训练02函数选填（来源：近3年高考真题及模拟题）-2025年高考数学一轮复习考点剖析及精准练习（新高考专用）

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 训练02函数选填 1．（2024年上海秋季高考数学真题）已知则 ． 2．（2024年上海秋季高考数学真题）已知，，且是奇函数，则 ． 3．（2023年天津高考数学真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 4．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024年上海秋季高考数学真题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 7．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知且，则 ． 8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 11．（2023年天津高考数学真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 12．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 一、单选题 1．（2024·湖北·模拟预测）已知函数为偶函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南邵阳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建宁德·模拟预测）定义，若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 4．（2024·福建福州·模拟预测）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 5．（2024·福建泉州·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）设，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 9．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若实数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 11．（2024·云南·模拟预测），为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．的最小值为4 D．的最小值为4 二、多选题 12．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数，则正确的是（    ） A．的定义域为R B．是非奇非偶函数 C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为 13．（2024·江西九江·二模）已知且，满足，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2024·海南·模拟预测）已知函数 的定义域为R，其图象关于中心对称，若 ，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 15．（2024·辽宁·模拟预测）已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（   ） A．4为的一个周期 B．8为的一个周期 C． D． 16．（2024·山东·模拟预测）存在函数满足：对于任意的，都有（    ） A． B． C． D． 17．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·山东菏泽·二模）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．下列结论正确的有（    ） A．函数与函数无公共点 B．若，则 C． D．所有满足的点组成区域的面积为 三、填空题 19．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是 ． 20．（2024·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 21．（2024·宁夏银川·二模）若是奇函数，则 ． 22．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 23．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（） 24．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.若的定义域为，则的定义域为： ；若，的值域为，则的取值范围是： . 25．（2024·浙江·二模）函数至多有 个零点． 26．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 27．（2024·全国·模拟预测）若存在实数b，使得函数的图像关于直线对称，则的最小值为 ． 28．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数的定义域为，，若函数有三个零点，则实数的取值范围为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 训练02函数选填 1．（2024年上海秋季高考数学真题）已知则 ． 【答案】 【详解】因为故， 故答案为：. 2．（2024年上海秋季高考数学真题）已知，，且是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】因为是奇函数，故即， 故， 故答案为：. 3．（2023年天津高考数学真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 4．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 5．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 6．（2024年上海秋季高考数学真题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 , 则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，则B正确； 对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 7．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知且，则 ． 【答案】64 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 11．（2023年天津高考数学真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 12．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 / 【详解】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 一、单选题 1．（2024·湖北·模拟预测）已知函数为偶函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数， 则即， 即对于恒成立，所以，即． 当时，. 而， 因为在内单调递增，则， 又在定义域内单调递增，则， 在上单调递增，又， ，即． 故选：A． 2．（2024·湖南邵阳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以, 因为，所以，则, 所以. 故选：B. 3．（2024·福建宁德·模拟预测）定义，若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得等价于，即， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 4．（2024·福建福州·模拟预测）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知①，②， ①②两式相比得到， 所以③， 当时，由④，②④得到， 所以⑤， 由⑤④，得到， 解得. 故选：C. 5．（2024·福建泉州·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数的底数要求只讨论且， 由题意得为单调递增， 因为双勾函数在单调递减，单调递增， 所以，故； 又时，为单调递增，故； 再由，得； 综上，， 故选：B. 6．（2024·全国·模拟预测）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 因为，可得， 解得． 故选：C. 7．（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 8．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 【答案】A 【详解】由函数，可得， 所以为奇函数，其图象关于原点对称， 根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称， 因为，所以且，解得. 故选：A. 9．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取代入， 得即，由题解得， 令代入得， 故， 所以是周期为6的周期函数， 又，，所以， 所以， 故选：D. 【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解. 10．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若实数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】函数，， 而，因此， 又函数在上递增， 则函数在上递增，于是， 所以. 故选：B 11．（2024·云南·模拟预测），为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．的最小值为4 D．的最小值为4 【答案】C 【详解】函数的定义域为，且， 由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点， 其横坐标为，，比1大还是小对的图象没有影响，可令， 而当时，递减，当时，递增，于是， 对于A，由，得，即，A正确； 对于B，，而函数在上单调递增， 因此，B正确； 对于C，，函数在上单调递增， 因此，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：C． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于将题意转化为直线与函数的图象有两个公共点，其横坐标为，，结合的性质可得，再借助对勾函数的性质和基本不等式逐项判断即可得出答案. 二、多选题 12．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数，则正确的是（    ） A．的定义域为R B．是非奇非偶函数 C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为 【答案】AD 【详解】由可得：函数的定义域为R，故A正确； 由，结合定义域为R，可知是奇函数，故B错误； 由解得，，所以零点为，故C错误； 当时，，取等号条件为，故D正确； 故选：AD. 13．（2024·江西九江·二模）已知且，满足，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A中，当，由，可得，，则，所以A正确； 对于B中，由，可得，， 因为，可得，解得，所以B正确； 对于C中，由，且，所以C正确； 对于D中，由，得或，所以D错误. 故选：ABC. 14．（2024·海南·模拟预测）已知函数 的定义域为R，其图象关于中心对称，若 ，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【详解】A选项，的定义域为R，其图象关于中心对称， 故，故，A正确； B选项，由题意得，又， 故， 令得，即，B错误； C选项，由题意得，即， 令，则， 所以为奇函数，C正确； D选项，因为，所以， 即，故， 令，则， 故为偶函数，D正确. 故选：ACD. 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称； 若，则函数关于对称； 15．（2024·辽宁·模拟预测）已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（   ） A．4为的一个周期 B．8为的一个周期 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为和分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，，且， 又因为，所以， 即，① 用替换中的，得， 即，② 由①＋②，得， 所以函数关于中心对称，且， 由，可得， ， 所以， 所以为周期函数，8为周期，故A错误； 用替换且的，得， 又因为， 所以，所以， 所以为周期函数，8为周期，故B正确； 所以，故C正确； 又因为，即， 令，则有， 令，则有， …… 令，则有， 所以 所以，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了判断抽象函数的对称性、周期性，考查函数的奇偶性，解题的关键是用替换中的，再结合函数的奇偶性分析，考查推理能力和计算能力，属于较难题． 16．（2024·山东·模拟预测）存在函数满足：对于任意的，都有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为 ， 令，所以，故A正确. 对于B，，取和得，，故B错误； 对于C，令，所以，即符合题设，故C正确； 对于D，取，；取，，故D错误. 故选：AC. 17．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，若，且，只能，有， 则，，所以，故A正确； 对于B，举反例：当时， 则，， 此时，故B不正确； 对于C，易知，且．若，且，则有： （ⅰ）当时，有， 则，， 且，所以； （ⅱ）当时，， 且，则． 综上所述：，故C正确； 对于D，若，则．若，且，分类讨论． （ⅰ）当时，有， 从而，， 则； （ⅱ）当时，则，， 因为， 则，从而． 综合所述：，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点根据题意，且，根据相应的选项特征分类讨论，进而分析判断即可. 18．（2024·山东菏泽·二模）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．下列结论正确的有（    ） A．函数与函数无公共点 B．若，则 C． D．所有满足的点组成区域的面积为 【答案】ABD 【详解】对于A：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，A正确； 对于B：若，则，则， ， 即，B正确； 对于C：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，C错误； 对于D：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查命题真假的判断、函数的新定义，解题的关键是理解新符号的含义，考查学生数形结合的能力和作图能力，属于难题． 三、填空题 19．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 20．（2024·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 21．（2024·宁夏银川·二模）若是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】因为是奇函数， 定义域关于原点对称， 由,可得， 所以且， 所以，解得， 所以函数的定义域为， 则，即，解得， 此时， 符合题意， 所以. 故答案为：. 22．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 【答案】 2 【详解】函数，故，即 函数的定义域为，故. 故答案为：2； 23．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（） 【答案】74 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则， 由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为74次． 故答案为：74. 24．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.若的定义域为，则的定义域为： ；若，的值域为，则的取值范围是： . 【答案】 【详解】若的定义域为，即，则， 所以的定义域为； 因为， 可得的值域为，则的值域为， 可得，解得：， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 25．（2024·浙江·二模）函数至多有 个零点． 【答案】1 【详解】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且. 当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点. 综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点 故答案为：1． 26．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 【答案】/ 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 27．（2024·全国·模拟预测）若存在实数b，使得函数的图像关于直线对称，则的最小值为 ． 【答案】16 【详解】解：．因为的定义域为， 故其图像如果关于直线对称，只能有，即是偶函数． 因此有和前的系数均为0，从而，． 由对勾函数的性质可知，当且仅当时，取到最小值16． 故答案为： 28．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数的定义域为，，若函数有三个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数有三个零点，则方程即有三个根， 所以函数与函数有三个交点， 由作出函数的图象如图： 若函数与过原点直线有三个交点，如图： 则，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$