精品解析：2024年贵州省贵阳市南明区九年级中考一模数学试题

贵阳市南明区2024年初中学业水平适应性考试数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 的相反数是 （   ） A. B. C. D. 2024 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2023年12月16日，“横跨”花溪、南明、云岩和乌当四区的贵阳地铁3号线正式开通运营．“北京路”是其中的一个换乘站，若以“北京路”为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若用表示“喷水池”，则可以表示“贵阳一中”的坐标是（ ） A B. C. D. 5. 下列调查中，适宜普查是（ ） A. 调查全国初中生对杭州第19届亚运会的了解情况 B. 环保部门调查京杭大运河某段水域的水质情况 C. 调查某厂节能灯的使用寿命 D. 调查长征六号改运载火箭各部件的质量 6. 如图，某景区有A，B两个入口，C，D，E三个出口，星期天小丽和爸爸妈妈到该景区游玩，他们从B入口进，从D出口出的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，点与点是对应顶点，，的坐标分别为，，则与的相似比为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD,则∠BAD的度数为（ ） A. 70° B. 60° C. 50° D. 80° 9. 一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，当时，三角数为1，当时，三角数为3，则当时，三角数为（ ） A. 100 B. 110 C. 55 D. 50 11. 贵阳市某中学举行了秋季学生运动会，甲、乙两人参加了长跑比赛，其路程与时间之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的平均速度为 B. 前2分钟，甲比乙每分钟快 C. 甲、乙两人同时达到终点 D. 2分钟后，甲的速度比乙的速度快 12. 幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（ ） a b c 10 d e A. B. 0 C. 2 D. 4 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 14. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____． 15. 如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是______． 16. 如图，在中，，，，点是直线上的一个动点．以线段为斜边构造，使得，，连接，，则当长度最小时，的面积为________． 三、解答题（本大题共9题共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）先化简，再求值：，其中，； （2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与轴交于点，轴于点，若点的坐标是，． （1）求点B坐标及n值； （2）若，求一次函数的表达式． 19. 为丰富寒假活动，某学校开展了各种精彩纷呈的亲子活动，活动类别有：亲子对联，手工制作、文艺表演、亲子跑步、跆拳道展示五项活动(依次用A，B，C，D，E表示)．为了解学生对以上五项活动的喜好程度，学校随机抽取部分学生进行“你最喜欢哪一项活动”的问卷调查，要求必选且只选一种，根据调查结果绘制了如下的条形统计图和扇形统计图． 根据图中的信息，解答下列问题： （1）抽取的学生人数为 人，m= ，补全条形统计图； （2）估计全校1000名学生中最喜欢手工制作和文艺表演活动的人数共有多少人？ （3）现从最喜欢文艺表演的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人加入某活动策划会，请用画树状图或列表的方法求恰好甲和丁同时被选中的概率． 20. 为了迎接龙年的到来，某纪念品公司决定生产一批龙年纪念品挂件，有，两种型号的机器可以生产该纪念品挂件．已知型号机器20分钟生产的挂件与型号机器5分钟生产的挂件总量为325个，若型号机器平均每分钟生产挂件10个． （1）求型号机器平均每分钟生产挂件多少个？ （2）随着挂件的畅销，公司决定将，两种型号的机器进行智能升级，升级后的型号机器平均每分钟生产的挂件数量是升级后的型号机器的3倍，生产1800个挂件，型号机器比型号机器少用1小时20分钟，求升级后的，型号机器平均每分钟生产挂件各多少个？ 21. 如图，四边形是平行四边形，点，分别是边，的中点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，平行线与间的距离是，求平行四边形的面积． 22. 如图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕O点旋转一定角度．如图②，研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向屏幕中心P（点P为中点）的视线与水平线的夹角，显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时，观看屏幕最舒适，此时，，． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离； （2）求显示屏顶端A与底座C的距离．（结果精确到，参考数据：） 23. 如图，是的切线，为切点，与交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，，． （1）若的半径长为1，则 ． （2）若，求的半径； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当时，抛物线上有两点，，若，求k的取值范围； （3）若，，都在抛物线上，是否存在实数，使恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 25. 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，，连接．某班同学在探究，，之间的数量关系的过程中，发现通过旋转可将这些分散的线段集中到同一条线段上． （1）将绕点A顺时针旋转得到（如图②），此时G，B，F三点共线． ①的度数为； ②若，，求的长． （2）如图③，在等边中，点E为三角形内部一点，当点E在何处时，最小，请画出图形，并直接写出此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵阳市南明区2024年初中学业水平适应性考试数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 的相反数是 （   ） A. B. C. D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：相反数的定义2024， 故选：D． 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据三视图中主视图的定义即可判断． 【详解】根据几何体三视图中主视图的定义； 正方体的主视图是矩形，不符合题意； 圆柱体的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、球的主视图是圆，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面往后看． 3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若，两边同乘2得，则A不符合题意； 若，两边同时减去1得，则B不符合题意； 若，两边同乘得，则C符合题意； 若，两边同时减去得，则D不符合题意； 故选：C． 4. 2023年12月16日，“横跨”花溪、南明、云岩和乌当四区的贵阳地铁3号线正式开通运营．“北京路”是其中的一个换乘站，若以“北京路”为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若用表示“喷水池”，则可以表示“贵阳一中”的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据平面直角坐标系解答即可． 【详解】解：如图所示： “贵阳一中”的坐标是， 故选：A． 5. 下列调查中，适宜普查的是（ ） A. 调查全国初中生对杭州第19届亚运会的了解情况 B. 环保部门调查京杭大运河某段水域的水质情况 C. 调查某厂节能灯的使用寿命 D. 调查长征六号改运载火箭各部件的质量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、调查全国初中生对杭州第19届亚运会的了解情况，适宜抽样调查，不符合题意； B、环保部门调查京杭大运河某段水域的水质情况，适宜抽样调查，不符合题意； C、调查某厂节能灯的使用寿命，适宜抽样调查，不符合题意； D、调查长征六号改运载火箭各部件的质量，适宜普查，符合题意； 故选：D． 6. 如图，某景区有A，B两个入口，C，D，E三个出口，星期天小丽和爸爸妈妈到该景区游玩，他们从B入口进，从D出口出的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到他们从B入口进，从D出口出的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中他们从B入口进，从D出口出的结果数有1种， ∴他们从B入口进，从D出口出概率为， 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，点与点是对应顶点，，的坐标分别为，，则与的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据点、点的坐标求出、，然后求得位似比．掌握位似比的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，的坐标分别为，，则，． ． 与的相似比为， 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD,则∠BAD的度数为（ ） A. 70° B. 60° C. 50° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意尺规作图得到NM是AC的垂直平分线，故AD=CD，则∠C=∠DAC，再利用三角形的内角和求出∠BAC，故可求出∠BAD. 【详解】根据题意尺规作图得到NM是AC的垂直平分线， 故AD=CD， ∴∠DAC=∠C=30°， ∵∠B=50°，∠C＝30° ∴∠BAC=180°-50°-30°=100°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°. 故选A. 【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟知三角形的内角和与垂直平分线的性质. 9. 一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义得出比例式即可． 【详解】解：因为点为线段的黄金分割点，且， 所以， 显然四个选项只有选项符合题意． 故选：A． 10. 如图，三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，当时，三角数为1，当时，三角数为3，则当时，三角数为（ ） A 100 B. 110 C. 55 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解答本题的关键是根据题目中的图形，可以发现正三角数的变化情况，从而可以求得第10个图案中的三角数． 【详解】解：当时，三角数为1， 当时，三角数为， 当时，三角数为， 当时，三角数为， ， 当时，三角数为， 故选：C． 11. 贵阳市某中学举行了秋季学生运动会，甲、乙两人参加了长跑比赛，其路程与时间之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的平均速度为 B. 前2分钟，甲比乙每分钟快 C. 甲、乙两人同时达到终点 D. 2分钟后，甲的速度比乙的速度快 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从图象获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、甲的平均速度为，正确； B、前2分钟，乙的速度为：，故甲比乙每分钟快，正确； C、甲、乙两人同时达到终点，正确； D、2分钟后，乙的速度为：，甲的速度不变，甲比乙的速度慢，原选项错误； 故选D． 12. 幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（ ） a b c 10 d e A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， ， ； 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】有 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是先根据根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数解． 故答案为：有． 14. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 15. 如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出，即可得的值． 【详解】解：由图可得，， 表示的数比表示的数小， ， ， ， ， 的值最接近的整数是， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点是直线上的一个动点．以线段为斜边构造，使得，，连接，，则当长度最小时，的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度的直角三角形，解题的关键是根据已知得，因为在直线上运动．将绕点顺时针旋转至．并使．将绕点顺时针旋转至，并使，连．则由旋转知，，，证．得；因为在直线上（即直线，在直线上（即直线上）．过作，为最小值．（点到直线垂线段最短），设直线与所在直线交于，则，，，，过作于，则在中，，根据勾股定理求出，，求得面积，即长度最小时，的面积为． 详解】解：，， ， ， 又在直线上运动．将绕点顺时针旋转至．并使．将绕点顺时针旋转至，并使，连． 则由旋转知，，， 又， ， ． ； 在直线上（即直线，在直线上，（即直线上）．过作，为最小值．（点到直线垂线段最短）， 设直线与所在直线交于， ，，， ， 过作于，则在中，， ，， 中，， ， 面积， 即长度最小时，的面积为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）先化简，再求值：，其中，； （2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1），4；（2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值、一元一次不等式的解法，解题的关键是： （1）根据完全平方公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算即可； （2）利用解一元一次不等式一般步骤解出不等式，把它的解集表示在数轴上． 【详解】解：（1）原式 ， 当，时，原式； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，， 系数化为1，得． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与轴交于点，轴于点，若点的坐标是，． （1）求点B的坐标及n值； （2）若，求一次函数的表达式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是： （1）利用面积求出点坐标，根据点坐标求出值即可； （2）利用勾股定理求出点坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式即可． 【小问1详解】 解：点的坐标是，． ， ， ， 在反比例函数的图象上， ， ． 【小问2详解】 轴于点，若点的坐标是， ， ， ， ， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的表达式为：． 19. 为丰富寒假活动，某学校开展了各种精彩纷呈的亲子活动，活动类别有：亲子对联，手工制作、文艺表演、亲子跑步、跆拳道展示五项活动(依次用A，B，C，D，E表示)．为了解学生对以上五项活动的喜好程度，学校随机抽取部分学生进行“你最喜欢哪一项活动”的问卷调查，要求必选且只选一种，根据调查结果绘制了如下的条形统计图和扇形统计图． 根据图中的信息，解答下列问题： （1）抽取的学生人数为 人，m= ，补全条形统计图； （2）估计全校1000名学生中最喜欢手工制作和文艺表演活动的人数共有多少人？ （3）现从最喜欢文艺表演的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人加入某活动策划会，请用画树状图或列表的方法求恰好甲和丁同时被选中的概率． 【答案】（1）200；15，统计图见解析 （2）500人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是： （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数；用条形统计图中的人数除以抽取的学生人数再乘以，可得，即可得的值；求出选择活动的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中最喜欢手工制作和文艺表演活动的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）． ， ． 故答案为：200；15． 选择活动的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 【小问2详解】 解：（人）． 估计全校1000名学生中最喜欢手工制作和文艺表演活动的人数共约500人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同时被选中的结果有：甲丁，丁甲，共2种， 恰好甲和丁同时被选中的概率为． 20. 为了迎接龙年的到来，某纪念品公司决定生产一批龙年纪念品挂件，有，两种型号的机器可以生产该纪念品挂件．已知型号机器20分钟生产的挂件与型号机器5分钟生产的挂件总量为325个，若型号机器平均每分钟生产挂件10个． （1）求型号机器平均每分钟生产挂件多少个？ （2）随着挂件的畅销，公司决定将，两种型号的机器进行智能升级，升级后的型号机器平均每分钟生产的挂件数量是升级后的型号机器的3倍，生产1800个挂件，型号机器比型号机器少用1小时20分钟，求升级后的，型号机器平均每分钟生产挂件各多少个？ 【答案】（1）型号机器平均每分钟生产挂件25个 （2）升级后的型号机器平均每分钟生产挂件15个，升级后的型号机器平均每分钟生产挂件45个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设型号机器平均每分钟生产挂件个，根据型号机器20分钟生产的挂件与型号机器5分钟生产的挂件总量为325个，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设升级后的型号机器平均每分钟生产挂件个，则升级后的型号机器平均每分钟生产挂件个，根据生产1800个挂件，型号机器比型号机器少用1小时20分钟，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设型号机器平均每分钟生产挂件个， 由题意得， 解得， 答：型号机器平均每分钟生产挂件25个； 【小问2详解】 解：设升级后的型号机器平均每分钟生产挂件个，则升级后的型号机器平均每分钟生产挂件个， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：升级后的型号机器平均每分钟生产挂件15个，升级后的型号机器平均每分钟生产挂件45个． 21. 如图，四边形是平行四边形，点，分别是边，的中点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，平行线与间的距离是，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，解题的关键是： （1）先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）过点作于点，证，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理求得，由锐角三角函数定义求出，进而求出，再由平行四边形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是边、的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 如图，过点作于点，则： ∵四边形是平行四边形， ，， 在中，，， ， 过作于， 点是边的中点， ， ∵菱形， ， ， ， 在中，，， ， ． 22. 如图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕O点旋转一定角度．如图②，研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向屏幕中心P（点P为中点）的视线与水平线的夹角，显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时，观看屏幕最舒适，此时，，． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离； （2）求显示屏顶端A与底座C的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）在中，，即可作答； （2）过点作于点，在中，根据三角函数分别求出，，在中，根据三角函数求出，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：点为中点，， ， ，， 在中， ， 眼睛与显示屏顶端的水平距离长为； 【小问2详解】 过点作于点， ，， ， ， ， ，， ， 在中， ， ， 在中， ， ， 显示屏顶端与底座的距离为． 23. 如图，是的切线，为切点，与交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，，． （1）若的半径长为1，则 ． （2）若，求的半径； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，解题的关键是： （1）根据题意可知：，进而可以解决问题； （2）根据勾股定理即可求的半径； （3）根据切线的性质可得，从而可得，根据题意可得，然后利用阴影部分的面积的面积（扇形的面积扇形的面积），进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接， 是的切线，为切点， ， 的半径长为1， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，, ∴在中，， 根据勾股定理得：， ， 或（舍去）， 的半径为1； 【小问3详解】 是的切线，为切点， ， ， 由题意得：， 阴影部分的面积的面积（扇形的面积扇形的面积） ． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当时，抛物线上有两点，，若，求k的取值范围； （3）若，，都在抛物线上，是否存在实数，使恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），直线 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是： （1）令，求得，即可求得，将抛物线化为顶点式，即可求得抛物线的对称轴为直线； （2）当时，结合二次函数的图象以及抛物线的对称性即可求解； （3）由可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线，结合图象求解． 【小问1详解】 解：在中，令，则， ， ， 抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 当时，如图， 抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 点关于直线的对称点为， 抛物线上有两点，，， ； 小问3详解】 存在实数，使得恒成立， ，抛物线的顶点坐标为， 抛物线开口向下， ， 如图，当，关于抛物线对称轴对称时，， 解得， 时，， 当，关于抛物线对称轴对称时，， 解得， 时，， 当，关于抛物线对称轴对称时，， 解得， 时，， 综上，存在实数，使得恒成立，的取值范围为． 25. 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，，连接．某班同学在探究，，之间的数量关系的过程中，发现通过旋转可将这些分散的线段集中到同一条线段上． （1）将绕点A顺时针旋转得到（如图②），此时G，B，F三点共线． ①的度数为； ②若，，求的长． （2）如图③，在等边中，点E为三角形内部一点，当点E在何处时，最小，请画出图形，并直接写出此时的度数． 【答案】（1）①；② （2）画图见解析； 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，再根据求出结果即可； ②证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可； （2）将绕点B逆时针旋转得到，连接，证明为等腰直角三角形，得出，证明，根据当、、E、C四个点共线时，最小，得出最小，根据等腰三角形的性质得出． 【小问1详解】 解：①∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴； ②∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到，此时G，B，F三点共线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 【小问2详解】 解：将绕点B逆时针旋转得到，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴当、、E、C四个点共线时，最小，即最小， 根据旋转可知：， ∵等边中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$