精品解析：天津市南开区2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023-2024学年度第一学期阶段性质量监测（一） 高二年级数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟. 第I卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则（ ）． A. 0 B. C. D. 不存在 2. 在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 5 D. 6. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ） A. B. C. D. 8. 点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 9. 在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（ ）． A. B. C. D. 10. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上. 11. 若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为________ 12. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 13. 若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为________． 14. 已知圆，当圆C的面积最小时，直线与圆C相切，则实数a的值为_________． 15. 如图，在长方体中，，，点M在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱________. 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知直线与直线． （1）当m为何值时，与相交； （2）当m为何值时，与平行，并求与的距离； （3）当m为何值时，与垂直． 17. 如图，平行六面体中，． （1）证明：； （2）求的长； （3）求直线与AC所成角的余弦值． 18. 已知圆：与圆：. （1）若圆与圆外切，求实数m的值; （2）在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程. 19. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角. 20. 已知圆与圆关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）直线与圆交于两点，为坐标原点,设直线的斜率分别为，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第一学期阶段性质量监测（一） 高二年级数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟. 第I卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则（ ）． A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 2. 在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用空间向量的坐标运算求解． 【详解】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 3. 已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 4. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知， 空间中点在坐标平面上的投影坐标， 横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变． 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是： 故选：B. 5. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 6. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 7. 已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 8. 点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】过点作垂直于直线，根据圆的性质可得以为直径的圆过定点和，得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和，易知直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故选：D. 9. 在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 10. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线方程求出的坐标，由于两直线垂直，所以，若设，则，，然后表示出变形后，利用三角函数的性质可求得其范围. 【详解】解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线，即，经过点定点， 动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直， 又是两条直线的交点， ，． 设，则，， 由且，可得， ， ，， ，， ，， ，， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：此题考查直线过定点问题，考查两直线的位置关系，考查三角函数的应用，解题的关键是由已知得到，通过三角换元转化为利用三角函数的性质求的取值范围，考查数学转化思想，属于较难题. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上. 11. 若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为________ 【答案】或 【解析】 【分析】分别令和求出直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出关于的方程，解方程即可求出实数的值. 【详解】根据题意，令，得到直线在轴上的截距是， 令，得到直线在轴上的截距是， 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，所以，即， 解得或. ∴或 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了直线的截距及其应用，其中熟记直线方程的截距的概念和准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 12. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 13. 若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的图象，得出倾斜角θ的取值范围. 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 14. 已知圆，当圆C的面积最小时，直线与圆C相切，则实数a的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，要使圆C的面积最小，则半径要最小，求出半径最小时的值，从而可求得圆的圆心与半径，再根据圆心到直线的距离等于半径即可得解. 【详解】解：由圆， 得， 当时，圆C的半径最小为，即面积最小， 所以当圆C的面积最小时，圆的方程为， 圆心，半径， 因为直线与圆C相切， 所以圆心到直线的距离， 解得或. 故答案为：或. 15. 如图，在长方体中，，，点M在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得，进而可得，由基本不等式即可得解. 【详解】设，，如图建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 又，所以，所以， 所以 ， 当且仅当，时，等号成立， 所以当的面积取得最小值时其棱. 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题. 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知直线与直线． （1）当m为何值时，与相交； （2）当m为何值时，与平行，并求与的距离； （3）当m为何值时，与垂直． 【答案】（1）且 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两直线相交的充要条件，运算得解； （2）利用两直线平行的充要条件及两平行线间距离公式，运算得解； （3）利用两直线垂直的充要条件，运算得解. 【小问1详解】 由直线与相交，则，解得且. 【小问2详解】 由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离为. 【小问3详解】 由直线与垂直，则，解得或. 17. 如图，平行六面体中，． （1）证明：； （2）求的长； （3）求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以，， 为基底表示出，，再利用向量的数量积即可证明； （2）以，， 为基底表示出，再利用向量的模即可求解； （3）利用向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知， 即 ， 故的长为； 【小问3详解】 ， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 18. 已知圆：与圆：. （1）若圆与圆外切，求实数m的值; （2）在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程. 【答案】（1）m=5 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得； （2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得. 【小问1详解】 圆：，则，半径r1=1， 由圆：，得， 则 ，半径.∵圆与圆外切， ∴，∴，解得m=5. 【小问2详解】 由(1)得m=5，圆的方程为， 则，r2=2.由题意可得圆心到直线l的距离， 当直线l斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意; 当直线l斜率为k时，则直线方程为， 化为一般形式为，则圆心(3，0)到直线l的距离， 解得k=0，得直线方程为y=1. 综上，直线l的方程为或. 19. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角. 【答案】（1） 如图，以A为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则解得， 令，得. 因为，所以. 又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由直线的方向向量与平面的法向量垂直及线面平行的条件得证； （2）由空间向量法求线面角； （3）由空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则. 因为，所以. 即，解得， 所以. 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 则解得 令，得. 因为，所以. 所以平面与平面夹角为. 20. 已知圆与圆关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）直线与圆交于两点，为坐标原点,设直线的斜率分别为，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程； （2）联立方程组，得到，根据，求得，由，化简得到，结合韦达定理，求得，结合，求得，再代入不等式，求得或，进而求得的取值范围． 【小问1详解】 由圆与圆关于直线对称． 设圆的圆心坐标为， 则，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由直线的方程为， 联立方程组，整理得， 根据题意，可得，解得， 设，则， 因为直线的斜率分别为，且，可得，即， 即，即， 所以，可得， 因为，可得，解得， 将代入中，可得，解得或， 综上可得，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $