精品解析：2024年贵州省贵阳市花溪区高坡民族中学中考二模数学试题

2024年贵阳市花溪区高坡民族中学中考二模 数学试卷 (限时：120分钟　总分：150分) 一、选择题(每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确) 1. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 2. 如图是用5个相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，相交于点O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（ ） A. 4米 B. 6米 C. 8米 D. 10米 6. 将一个转盘分为均等的份，涂上如图所示的三种颜色，转动这个转盘时，转出可能性最小的颜色是（ ） A. 红 B. 绿 C. 黄 D. 不确定 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，在平行四边形中，，，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点，交的延长线于点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 某小区物业管委会一共有五名工作人员，已知这五名工作人员的年龄分别为24，28，36，36，46(单位：岁)，随着小区入住人数的增多，现需增加一名工作人员，若增加后工作人员年龄的中位数小于原来工作人员年龄的中位数，则增加工作人员的年龄最大可以为（ ） A. 24岁 B. 28岁 C. 35岁 D. 36岁 10. 当三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高成反比例函数关系，其图像如图所示，则当底边长满足时，底边上的高的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 12. 已知A，B两地相距，现有甲、乙两车相向而行，甲车以的速度匀速从A地驶往B地，乙车以的速度匀速从B地驶往A地，乙车比甲车早出发，然后甲车出发，两车途径C地，甲车到达C地后，因为车出现故障而停留了，然后因有事不得不原路返回A地(返回时速度不变)，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地，则甲、乙距离各自出发点的路程与甲车出发所用的时间之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分，共16分) 13. 因式分解：______． 14. 如图是中国象棋棋盘的一部分、建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为________． 15. 小明一家准备用假期的两天去游玩，并且每天都要去一个不同的地方，现有三个地方可供选择，分别是“青岩古镇”“千户苗寨”“黄果树瀑布”，则小明一家这两天去了“青岩古镇”和“黄果树瀑布”的概率为________． 16. 在综合实践活动课上，老师以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图，下面是小星的操作步骤：第一步：将正方形纸片对折，使得与重合，展开铺平，折痕为．第二步：将正方形纸片再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开铺平，折痕与交于点，连接，则的值为________． 三、解答题(本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中x是满足范围内的整数． 18. 请根据下面对话，解答问题： （1）设小明原来的速度为，则小明今天的速度为________； （2）求小明今天的速度． 19. 校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛(百分制)，并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析(成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀)，下面给出了部分信息： 10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98 10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的七、八年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀等级” 所占百分比 七年级 90 89 a 26.6 八年级 90 b 90 30 抽取的八年级10名学生的成绩扇形统计图 （1）填空： ________， ________， ________； （2）若该校八年级共有400名学生参加了此次竞赛，请估计该校八年级成绩不低于85分的人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由，并对如何加强学生的消防意识写出一条你的看法． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若，求点M的坐标． 21. 在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解． 如图，将矩形的四边，，，分别延长至，，，，使得，，连接，，，． （1）求证：； （2）若矩形是边长为的正方形，且，，求的长． 22. 长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) （1）求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离； （2）若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 23. 如图，内接于，且为的直径，，与交于点，与过点的的切线交于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）当点为的中点时，求的值． 24. 某公园要在圆形水池上修建喷泉，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示圆形水池的半径，以O为坐标原点，以线段所在直线为x轴，以水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．按照设计师的设计，水管的高度为，且抛物线型水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，且高度为，此时喷泉的观赏效果最佳． （1）求抛物线型水柱的解析式； （2）若此时有一个工人在清理水池，已知工人的身高为，求他站在距离A点多远以内会被水淋湿？ （3）为了使喷泉更加美观，如图所示，设计人员计划在中心水管上面延长一段增加一个喷水头，并使得该喷水头喷出的抛物线型水柱也在与池中心的水平距离为处达到最高，且比原抛物线水柱高，且落地处B点与点O的距离比短，则延长的水管高度应该设计为多少？ 25. 问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年贵阳市花溪区高坡民族中学中考二模 数学试卷 (限时：120分钟　总分：150分) 一、选择题(每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确) 1. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键．减去一个数，等于加上这个数的相反数．据此计算即可． 【详解】解：． 故选：B 2. 如图是用5个相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看易得第一层有3个正方形，第二层最右边有一个正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是关键． 3. 如图，直线，相交于点O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角，垂直的定义．首先求出，然后根据对顶角相等求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了乘方、二次根式的除法、二次根式的加法、负整数指数幂等知识，利用法则计算即可. 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B 5. 如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（ ） A. 4米 B. 6米 C. 8米 D. 10米 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解∶∵的中点分别为， ∴是的中位线， ∴米， 故选∶B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 6. 将一个转盘分为均等的份，涂上如图所示的三种颜色，转动这个转盘时，转出可能性最小的颜色是（ ） A. 红 B. 绿 C. 黄 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查可能性的大小，只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 找到份数最少的颜色即可． 【详解】∵转一次，总共有种结果，而转出红色区域的结果有种，转出绿色区域的结果有种，转出黄色区域的结果有种； ∴转出黄色的可能性最小． 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 8. 如图，在平行四边形中，，，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点，交的延长线于点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的判定和平行四边形的性质． 先利用基本作图得到平分，则，再根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，然后计算即可． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 9. 某小区物业管委会一共有五名工作人员，已知这五名工作人员的年龄分别为24，28，36，36，46(单位：岁)，随着小区入住人数的增多，现需增加一名工作人员，若增加后工作人员年龄的中位数小于原来工作人员年龄的中位数，则增加工作人员的年龄最大可以为（ ） A. 24岁 B. 28岁 C. 35岁 D. 36岁 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中位数．设增加医护人员的年龄为a岁，分和讨论求解可得． 【详解】解：由（1）可知，中位数为36岁， 设增加医护人员的年龄为a岁， 当，得到新数据的中位数仍为36岁； 当时，得到新数据的中位数小于36岁， 因此增加医护人员的最大年龄是35岁． 故选：C． 10. 当三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高成反比例函数关系，其图像如图所示，则当底边长满足时，底边上的高的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像求出反比例函数的解析式结合性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 由图像得过点，代入得， ，，即：， ∵， ∴，即， 故选：A． 【点睛】本题考查求反比例函数的解析式及反比例函数的性质，解题的关键是根据图像得到必过点求出解析式． 11. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正切定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，连接交于点，由正方形的性质得，，，，进而得，又证，得，从而得，进而利用正切定义即可得解。 【详解】解：如解图，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， 根据题意，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ 故选：A 12. 已知A，B两地相距，现有甲、乙两车相向而行，甲车以的速度匀速从A地驶往B地，乙车以的速度匀速从B地驶往A地，乙车比甲车早出发，然后甲车出发，两车途径C地，甲车到达C地后，因为车出现故障而停留了，然后因有事不得不原路返回A地(返回时速度不变)，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地，则甲、乙距离各自出发点的路程与甲车出发所用的时间之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，先根据题意求出乙行驶的时间，进而求出甲行驶的时间，则可求出甲车到A到C的时间为，返回A的时间为，再求出甲车到C地的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵乙车的速度为， ∴乙车总共行驶了． ∵乙车比甲车早出发，甲车到达C地后停留， ∴甲车总共行驶了， ∴甲车到A到C的时间为，返回A的时间为， ∵甲车的速度为， ∴甲车走的总路程为， ∴甲车到C地的距离为， ∴符合题意的函数图象如选项A所示， 故选：A． 二、填空题(每小题4分，共16分) 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提出公因式4，再利用平方差公式进行分解，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并根据多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 14. 如图是中国象棋棋盘的一部分、建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，直接利用“車”位于点，得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：． 故答案为：． 15. 小明一家准备用假期的两天去游玩，并且每天都要去一个不同的地方，现有三个地方可供选择，分别是“青岩古镇”“千户苗寨”“黄果树瀑布”，则小明一家这两天去了“青岩古镇”和“黄果树瀑布”的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图或列表法求概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据题意列出表格，得到共有6种等可能的结果，而满足条件的结果有2种，利用概率公式即可求解． 【详解】解：先将“青岩古镇”“千户苗寨”“黄果树瀑布”分别记作A，B，C，然后列表如下， 第二天 第一天 A B C A (A，B) (A，C) B (B，A) (B，C) C (C，A) (C，B) 共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而满足条件的结果有2种，P(这两天去了“青岩古镇”和“黄果树瀑布”)． 故答案为： 16. 在综合实践活动课上，老师以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图，下面是小星的操作步骤：第一步：将正方形纸片对折，使得与重合，展开铺平，折痕为．第二步：将正方形纸片再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开铺平，折痕与交于点，连接，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂线的定义，特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 由轴对称的性质可以得出，，，，进而利用特殊角的三角函数值可以求出，于是，然后利用特殊角的三角函数值求出，，，最终即可求出的值． 【详解】解：由轴对称的性质可知： ，，，， ，， 在中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题(本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中x是满足范围内的整数． 【答案】（1）；（2），当时，原式；当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及分式的化简求值． （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得； （2） ， 要使分式有意义，且，， ∴x不能为3，，0， ∵x是满足范围内的整数， ∴x取1，2， 当时，原式；当时，原式． 18. 请根据下面对话，解答问题： （1）设小明原来的速度为，则小明今天的速度为________； （2）求小明今天的速度． 【答案】（1）； （2）小明今天的速度为． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列代数式、分式方程的应用，解题关键是理解题意并列出正确的分式方程． （1）根据题中小明今天的速度是昨天速度的倍即可得解； （2）根据题意列出分式方程后求解即可． 【小问1详解】 解：依题得，小明今天的速度是原来速度的倍， 用含的代数式可表示为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 小明今天的速度为． 答：小明今天的速度为． 19. 校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛(百分制)，并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析(成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀)，下面给出了部分信息： 10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98 10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的七、八年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀等级” 所占百分比 七年级 90 89 a 26.6 八年级 90 b 90 30 抽取的八年级10名学生的成绩扇形统计图 （1）填空： ________， ________， ________； （2）若该校八年级共有400名学生参加了此次竞赛，请估计该校八年级成绩不低于85分的人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由，并对如何加强学生的消防意识写出一条你的看法． 【答案】（1）95，90，20 （2）320人 （3） 七年级学生对消防知识掌握得更好． 理由如下： 平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同； 众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高； 方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定． 综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好． 加强学生的消防意识看法：开展“增强学生消防安全意识”主题班会．(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了会从统计图中获取信息进行相关计算，众数、中位数的定义，平均数、众数、中位数、方差的特征，正确获取信息，会根据数据的集中趋势特征数和离散程度的特征数进行分析决策是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可． （3）结合平均数、众数、中位数、方差进行分析，给出合理建议即可． 【小问1详解】 解：10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多， ∴； 由题意可知，10名八年级学生中优秀等级人数为人，合格的人数有2人 ∴八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6个成绩的平均数， 即八年级10名学生中良好等级的第3、4个成绩的平均数，(分)， 八年级10名学生中优秀等级所占百分比为，则良好等级所占百分比为， ∴“合格”等级所占百分比主， ∴． 故答案为：95，90，20 【小问2详解】 (人)； 【小问3详解】 略 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若，求点M的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 （2）M点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， 经检验，是方程的解， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， M在O点左侧时，； M点在O点右侧时，， 综上，M点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． 21. 在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解． 如图，将矩形的四边，，，分别延长至，，，，使得，，连接，，，． （1）求证：； （2）若矩形是边长为的正方形，且，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1） 根据矩形性质推得，再由勾股定理可推得，同理推得后即可判定四边形是平行四边形，从而得证； （2）设，，根据正方形性质、等腰直角三角形性质后可得，再结合已知正切值得到，可得一元一次方程，求解后即可得． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，， 又， ， 即， 在，， 在中，， ， ， 同理得，， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 解：在正方形中，， 设，则， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是矩形性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、正方形性质、等腰直角三角形性质、已知正切值求边长、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握四边形的性质． 22. 长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) （1）求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离； （2）若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 【答案】（1）轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米 （2）小星下降的高度为168米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义和含的直角三角形性质解直角三角形，矩形的判断和性质． （1）过点B作于点G，根据余弦定义得到； （2）设与交于点H，根据含的直角三角形性质和矩形性质，得到，根据正弦定义得到，即得． 【小问1详解】 如图，过点B作于点G， ∵在中，，，， ∴； ∴轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米； 【小问2详解】 如图，设与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中， ，，， ∴， ∴． 故小星下降的高度为168米． 23. 如图，内接于，且为的直径，，与交于点，与过点的的切线交于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）当点为的中点时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的切线性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角推得，再结合、推得后，根据等角对等边即可证是等腰三角形； （2）根据和可得，再根据等腰三角形性质即可得证； （3）延长交于，连接、，由半圆（直径）所对的圆周角是直角得到，则可推得，由圆的性质得，推得后即可证明，再根据相似三角形性质得到，设，半径为，代入后可得到与的数量关系，最后根据即可得解． 【小问1详解】 证明：连接，如解图①， 为的切线， ，即， 为直径，点在上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：，， ， 和是等腰三角形， ， ， ． 【小问3详解】 解：如解图②，延长交于，连接，， 为直径， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 为的中点， 设，的半径为， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是圆的切线性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、求正切值，解题关键是利用相似三角形的性质求得圆的半径与的数量关系． 24. 某公园要在圆形水池上修建喷泉，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示圆形水池的半径，以O为坐标原点，以线段所在直线为x轴，以水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．按照设计师的设计，水管的高度为，且抛物线型水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，且高度为，此时喷泉的观赏效果最佳． （1）求抛物线型水柱的解析式； （2）若此时有一个工人在清理水池，已知工人的身高为，求他站在距离A点多远以内会被水淋湿？ （3）为了使喷泉更加美观，如图所示，设计人员计划在中心水管上面延长一段增加一个喷水头，并使得该喷水头喷出的抛物线型水柱也在与池中心的水平距离为处达到最高，且比原抛物线水柱高，且落地处B点与点O的距离比短，则延长的水管高度应该设计为多少？ 【答案】（1）抛物线水柱的解析式为 （2）站在距离A点以内会被水淋湿 （3）延长的水管高度应该设计为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把代入，进而可求出他站在距离A点多远以内会被水淋湿； （3）求出新抛物线的最高点为，设新抛物线的解析式为，代入求出函数解析式，然后令即可求解． 【小问1详解】 由于抛物线水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为， ∴设抛物线水柱的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线水柱的解析式为． 当时，即， 解得 (舍)或， ∴抛物线水柱落地处离池中心的最大距离为， ∴抛物线水柱的解析式为． 【小问2详解】 由(1)知， ∴当时，解得， ∴距离A点的距离为：， ∴站在距离A点以内会被水淋湿． 【小问3详解】 ∵比原抛物线最高处高， ∴新抛物线的最高点为， ∴设新抛物线的解析式为， ∵， ∴新抛物线过点， 将代入抛物线中， 解得， ∴新抛物线的解析式为， 当时，， ， ∴延长的水管高度应该设计为． 25. 问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②①中的结论仍成立，见解析 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查菱形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形性质、等边三角形的性质与判定，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题的关键． （1）根据菱形的性质证明和为等边三角形，证明，即可得到结论； （2）①E为BM的中点，是等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论； ②延长至H，使，连接，NH，证明，根据全等三角形的性质得到为等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论． 【详解】解：（1）， 证明：四边形是菱形， ， ， 和为等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ； （2）①如图， E为BM的中点，是等边三角形， ， ， 故答案为：； ②①中的结论仍成立． 证明：延长至H，使，连接，NH， E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 又， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $