精品解析：2024年贵州省贵阳市贵安新区九年级中考一模数学试题

贵安新区2024年初中毕业生5月学业水平检测考试试题卷 数 学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25 小题，满分150分．考试时间为 120分钟．考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题(以下每小题均有A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B 铅笔在答题卡上填涂正确选项的字母框，每小题3分，共36分) 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，用一个平面沿圆锥的轴截圆锥，截面的形状是（　　） A. B. C. D. 3. 贵安樱花园是世界上占地面积最大、种植密度最高、最壮观的樱花园．樱花园地处平坝农场，坐落于红枫湖畔，总占地约12000亩．12000这个数用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线a、b被直线c所截，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 代数式 在实数范围内有意义，则可以是（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，下面与这一事实相符的是（　　） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 7. 如图，，用尺规作的平分线，具体步骤如下： （1）以点O为圆心，长为半径作弧，分别交射线于点C，D； （2）分别以点C，D圆心，以d为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线，射线即为所求． 若，那么d可以为（ ） A B. C. D. 8. 关于x的分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 9. 某研究小组利用计算机模拟投掷硬币的实验统计数据如下表： 实验次数n 30 2000 10000 20000 100000 500000 10000000 “正面朝上”的次数m 15 1001 4965 9988 50145 249955 5000153 “正面朝上”的频率 05 0.5005 0.4965 0.4994 0.50104 0.49991 0.5000153 下列推断合理的是（ ） A. 投掷30次时，“正面朝上”的频率是0.5，所以“正面朝上”的概率是0.5 B. 当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率一定是05. C. 随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是 0.5 D 如果实验次数超过10000000时，频率要小于0.5 10. 如图，可以验证下列哪个乘法公式（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘 （包含圆孔）的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点，分别过A、C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且的长分别是一元二次方程：的两个实数根， 点P在线段上， 点P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点P的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或或或 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 合并同类项：__________． 14. 如图所示，根据数值转换机的示意图，输出的值为_________． 15. 如图，已知直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 16. 如图， 在纸片中，，， 利用该纸片折成以为内角的菱形中，最大面积为__________． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知多项式 ， （1）求； （2）求． 18. 已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影： （1）在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 19. 如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于、两点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若且，，求四边形的面积． 20. 图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离； （2）若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 21. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下的表格和统计图： 等级 次数 频率 不合格 合格 良好 优秀 a 请结合上述信息完成下列问题： （1） ， ； （2）若该校有2000名学生，估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格人数是 ； （3）本次比赛“优秀”等级学生中，有4位同学一分钟跳绳的次数达175次以上，其中男生和女生各占一半，现准备从这四位同学中选2位参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求选出的2位同学恰好性别相同的概率． 22. 如图，反比例函数 的图像与直线交于两点，已知的坐标为，直线的表达式为． （1）求反比例函数的表达式和直线的表达式； （2）在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长最小值． 23. 如图，是四边形的外接圆，为的直径，是的切线交的延长线于点 E． （1）求证：； （2）若，当，，求的半径． 24. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 25. 问题情境：如图①，点E为正方形内一点，， 将绕点B顺时针旋转， 得到（点A的对应点为点C）， 延长交于点F， 连接． 猜想证明：（1）求证：四边形是正方形； （2）如图②，连接， 延长交于点 G，若 E 是的中点， 请猜想与的数量关系，并加以证明； 解决问题：（3）如图③， 若， 请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵安新区2024年初中毕业生5月学业水平检测考试试题卷 数 学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25 小题，满分150分．考试时间为 120分钟．考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题(以下每小题均有A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B 铅笔在答题卡上填涂正确选项的字母框，每小题3分，共36分) 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义得出答案． 【详解】解：的倒数是：． 故选A． 【点睛】此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键． 2. 如图，用一个平面沿圆锥的轴截圆锥，截面的形状是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．根据圆锥的形状特点判断即可． 【详解】解：用一个平面沿圆锥的轴截圆锥，截面的形状是等腰三角形； 故选：B． 3. 贵安樱花园是世界上占地面积最大、种植密度最高、最壮观的樱花园．樱花园地处平坝农场，坐落于红枫湖畔，总占地约12000亩．12000这个数用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：12000这个数用科学记数法可表示为． 故选：B． 4. 如图，直线a、b被直线c所截，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了两直线平行，由两直线平行，同位角相等得到即可解答，熟记定理与概念是解此题的基础． 详解】解：，， ， 故选：C． 5. 代数式 在实数范围内有意义，则可以是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，确定的取值范围是解题关键．根据二次根式有意义的条件，可知，然后逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，若在实数范围内有意义， 则有， 所以，选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 6. 如图，从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，下面与这一事实相符的是（　　） A 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等式的性质和应用，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，根据等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式，可得：如果，那么． 【详解】解：从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，那么． 故选：A． 7. 如图，，用尺规作的平分线，具体步骤如下： （1）以点O为圆心，长为半径作弧，分别交射线于点C，D； （2）分别以点C，D为圆心，以d为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线，射线即为所求． 若，那么d可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握据角平分线的作图． 根据角平分线的作图和等边三角形的判定得出是等边三角形，进而解答即可． 【详解】解：由作图可知，， 是等边三角形， ，平分， ， 故选：D． 8. 关于x的分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故选：C． 9. 某研究小组利用计算机模拟投掷硬币的实验统计数据如下表： 实验次数n 30 2000 10000 20000 100000 500000 10000000 “正面朝上”的次数m 15 1001 4965 9988 50145 249955 5000153 “正面朝上”的频率 0.5 0.5005 0.4965 0.4994 0.50104 0.49991 0.5000153 下列推断合理的是（ ） A. 投掷30次时，“正面朝上”的频率是0.5，所以“正面朝上”的概率是0.5 B. 当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率一定是05. C. 随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是 0.5 D. 如果实验次数超过10000000时，频率要小于0.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据大量重复实验时，事件发生频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率解答． 【详解】解：A、进行多次试验频率才能反映其概率，故选项不符合题意； B、当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率接近0.5，但不一定是0.5，故选项不符合题意； C、随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是0.5，故选项符合题意； D、如果实验次数超过10000000时，频率接近0.5，故选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，可以验证下列哪个乘法公式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思想． 通过两种不同方法求大正方形阴影部分的面积进行求解、辨别即可． 【详解】解：由题意得，大正方形阴影部分的面积为：或， ∴， 故选：B． 11. 如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘 （包含圆孔）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 设圆的圆心为O点，过O点作垂直于三角尺的斜边于C点，连接，根据切线长定理和切线的性质得到平分，，则可计算出，再在中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，则利用勾股定理计算出，然后根据圆的面积公式求解． 【详解】解：设圆的圆心为O点，过O点作垂直于三角尺的斜边于C点，连接，如图， ∵和为的切线， ∴平分，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴这张光盘 （包含圆孔）的面积． 故选：D． 12. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点，分别过A、C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且的长分别是一元二次方程：的两个实数根， 点P在线段上， 点P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点P的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或或或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程等等，先解一元二次方程得到，则，据此可得，求出直线解析式为，设，再分，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：解方程得：， ∵的长分别是一元二次方程：的两个实数根， ∴， ∴， ∵分别过A、C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， 当时，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，则点P在的中垂线上， ∴点P在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵点P在上，，故此时不存在； 综上所述，或； 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 合并同类项：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项的方法，解答此题的关键是要明确合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 根据合并同类项的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图所示，根据数值转换机的示意图，输出的值为_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题关键．将代入计算负整数指数幂的运算即可得． 【详解】解：将代入得：， 即输出的值为， 故答案为：． 15. 如图，已知直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的交点与一元一次不等式的关系，先求出点P的坐标，根据图象，即为的图象在图象的上方，由此得到不等式的解集 【详解】解：将点代入中， 得， 解得， ∴ ∴不等式的解集为 故答案为 16. 如图， 在纸片中，，， 利用该纸片折成以为内角的菱形中，最大面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形对角线平分一组对角，作平分交于点，过点作交于点，交于点，可得菱形即为所求最大菱形，再利用直角三角形的性质求得和的长，即可求得该菱形的面积． 【详解】解：作平分交于点，过点作交于点，交于点， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， 四边形是以为内角的菱形中，面积最大的菱形， ， ， 设，则，， ， ，即， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点，利用菱形的性质得到该菱形中的对角的位置是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知多项式 ， （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加法运算法则计算即可． （2）根据整式的减法法则计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影： （1）图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及利用旋转设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【小问1详解】 解：轴对称图形如图1所示；（答案不唯一） 【小问2详解】 解：中心对称图形如图2所示（答案不唯一） 19. 如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于、两点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若且，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据矩形的性质和题意，可以证明和全等，即可得到，再根据，即可证明结论成立； （2）根据矩形的性质和勾股定理可以得到的值，然后即可计算出四边形的面积． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ，， 为对角线的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形为平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， 四边形是矩形，，， ，， 设的长度为，则，， ， ， ， 解得， 即， ． 20. 图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离； （2）若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 【答案】（1） （2）72.8cm 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键书作辅助线． （1）连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，由两圆弧翼成轴对称可得，在中，，，进行解答即可． （2）过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，在中， ，，即可求出距离． 【小问1详解】 如图, 连接，并向两边延长，分别交，于点M， N， 由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，， ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中，，，， ， ∴， ∴， ∴与之间的距离约为． 【小问2详解】 如图，过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H， ∴可得， 在中，，，， ， ∴， ∵点B，E到地面的距离均为20cm， ∴， ∴． 答: 点A到地面的距离约为 72.8cm． 21. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下的表格和统计图： 等级 次数 频率 不合格 合格 良好 优秀 a 请结合上述信息完成下列问题： （1） ， ； （2）若该校有2000名学生，估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格的人数是 ； （3）本次比赛“优秀”等级学生中，有4位同学一分钟跳绳的次数达175次以上，其中男生和女生各占一半，现准备从这四位同学中选2位参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求选出的2位同学恰好性别相同的概率． 【答案】（1）0.25；14 （2）1800人 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表和频数直方图、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率，理解题意，找准有效信息是解答的关系． （1）根据频率频数总人数求解a值，用总人数减去其他等级人数即可求解b值； （2）用全校总人数乘以样本中一分钟跳绳次数达到合格所占的比例求解即可； （3）列表求得所有等可能的结果，找出满足条件的可能结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ，， 故答案为：0.25；14． 【小问2详解】 解：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格的人数约（人）． 故答案为：1800人． 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中选出的2位同学恰好性别相同的结果有4种， ∴选出的2位同学恰好性别相同的概率为． 22. 如图，反比例函数 的图像与直线交于两点，已知的坐标为，直线的表达式为． （1）求反比例函数的表达式和直线的表达式； （2）在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长最小值． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，直线 的表达式为 （2）点的坐标为 ，最小值为 【解析】 【分析】（1）分别将点代入反比例函数和直线的表达式，解得的值，即可获得答案； （2）作点关于轴的对称点，连接， 交轴于点，连接，此时且的周长最小，首先解得点的坐标，结合轴对称的性质可得，设直线的表达式为，利用待定系数法解得直线的表达式，进而确定点坐标，然后计算的周长的最小值即可． 【小问1详解】 解：∵将点代入反比例函数， 可得，解得 ∴反比例函数的表达式为 ， 将点代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 如图，作点关于轴的对称点，连接， 交轴于点，连接， 此时且的周长最小， ∵反比例函数 的图像与直线交于两点， ∴联立方程组，解得或， ∴， ∵， ∴， 设直线的表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为 ， 令，得， ∴点的坐标为， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、反比例函数与一次函数交点问题、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 23. 如图，是四边形的外接圆，为的直径，是的切线交的延长线于点 E． （1）求证：； （2）若，当，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，，再根据圆的切线性质可得，从而可证； （2）由（1）结合可得，可得，再根据圆周角定理和圆的切线性质可证，可求得的值，再根据勾股定理可求得的直径，从而可得的半径． 【小问1详解】 证明：，是 所对的圆周角， ， 又是的切线， ， 为直径， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 由(1) 知：， ， ， 又为直径， ， ， ， 又是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： 的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 24. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【答案】（1）见解析 （2）①；；② （3）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【解析】 【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，； ②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 ①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 ∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 25. 问题情境：如图①，点E为正方形内一点，， 将绕点B顺时针旋转， 得到（点A的对应点为点C）， 延长交于点F， 连接． 猜想证明：（1）求证：四边形是正方形； （2）如图②，连接， 延长交于点 G，若 E 是的中点， 请猜想与的数量关系，并加以证明； 解决问题：（3）如图③， 若， 请直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析（3） 【解析】 【分析】（1）旋转得到，，，平角得到，即可得证； （2）过点作，证明，得到，进而推出，平行线分线段成比例得到，进而得到，得到为的中点，进而得到垂直平分，即可得出结论； （3）设，则，在中，勾股定理求出的值，进而求出的长，勾股定理求出的长，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）由旋转可知：，，， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2），证明如下： 过点作，则：， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∵E 是的中点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴为的中点， 又∵， ∴； （3）∵四边形为正方形， ∴， 设，则， 在中，，即：， 解得：或（舍去）； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关性质判定方法，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$