精品解析：贵州省铜仁市沿河土家族自治县初中第一集团2023-2024学年七年级下学期5月期中数学试题

沿河县初中第一集团2023-2024第二学期第一次统考试题 一．选择题(每题3分，共计36分) 1. 下列方程组是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在梯形中，，若，那么等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的个数是（ ） （1）没有公共点的两条直线叫平行线 （2）内错角相等 （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． （4）平行于同一直线的两条直线互相平行． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 6. 将多项式 因式分解时，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 和是同位角 B. 和是同位角 C. 和是同旁内角 D. 和是内错角 8. 多项式能用完全平方因式分解，则m的值是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 9. 如图，点E在的延长线上，下列条件中：①；②；③；④；能判断的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 有甲、乙、丙三种货物，若购进甲3件，乙7件，丙1件，共需64元，若购进甲4件，乙10件，丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元 A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 11. 如图，，则满足的数量关系为（ ） A. B. C. D. 12. 已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ） ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题(每题4分，共计16分) 13. 如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是_____． 14. 已知，则代数式的值为______． 15. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__. 16. 如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点．则n条直线相交最多交点个数为______（用含n的代数式表示）． 三．解答题(共计98分) 17. 整式的计算： （1） （2） 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 阅读下列问题：解方程组 解：②得，③……步骤A ①-③得……步骤B， 所以，把代入②中，得……步骤C， 所以，所以这个方程组的解为，……步骤D 问：上述解方程组的步骤是否正确？若有错误，请指出在哪一个步骤出现错误，并写出正确的解答过程． 21. 请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点E在线段上，点G在线段上，于点D，于点F，连接，． 求证：． 证明：∵于D，于F（已知）， ∴____∥____（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）， ∴（________________）， ∵（已知）， ∴（______________）， ∴（______________）， ∴（______________）． 22. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？ 23. 如图，已知，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E． （1）求证：； （2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数． 24. 如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）． （2）应用公式计算： （3）应用公式计算： 25. 已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，，，求的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沿河县初中第一集团2023-2024第二学期第一次统考试题 一．选择题(每题3分，共计36分) 1. 下列方程组是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，即可得出答案． 【详解】解：A、第二个方程值的xy是二次的，故该选项错误； B、符合二元一次方程组的定义； C、x2是二次的，故该选项错误； D、是分式，故该选项错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的基本概念，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数,且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式的法则，逐一计算后判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 3. 如图，在梯形中，，若，那么等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，即可得出结果． 【详解】解：设点到的距离为， ∵， ∴点到的距离也为， ∴； 故选B． 4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解； B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解； C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解； D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解. 5. 下列说法正确的个数是（ ） （1）没有公共点的两条直线叫平行线 （2）内错角相等 （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． （4）平行于同一直线的两条直线互相平行． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的定义，平行线的性质，平行公理，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：（1）在同一平面内，没有公共点的两条直线叫平行线，故原说法错误； （2）两直线平行，内错角相等，故原说法错误； （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行，原说法正确； 故选B． 6. 将多项式 因式分解时，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】提取公因式时：系数取最大公约数；字母取相同字母的最低次幂． 【详解】-6a3b2-3a2b2=-3a2b2（2a+1）． 所以应提取的公因式是-3a2b2． 故选A． 【点睛】本题主要考查公因式的确定，注意找公因式的方法，特别不要漏掉找系数的最大公约数． 7. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 和是同位角 B. 和是同位角 C. 和是同旁内角 D. 和是内错角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，正确，不符合题意； B、和是内错角，原说法错误，符合题意； C、和是同旁内角，正确，不符合题意； D、和是内错角，正确，不符合题意； 故选B． 8. 多项式能用完全平方因式分解，则m的值是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】∵x2−mxy+9y2能用完全平方因式分解， ∴m=±6， 故答案选D. 【点睛】本题考查的知识点是因式分解-运用公式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-运用公式法. 9. 如图，点E在的延长线上，下列条件中：①；②；③；④；能判断的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； 故选A． 10. 有甲、乙、丙三种货物，若购进甲3件，乙7件，丙1件，共需64元，若购进甲4件，乙10件，丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元 A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】设甲、乙、丙的单价分别为x,y,z元，根据题意可列出三元一次方程组，再求出x+y+z的值即可. 【详解】设甲、乙、丙的单价分别为x,y,z元 依题意得 由①×3-②×2得x+y+z=34, 故选C. 【点睛】此题主要考查三元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程. 11. 如图，，则满足的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，如图，则，根据平行线的性质可得，进一步整理即得答案. 【详解】解：作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即在原图中有结论：； 故选：C. 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 12. 已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ） ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将、代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论。 【详解】解：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， 得：， ， 解得：，①结论正确； 当时，， 解得： 将代入中，得：， 解得：， 方程组的解不是方程的解，②结论错误； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 二、填空题(每题4分，共计16分) 13. 如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是_____． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值． 【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴沿开渠，能使所开的渠道最短． 故答案为：垂线段最短． 14. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式．根据完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵把长方形ABCD沿EF对折， ∴AD∥BC，∠BFE=∠2， ∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°， ∴∠BFE==65°， ∵∠AEF+∠BFE=180°， ∴∠AEF=115°． 故答案为：115°． 16. 如图①，两条直线相交有一个交点．如图②，三条直线相交最多有3个交点．如图③，四条直线相交最多有6个交点．如图④，五条直线相交最多有10个交点．则n条直线相交最多交点个数为______（用含n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直线两两相交的交点数量的探究，先分别求解三条直线，四条直线，五条直线的最多交点数量，再总结归纳即可得解． 【详解】解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； …… n条直线交点最多为． 故答案为： 三．解答题(共计98分) 17. 整式的计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）按照多项式乘以多项式的运算法则，直接计算即可得到答案； （2）分别利用完全平方公式，平方差公式进行整式的乘法运算，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，掌握利用多项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式进行整式的乘法运算是解题的关键． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解； 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式进行乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入进行计算即可. 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，求代数式的值，涉及平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式，熟练的利用公式进行简便运算是解本题的关键． 20. 阅读下列问题：解方程组 解：②得，③……步骤A ①-③得……步骤B， 所以，把代入②中，得……步骤C， 所以，所以这个方程组的解为，……步骤D 问：上述解方程组的步骤是否正确？若有错误，请指出在哪一个步骤出现错误，并写出正确的解答过程． 【答案】 不正确，步骤A出现错误， ②×2的时候方程右边没有乘以2， 解：②得③，①-③得 所以，把代入②中，得 所以所以这个方程组的解为． 【解析】 【分析】根据等式的性质可知在步骤A中，②×2的时候方程右边没有乘以2，根据加减消元法解方程即可； 【详解】略 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． 21. 请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点E在线段上，点G在线段上，于点D，于点F，连接，． 求证：． 证明：∵于D，于F（已知）， ∴____∥____（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）， ∴（________________）， ∵（已知）， ∴（______________）， ∴（______________）， ∴（______________）． 【答案】CD，EF，两直线平行，同位角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换． 【解析】 【分析】根据题意结合平行线的性质与判定可进行求解． 【详解】解：证明：∵于D，于F（已知）， ∴CD∥EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 22. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？ 【答案】平路为300m，下坡路为400m． 【解析】 【分析】设平路有，下坡路有，根据相等关系“从家里到学校走平路和下坡路一共用10分钟，从学校到家里走上坡路和平路一共用15分钟”，列出方程组解答即可． 【详解】解：设平路有，下坡路有， 根据题意得：，解得：． 答：小华家到学校的平路为300m，下坡路为400m． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，此题主要利用时间、速度、路程三者之间的关系解答，注意来回坡路的变化是解题的关键． 23. 如图，已知，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E． （1）求证：； （2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数． 【答案】 （1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定定理即可得到结论； （2））根据AB//CD，∠2=60°，得到∠BAE=∠2=60°，∠BAC=∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC=60°，又根据∠BAC=2∠EAC，得到∠BAC=∠ACD=40°，根据内角和定理即可求出∠DCE的度数． 【详解】解：（1）略 （2）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能熟练地运用定理进行推理是解答此题的关键． 24. 如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）． （2）应用公式计算： （3）应用公式计算： 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由大正方形的面积减去小正方形的面积可得，由长方形的面积可得，由等面积法可得公式； （2）逆用公式把原式每一项写成乘积的形式，可化为，从而可得答案； （3）在运算式前面乘以，再逐步使用公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：，， 可得公式：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 【点睛】本题考查的是两数和乘以这两数差的公式的几何推导，以及利用公式进行计算与因式分解，灵活使用公式进行运算是解本题的关键． 25. 已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点． 问题提出：（1）如图1，，，求的度数； 问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数． 【答案】（1） （2）结论：；理由如下： 如图2，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练在为平行线的性质，是解题的关键： （1）过点P作，根据平行线的性质得出，根据，求出，根据，得出最后求出结果即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得出，根据平行公理得出，求出，根据，即可得出； （3）由（2）知，，先证、，，根据可得答案． 【详解】解：（1）如图1所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）略 （3）由（2）知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $