精品解析：山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第一次（开学）考试数学试题

山东省北镇中学高69级第一次考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：张伟旭 审核人：毕小岩 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点关于平面对称的知识确定正确答案. 【详解】依题意，点关于平面对称的点坐标是. 故选：A 2. 已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（ ） A. -3 B. -4 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即得. 【详解】由，可得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 3. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解. 【详解】由得， 则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称， 故由圆的对称性可知：圆心在直线上， 则. 故选：D. 4. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 5. 已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 所以，， 所以， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值， 所以的取值范围为：. 故选：A. 6. 若圆上恰有三点到直线距离为2，则的值为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】圆的圆心，半径，由圆上恰有三点到直线的距离为2，得到圆心到直线的距离为1，由此能出的值． 【详解】由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 7. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围. 【详解】，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最大值，最大值为， 当与相切时，由到直线距离等于半径可得 ，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则. 故选：B 8. 已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案． 【详解】根据题意，设为直线上的一点，则， 过点作圆的切线，切点分别为、，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为C，，半径， 则其方程为，变形可得， 联立，可得圆C和圆O公共弦AB为：， 又由，则有，变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点， 点在圆上， 则点到直线距离的最大值为． 故选：B． 二、多选题 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面位置关系与向量的关系可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量基底的概念可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方向向量为，平面的法向量为， 则，则，所以，或，A错； 对于B选项，对空间中任意一点，有， 则，整理可得， 故、、、四点共面，B对； 对于C选项，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底， 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，C对； 对于D选项，已知向量，， 则在方向上的投影向量为，D对. 故选：BCD. 10. 下列四个选项中，说法错误的是（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线与直线互相平行，则 C. 过两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D. 【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角， 但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B：因为直线与直线互相平行， 则，解得或， 当时直线与直线重合，故舍去， 当时直线与直线平行，符合题意， 综上可得，故B正确； 对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确； 对于D：当截距都为时直线方程为， 当截距都不为时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误. 故选：AD 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A. 直线过定点 B. 动点的轨迹方程为 C. 动点到直线的距离的最大值为 D. 若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定点的求解可判定A,根据等量关系列方程可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，根据三点共线即可求解D. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ，整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大，且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号． 故选：ABD 三、填空题 12. 如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】取，，为一个基底，表示，再应用数量积及模长公式计算即可求解． 【详解】取，，为一个基底，，，， ∴ ， 故答案为：. 13. 当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出直线过的定点，数形结合得到当MC与l垂直时，弦长最短，利用垂直时斜率关系列出方程，求出实数a的值. 【详解】由ax－y＋2－a＝0得直线l恒过点M(1，2).又因为点M(1，2)在圆C的内部， 当MC与l垂直时，弦长最短，所以，所以×a＝－1，解得:a＝2 . 故答案为：2 14. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆：可化为， ，， ，是圆的两条切线，则，， 、、、四点共圆，且，， ， ， 当最小，即时，取得最小值， 此时方程为， 联立，解得，，即， 以为直径的圆的方程为， 即， 圆：，两圆相交， 两圆方程相减即为的方程. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解. 四、解答题 15 已知空间中三点，，，设，. （1）已知，求的值； （2）若，且∥，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）问题转化为，求. （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. 【小问1详解】 由题知，， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 16. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程； （2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值. 【小问1详解】 解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 小问2详解】 设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 18. 在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； （3）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）取圆关于轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 设圆心，， 由于，所以，所以， 即圆心的坐标为，则圆的方程为； 【小问2详解】 若直线斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切； 若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 因直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 即，此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； 【小问3详解】 取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 19. 已知两个定点A（-4，0），B（-1，0），动点P满足|PA|=2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx-4. （1）求曲线E的方程； （2）若直线l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD=90°（O为坐标原点），求直线l的斜率； （3）若k=，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点. 【答案】（1）x2+y2=4；（2）±；（3）过定点. 【解析】 【分析】（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程； （2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离公式得直线的斜率； （3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设Q，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为tx+y-4=0，结合直线系方程，即可得到所求定点． 【详解】解析（1）设点P的坐标为（x，y），则由|PA|=2|PB|，得=2，平方可得x2+y2+8x+16=4（x2+y2+2x+1）， 整理得，曲线E的方程为x2+y2=4. （2）直线l的方程为y=kx-4， 依题意可得为等腰直角三角形， 则圆心到直线l的距离d==·|CD|=，∴k=±. （3）由题意可知，O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上， 设Q，以OQ为直径的圆的方程为， 即 又M，N在曲线E：x2+y2=4上， ∴MN的方程为tx+y-4=0， 即t-4（y+1）=0， 由得 ∴直线MN过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省北镇中学高69级第一次考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：张伟旭 审核人：毕小岩 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（ ） A. -3 B. -4 C. 3 D. 4 3. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3 4. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A. B. C. D. 2 7. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在直线上，过点作圆两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多选题 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 10. 下列四个选项中，说法错误的是（ ） A. 坐标平面内任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线与直线互相平行，则 C. 过两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A. 直线过定点 B. 动点的轨迹方程为 C. 动点到直线的距离的最大值为 D. 若点的坐标为，则的最小值为 三、填空题 12. 如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________. 13. 当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________. 14. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________ 四、解答题 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）已知，求值； （2）若，且∥，求坐标. 16. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； （3）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 19. 已知两个定点A（-4，0），B（-1，0），动点P满足|PA|=2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx-4. （1）求曲线E的方程； （2）若直线l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD=90°（O为坐标原点），求直线l的斜率； （3）若k=，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $