精品解析：江苏省南通市海门中学2024届高三下学期4月学情调研数学试卷

江苏省海门中学2024届高三第二学期学情调研试卷 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 现有随机选出20个数据，统计如下，则（ ） 7 24 39 54 61 66 73 82 82 82 87 91 95 8 98 102 102 108 114 120 A. 该组数据的众数为102 B. 该组数据的极差为112 C. 该组数据的中位数为87 D. 该组数据的80%分位数为102 【答案】D 【解析】 【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据众数，极差，百分位数的定义即可判断. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列： 7，8，24，39，54，61，66，73，82，82， 82，87，91，95，98，102，102，108，114，120， 对于A，出现次数最多的是82，所以众数是82，故A错误； 对于B，极差为，故B错误； 对于C，，第10个数和第11个数的平均数为中位数， 即，故C错误； 对于D，，第16个数和第17个数的平均数为80%分位数， 即，故D正确. 故选：D. 2. 集合，，，则集合中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解. 【详解】解不等式，可得， 所以，整数的取值有、、， 又因为集合，， 则，即集合中的元素个数为. 故选：B. 3. 已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（ ） A. 7 B. 9 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式可得结果. 【详解】设等比数列的公比为q，依题意有，又， 当时，，故舍去， 当时，因为，则， 化简得，即且，， 故， 故选：C. 4. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【详解】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 5. 记函数（）的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，进而的平移后的函数为，根据的图象关于轴对称，求得，即可得到答案. 【详解】由函数最小正周期为，且， 所以，因为，可得， 所以的图象向右平移个单位后得到， 因为所得函数的图象关于轴对称，所以， 可得，因为，所以的最小值为. 故选：D. 6. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线定义可求出，根据三角形相似即可求出. 【详解】设,， 由，根据抛物线定义可得， 故， ， 过，分别作轴的垂线，过作轴的垂线，垂足为， 明显， 所以. 故选：D 7. 如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有（ ）种． A. 36 B. 48 C. 54 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：由题意，如图，假设5个区域为分别为1、2、3、4、5， 分2种情况讨论： 当选用3种颜色花卉的时，2、4同色且3、5同色，共有涂色方法种， 当4种不同颜色的花卉全选时，即2、4或3、5用同一种颜色，共有种， 则不同的种植方法共有种； 故选：D. 8. 已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 函数的图象关于直线对称 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取可判断C，对于B，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【详解】对于A，令，可得，得， 令，，代入已知等式得， 可得，结合得， 所以，故A错误； 对于D，因为，令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故D正确； 对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式： ，， 两式相加易得，所以有， 即， 有， 即，所以为周期函数，且周期为， 因为，所以，所以，， 所以， 所以 ，故B错误； 对于C，取，，满足及， 所以，又， 所以函数的图像不关于直线对称，故C错误； 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分布列的性质求得，从而利用期望与方差公式与性质即可得解. 【详解】由分布列的性质知，则， 故，故A正确； ，故C错误； 则，故B正确； 所以，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知，双曲线C：，则（ ） A. 可能是第一象限角 B. 可能是第四象限角 C. 点可能在C上 D. 点可能在C上 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程的特征，可得，即在第三象限或第四象限，分情况讨论得解. 【详解】根据题意，可得，即，即且， 所以在第三象限或第四象限.故A错误，B正确； 当在第三象限时，有，，， 双曲线方程为，当即，时，方程为， 所以点在双曲线上，故D正确； 当在第四象限时，有，，， 双曲线方程，因为，所以点不在双曲线上，故C错误. 故选：BD. 11. 已知正方体的棱长为是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，则下列判断正确的是（ ） A. 时，截面面积为 B. 时， C. 随着的增大先减小后增大 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，易于判断截面形状，计算即得其面积；对于B，可由A项图形进行对称性判断得到；对于C，要结合A项中点从点运动到点的过程中，截面形状的变化，以及B项中的结论合并进行判断；对于D，要在选项C的基础上判断取最大值时，对应于或时的情形，故只需要求出这两种情形下的的值即得. 【详解】 如图1，当时，点是的中点，易得截面为正六边形．其棱长为，故截面面积为故A项错误； 由对称性可知．当时．平面分两部分是全等的，故体积相等，故B项正确； 如图2．当从0变化到1时．截面从四边形变化至五边形（其中为靠近点的三等分点）． 结合B项可知，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C项正确； 取最大值时对应为，或时情形． 当时，不妨记为截面左上角的部分几何体，则, 则,此时； 当时，不妨记为截面左上角的部分几何体，则 , 则，此时. 的最大值为，故D项正确． 故选：BCD． 【点睛】思路点睛：本题重点考查正方体的截面面积和分割成的几何体的体积问题，属于难题. 解题思路在于要有从特殊到一般的思想，先考虑点为的中点时的截面和分割成的几何体体积的关系，再考虑点分别与点，点重合时的截面形状以及分割成的两部分的体积，总结出体积变化规律即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中常数项为80，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】计算展开式的通项公式，计算通项公式中含的项，结合，可求出常数项，代入计算即可求出的值. 【详解】解：由展开式的通项公式为， 令，无整数解； 令，解得，； 令，解得，； ∴展开式中的常数项为，解得. 故答案为：. 13. 在中，，是的平分线，且，则实数的取值范围_____. 【答案】 【解析】 【分析】在和中，利用正弦定理可求得；利用余弦定理可构造方程组，得到，结合的范围和余弦函数的值域可求得的取值范围. 【详解】 ，， 在和中，由正弦定理得：，， ，即； 设，则，， 在和中，由余弦定理得：，， 即，，； ，，，. 故答案为：. 14. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点，建立坐标系，利用相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得. 【详解】解：如图所示： 设,因,故， 又， 由余弦定理，， 即， 设椭圆中心为，作圆锥的轴截面，与底面直径交于，与椭圆交于，， 连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系， 过点作， 则， ， 则， ， 则， 又由得：， , 从而， 则得， 不妨设椭圆方程，把和点坐标代入方程， 解得， 则， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程求得半短轴长. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解， （2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解. 【小问1详解】 由于的斜率为，所以， 又,故，解得， 【小问2详解】 由（1）知，所以， 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故当时，取最小值， 要使恒成立，故，解得， 故的取值范围为 16. 抽屉里装有5双型号相同的手套，其中2双是非一次性手套，3双是一次性手套，每次使用手套时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性手套或都为非一次性手套），若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性手套，则使用后经过清洗再次放入抽屉中. （1）求在第2次取出的是非一次性手套的条件下，第1次取出的是一次性手套的概率; （2）记取了3次后，取出的一次性手套的双数为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，1.606 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式，分别求出对应事件的概率，代入计算即可； （2）根据题意，计算离散型随机变量的概率，得出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 设“第1次取出的是一次性手套”为事件A，“第2次取出的是非一次性手套”为事件B， 则，， 所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下，第1次取出的是一次性手套的概率为 . 【小问2详解】 记取出的一次性手套的双数为，则， ，， 则， 则X的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 17. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面. （1）证明平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，结合线面垂直的判定定理与性质定理即可得证； （2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 如图，连接DC1， 因为四边形为菱形，，所以，所以， 因为，所以，所以， 又平面， 所以平面，所以， 因为四边形为菱形，且，所以， 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 易知， 所以，， 所以，， 设，则， 因为平面BDF，所以存在唯一的， 使得. 所以，解得， 所以， 设平面的法向量为，则，所以， 取，则，故， 设平面的法向量为，则，所以， 取，则，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面BDF夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为，为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程； （2）（i）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得； （ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值． 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以的方程为：； 【小问2详解】 （i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点， 故可设的直线的方程为， 代入抛物线的方程， 可得， 方程的判别式， 设，， 不妨设，则, 所以直线AD的方程为：，即 即，令，可得， 所以，所以 所以； （ii）如图所示，可得， ， 所以与的面积之和 当且仅当时，即时，等号成立， 所以与的面积之和的最小值为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。 19. 设数列的各项为互不相等的正整数，前项和为，称满足条件“对任意的，，均有”的数列为“好”数列. （1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，并给出证明； （2）已知数列“好”数列，其前项和为. ①若，求数列的通项公式； ②若，且对任意给定的正整数，，有，，成等比数列，求证：. 【答案】（1）是“好”数列，不是“好”数列，证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“好”数列的定义，由，得其前项和，然后代入检验即可，对于，不妨取，，进行检验，发现不是“好”数列. （2）由“好”数列的定义可得对任意的，恒成立，证得数列是等差数列，① 由，可得；② 涉及等比数列的性质，利用不等式的性质可得结论. 【小问1详解】 设，的前项和分别为，， 若，则， 所以， 而， 所以对任意的，成立， 即数列是“好”数列. 若，则，不妨取，， 则，， 此时， 故数列不是“好”数列. 【小问2详解】 因为数列为“好”数列，取， 则，即， 当时，有， 两式相减，得， 即， 所以， 所以， 即，即， 对于， 当时，有，即， 所以，对任意的，恒成立， 所以数列是等差数列. 设数列的公差为，因为数列的各项为互不相等的正整数，所以， ① 若，则，即， 又，所以，，所以. ② 若，则， 由，，，成等比数列，得，所以， 化简得，即. 因为是任意给定的正整数，所以要使，则， 不妨设，由于是任意给定的正整数， 所以. 【点睛】思路点睛：高考对数列的考查常常涉及等差数列、等比数列中的一些基本问题，如等差数列、等比数列的通项公式，求和公式，前项和与通项之间的关系，判断等差数列、等比数列的方法等.另外，也要关注新定义与数列的结合，此类题往往涉及推理与证明的相关知识，对思维的要求较高，所以要注意多角度、全方位分析题目的条件和结论，拓宽看问题的视野. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2024届高三第二学期学情调研试卷 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 现有随机选出的20个数据，统计如下，则（ ） 7 24 39 54 61 66 73 82 82 82 87 91 95 8 98 102 102 108 114 120 A. 该组数据的众数为102 B. 该组数据的极差为112 C. 该组数据的中位数为87 D. 该组数据的80%分位数为102 2. 集合，，，则集合中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正项等比数列中，，为前n项和，，则（ ） A. 7 B. 9 C. 15 D. 20 4. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 记函数（）的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 6. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有（ ）种． A. 36 B. 48 C. 54 D. 72 8. 已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ） A B. 若，则 C. 函数图象关于直线对称 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，双曲线C：，则（ ） A. 可能是第一象限角 B. 可能是第四象限角 C. 点可能在C上 D. 点可能在C上 11. 已知正方体的棱长为是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，则下列判断正确的是（ ） A. 时，截面面积为 B. 时， C. 随着的增大先减小后增大 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中常数项为80，则______. 13. 在中，，是平分线，且，则实数的取值范围_____. 14. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）若恒成立，求的取值范围. 16. 抽屉里装有5双型号相同的手套，其中2双是非一次性手套，3双是一次性手套，每次使用手套时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性手套或都为非一次性手套），若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性手套，则使用后经过清洗再次放入抽屉中. （1）求在第2次取出的是非一次性手套的条件下，第1次取出的是一次性手套的概率; （2）记取了3次后，取出的一次性手套的双数为X，求X的分布列及数学期望. 17. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面. （1）证明平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知抛物线的焦点为，为上一点，且. （1）求方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 19. 设数列的各项为互不相等的正整数，前项和为，称满足条件“对任意的，，均有”的数列为“好”数列. （1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，并给出证明； （2）已知数列为“好”数列，其前项和为. ①若，求数列的通项公式； ②若，且对任意给定的正整数，，有，，成等比数列，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $