精品解析：2024年贵州省遵义市红花岗区中考三模数学试题

遵义市2024年初中学业水平考试模拟试题 数学（三） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2.一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3.不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列有理数中比小的是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0，0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案． 【详解】解：， 中比小，   故选：C． 2. 如图所示的几何体为商兽面纹瓤，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从上面看到的是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： 故选：D． 3. 2023年国家通过新建、改扩建新增公办学位，保障了1878万一年级新生入学．将1878万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：1878万， 故选：D． 4. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答． 【详解】解：根据题意，可得，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，众数，方差都会受到影响， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键． 5. 正安县誉为“吉他之都，音乐之城”．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 根据由平行线的性质，逐项判定即可． 【详解】解：A、由推出和的对顶角互补，得到和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意； D、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出，故此选项符合题意． 故选：D． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减法，解答的关键是掌握相关的运算法则．利用分式的减法的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 7. 如图，是某小区地下车库示意图．A为入口，B，C，D，E为出口，王师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则王师傅恰好从D出口驶出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．直接利用概率公式即可得答案． 【详解】解：有、、、四个不同的出口， 王师傅恰好从出口驶出的概率为， 故选：C． 8. 如图，在中，，，延长到，使得，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，掌握相关知识是解题的关键．根据三角形内角和定理求出的度数，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设买鸡的人数为x人，则根据每人出9文钱，就多出11文钱可知鸡的价格为文，再根据每人出6文钱，就相差16文钱列出方程即可． 【详解】解：设买鸡的人数为x人， 由题意得，， 故选：B． 10. 如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是4，则的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似变换，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：和位似，点与点是对应点， ，且相似比， 与的面积比为， 的面积是4， 的面积是16， 故选：D． 11. 如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，求得，得到，求得， 根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 12. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项． 根据合并同类项法则，只需将系数相加，字母部分保持不变，计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 已知n是一元二次方程的根，代数式的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根，整体代入是解题的关键． 由题意知，，然后根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，是的外接圆，连接，．若的半径为，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键． 作直径，连接，根据勾股定理求出，根据圆周角定理求出，，解直角三角形求出的值． 【详解】解：作直径，连接，则，则，， 在中， 的半径为，， 由勾股定理可得：， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于，延长交于，连接，易证，，从而得，，则，根据点为的中点得，进而得，再证，从而得，，在中根据求得和，在中由勾股定理求得，则，然后根据列方程，据此可得的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于，延长交于，连接，如图所示： 则，， ，， ， ，点为的中点， ， ， 即点为的中点， ， ，， 平分， ， ， 即为等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一定理得：， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等，正确添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）如图，点A，B（不重合）在数轴上所表示的数分别为，3，求x的正整数解． 小磊分析过程如下： 因为点B在点A的右侧，列不等式为______； 解得：______； 所以x的正整数解为______． 【答案】（1）；（2），，1和2 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式、实数的运算、特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘方，去绝对值，特殊角的三角函数，然后计算加减法即可； （2）先列出不等式，再求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：因为点在点的右侧，列不等式为， 解得， 所以的正整数解为1和2， 故答案为：，，1和2． 18. 中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献（分别记为A，B，C，D，E）．某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）随机抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图； （2）若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数； （3）该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率． 【答案】（1）60， 补全条形统计图如图所示： （2）459人 （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得随机抽取的学生人数；求出类的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用900乘以样本中类和类的人数所占的百分比之和，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中和的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：随机抽取的学生人数为（人． 故答案为：60． 类的人数为（人． 【小问2详解】 解：（人． 估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人． 【小问3详解】 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中和的结果有2种， 恰好选中和的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 19. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求m的值及反比例函数的解析式； （2）观察图象，请直接写出时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，解题关键是灵活运用相关知识解决问题． （1）由在反比例函数图象上，把的坐标代入反比例解析式，确定出的值，从而得出反比例函数解析式，又也在反比例函数图象上，把的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出的值； （2）根据图象结合交点坐标即可求得． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象过点和点， ， ，， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象，时，自变量的取值范围是或． 20. 如图，在中，，点D是边的中点，交的延长线于点E，，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，连接，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点D是边的中点， ∴ ∵， ∴， ∵∠， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形． （1）证明即可得出结论； （2）由，解直角三角形求出，证明四边形是平行四边形，根据四边形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形ABCE的面积． 21. 某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划购买一批笔记本用于学生摘抄“好词好句”．提供以下信息： 信息①：购买10个A型笔记本与3个B型笔记本共45元； 信息②：A型笔记本的单价比B型笔记本便宜2元； 信息③：购买1个A型笔记本与1个B型笔记本需8元 （1）在信息①②③中任选两个作为条件______（填序号），求A型笔记本和B型笔记本的单价； （2）在（1）的条件下，全班50个同学每人购买一个笔记本，若购买A，B两种笔记本的总费用不超过200元，则A型笔记本至少购买多少个？ 【答案】（1）①③；A型笔记本的单价是3元，B型笔记本的单价是5元 （2）25个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元，由购买10个型笔记本与3个型笔记本共45元；购买1个型笔记本与1个型笔记本需8元．列出方程组可求解； （2）设型笔记本购买个，购买型笔记本个，由购买，两种笔记本的总费用不超过200元，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：选①③，设型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：型笔记本的单价为3元，型笔记本的单价为5元； 故答案为：①③（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：设型笔记本购买个，购买型笔记本个， 由题意可得：， ， 答：型笔记本至少购买25个． 22. 贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度．如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量公馆桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，C的俯角为37°（A，在桥面上） 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达处，测得点的俯角为37° （1）根据以上数据判断，方案_____不能求公馆桥的高度； （2）利用以上可行方案求公馆桥的高度．（参考数据） 【答案】（1）一 （2）23米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）方案一中延长交P所在水平线于点D，过点C作于点E，设，则，得出，根据，得出，由于的值不知，故无法求解，即可得出结论； （2）利用方案二求公馆桥的高度，延长交于点C， 设米，则米，则，，列出方程求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 解：方案一： 延长交P所在水平线于点D，过点C作于点E， 根据题意可得：，， ∴， 由题意可得四边形为矩形，则， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由于的值不知，故无法求解， ∴方案一不能求公馆桥的高度， 故答案为：一； 【小问2详解】 解：利用方案二求公馆桥的高度 延长交于点C，如图 由题意得 设米，则米 在中 ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ 解得： ∴米，米 答：公馆桥的高度为23米． 23. 如图，在中，与相交于点D．下面是两位同学的对话： （1）选择其中一位同学的说法并进行证明； （2）在（1）的条件下，过点A作的切线交的延长线于E，若，的半径为5，求的值． 【答案】（1） 解：选择小杰的说法，证明如下： 连接， 是的直径， ， ， 垂直平分， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得到，由线段垂直平分线的性质推出； （2）过作于，连接，由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形面积公式求出，由勾股定理得到，即可求出，由平行线的性质推出，于是得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于， 是的直径， ， ， ， 的半径是5， ， ， 的面积， ， ， ， ， 切于， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，关键是由三角形面积公式求出的长，由勾股定理求出的长． 24. 综合与实践 如图①，某公园计划在喷水池的四周安装一圈可移动的喷头向中央喷水，喷出的水流呈抛物线型．若以喷水池中心为原点，水平方向为x轴，中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水流高度y（单位：m）与水流到喷水池中心的距离x（单位：m）之间的函数图象如图②所示．当水流距中心线的距离为4m时，水流最大高度为6m，此时水流刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高m． （1）求抛物线的解析式； （2）为了使喷出的水形成错落有致的景观，现决定将喷水头向中心线沿直线移动，水流抛物线形状不变，使水流最高点不超过中心线．若喷水头的位置用表示（）． ①求n的取值范围； ②若水流刚好喷到中心线上，且距水面高4m处，直接写出n的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题是二次函数的应用，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点坐标为，从而可设，再将点代入求出后即可得解； （2）①依据题意，令，则，求出的值，再根据当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，满足题目要求，可得此时抛物线解析式为，故可令，则，进而可以判断的范围； ②依据题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为m，进而可得抛物线的解析式为，又令，求出，故可得此时抛物线解析式，最后再令，求出后即可判断得解． 【小问1详解】 解：依题意可知抛物线的顶点坐标为， ∴设 将点代入得：， 解得：， 即：抛物线的解析式为． （或写成一般式）． 【小问2详解】 解：①抛物线为， 令，则， ， （舍去）， 又当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，满足题目要求， 此时抛物线解析式为：， 令，则， ， （舍去）， 的取值范围为：， ②由题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为m， 抛物线的解析式为， 又令， 或（舍去）， 此时抛物线解析式为， 再令， ， 或（舍去）， 此时喷头位置为， 的值为． 25. 如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． （1）【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； （2）【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 【答案】（1），； （2） ，，理由如下： 如图，延长交于，交于， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，； （3）3或15． 【解析】 【分析】（1）延长交于点，证明，，，，进而即可作答； （2）延长交于，交于，推出是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答； （3）分两种情况讨论，分别作答即可． 【小问1详解】 解：延长交于点， 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ， 即， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况，情况一：如图， ，， ， 由（1）得， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 情况二：如图， 同理得，， ， 综上所述：的长为3或15． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是分类讨论画出相应的图形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市2024年初中学业水平考试模拟试题 数学（三） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2.一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3.不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列有理数中比小的是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 2. 如图所示的几何体为商兽面纹瓤，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 2023年国家通过新建、改扩建新增公办学位，保障了1878万一年级新生入学．将1878万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 正安县誉为“吉他之都，音乐之城”．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，是某小区地下车库示意图．A为入口，B，C，D，E为出口，王师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则王师傅恰好从D出口驶出的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，延长到，使得，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是4，则的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 11. 如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 12. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 化简的结果是______． 14. 已知n是一元二次方程的根，代数式的值是______． 15. 如图，是的外接圆，连接，．若的半径为，，则的值为______． 16. 如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）如图，点A，B（不重合）在数轴上所表示的数分别为，3，求x的正整数解． 小磊分析过程如下： 因为点B在点A的右侧，列不等式为______； 解得：______； 所以x的正整数解为______． 18. 中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献（分别记为A，B，C，D，E）．某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）随机抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图； （2）若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数； （3）该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率． 19. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求m的值及反比例函数的解析式； （2）观察图象，请直接写出时，自变量x的取值范围． 20. 如图，在中，，点D是边的中点，交的延长线于点E，，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，连接，求四边形的面积． 21. 某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划购买一批笔记本用于学生摘抄“好词好句”．提供以下信息： 信息①：购买10个A型笔记本与3个B型笔记本共45元； 信息②：A型笔记本的单价比B型笔记本便宜2元； 信息③：购买1个A型笔记本与1个B型笔记本需8元 （1）在信息①②③中任选两个作为条件______（填序号），求A型笔记本和B型笔记本的单价； （2）在（1）的条件下，全班50个同学每人购买一个笔记本，若购买A，B两种笔记本的总费用不超过200元，则A型笔记本至少购买多少个？ 22. 贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度．如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量公馆桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，C的俯角为37°（A，在桥面上） 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达处，测得点的俯角为37° （1）根据以上数据判断，方案_____不能求公馆桥的高度； （2）利用以上可行方案求公馆桥的高度．（参考数据） 23. 如图，在中，与相交于点D．下面是两位同学的对话： （1）选择其中一位同学的说法并进行证明； （2）在（1）的条件下，过点A作的切线交的延长线于E，若，的半径为5，求的值． 24. 综合与实践 如图①，某公园计划在喷水池的四周安装一圈可移动的喷头向中央喷水，喷出的水流呈抛物线型．若以喷水池中心为原点，水平方向为x轴，中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水流高度y（单位：m）与水流到喷水池中心的距离x（单位：m）之间的函数图象如图②所示．当水流距中心线的距离为4m时，水流最大高度为6m，此时水流刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高m． （1）求抛物线的解析式； （2）为了使喷出的水形成错落有致的景观，现决定将喷水头向中心线沿直线移动，水流抛物线形状不变，使水流最高点不超过中心线．若喷水头的位置用表示（）． ①求n的取值范围； ②若水流刚好喷到中心线上，且距水面高4m处，直接写出n的值． 25. 如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． （1）【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； （2）【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $