∴； 答：天一阁的高度约为米． 16. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知A点坐标为． （1）求a，k的值； （2）将直线向上平移m（）个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若，求m的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入直线和双曲线方程求解可得； （2）根据平移可得直线的方程，然后求出坐标，结合可得点坐标，然后代入方程即可得解. 【小问1详解】 由题知，，解得. 【小问2详解】 由题知，直线的方程为， 令得，则，令得，即， 因为，所以点坐标为， 则，解得（负根已舍去）. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线BC． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段（点N在直线BC下方），已知，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法转化为方程组求解； （2）过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，推出，求出的最大值，可得结论； （3）设，则，求出点在抛物线上时，的值，可得结论. 【小问1详解】 抛物线与轴交于两点， ，解得， 抛物线的解析式为. 【小问2详解】 过点作于点，交于点， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的值最大时，的值最大， 设，则， ， ， 当时，的值最大，的最大值为， 的最大值，此时. 【小问3详解】 设，则， 当点在抛物线上时，， ， 解得， 线段与抛物线有交点， 满足条件的点的横坐标的取值范围为：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $