精品解析：2024年贵州省贵阳市观山湖区中考数学二模试题

2024年贵州省贵阳市观山湖区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看，是一个三角形． 故选：A． 3. 2023年5月开赛的“村超”，由榕江当地村民以村为单位组建了20支球队，踢出了全网超过数百亿次浏览量的“现象级”赛事．据悉，“村超”系列赛事举办期间，当地累计接待游客超5190000人次，数据5190000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解： 故选：B． 4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D． 5. 如图，已知，点E在线段上（不与点A，点D重合），连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和定理和平行线的性质． 由三角形内角和定理求出，由平行线的性质推出． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：D． 6. 在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从袋中任意摸出一个球共有5种等可能结果，其中是红球的有3种结果， 【详解】解：从袋中任意摸出一个球共有5种等可能结果，其中是红球的有3种结果， 所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 7. 如图，为了测量一个池塘的宽，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段、的中点D，E，若小明测得的长是20米，则池塘宽的长度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 35米 D. 40米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵、的中点分别为D、E， ∴是的中位线， ∴（米）， 故选：D． 8. 若，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及两点所在的象限是解答此题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支在一、三象限， ， ，都在第一象限， 在第一象限内y的值随x的增大而减小， 故选：A 9. 如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数. 【详解】由作法得， ∵， ∴平分，， ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质. 10. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日， ∴甲的速度为，乙的速度为， 设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为， ∵相遇时甲乙的路程和等于总路程， ∴． 11. 如图，把Rt△ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB＝30°，点B的坐标为（0，1），将△ABO沿斜边AB翻折后得到△ABC，则点C的坐标是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，∠OAB＝30°，由锐角三角函数定义，计算OA的长，再根据翻折性质，可知，接着由全等三角形对应边相等，对应角相等的性质，可得AC=OA，∠OAC＝60°，最后根据锐角三角函数定义，求点C的纵坐标，据此解题即可． 【详解】解: 在中，∠OAB＝30°， 翻折 过点C作CD于点D 在中 故选:D 【点睛】本题考查直角坐标系点坐标的特征、锐角三角函数、翻折等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 首先根据二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为，然后根据平移的性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标为和，再根据抛物线的开口方向即可求得当时的x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和 ∴当时，x的取值范围是． 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14. 如图，以边长为2的等边顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交于D、E，则图中的半径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，由勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切， 设切点为F，连接，则， ∵等边中，， 在中，， ∴的半径长是 故答案为： 15. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 【答案】k＜2且k≠1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 16. 如图，正方形中，，点是正方形内部的一个动点，且满足，点是上的一个动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先推出点在以中点为圆心，为直径的圆周上，延长到，使，连接，连接交于点，过点作于点，根据轴对称性质和点与圆周上的点的最短距离确定出的最小值是，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：点是正方形内部的一个动点，且满足， ，， ， 点在以中点为圆心，为直径的圆周上， 延长到，使，连接，连接交于点，过点作于点， 则，，四边形和四边形都是矩形， ，，， 的最小值是， 在中， ，， 由勾股定理，得， 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题正方形的性质，勾股定理，矩形的判定及性质，点与圆的位置关系，能够发现点的运动轨迹，掌握点与圆的最短距离是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）3；（2），2． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算分式的乘法，再算分式的减法，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式 18. 目前人们的支付方式日益增多，主要有以下几种∶ 某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题∶ （1）本次一共调查了多少名消费者？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为多少度？ （4）该超市本周内约有2000名消费者，估计使用和两种支付方式的消费者的人数的总和． 【答案】（1）200名 （2）见解析 （3） （4）1480名 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用， （1）用B的人数除以所占百分比就能求出一共调查的消费者人数； （2）消费者人数乘以D所占的百分比，求出D的人数；消费者总人数减去D，，的人数，就得到A的人数； （3）乘以占的比例就得到种支付方式所对应的圆心角； （4）用总人数乘以对应的百分比求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为（名）， 【小问2详解】 解：， 支付方式的人数为（名）， 支付方式的人数为（名）， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为， 【小问4详解】 解：（名） 答：估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数为1480名． 19. 贵阳黔灵山公园自从2024年1月1日免费开放以来，公园内的大熊猫馆人气火爆，其中国宝“海浜”“星宝”憨态可掬，获得不少市民喜爱，公园的文创超市售有相应的熊猫抱枕和熊猫挂件．已知每个熊猫抱枕的成本为30元，每个熊猫挂件成本为7元，每个熊猫抱枕售价比熊猫挂件售价贵30元，购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元． （1）求熊猫抱枕和熊猫挂件的单价分别为多少元？ （2）为了迎接暑假，该超市准备投入成本不超过16200元购进熊猫抱枕和熊猫挂件共1000个．如果最后全部售完，则该超市应该购进多少个熊猫抱枕，才可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）熊猫抱枕的单价为40元，熊猫挂件的单价为10元 （2）该超市应该购进400个熊猫抱枕，才可以获得最大利润，最大利润是5800元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设熊猫抱枕的单价为x元，熊猫挂件的单价为y元，根据每个熊猫抱枕售价比熊猫挂件售价贵30元，购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进熊猫抱枕m个，则购进熊猫挂件个，根据该超市准备投入成本不超过16200元购进熊猫抱枕和熊猫挂件共1000个．列出一元一次不等式，解得，则m的最大值为400，再设获得利润为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 设熊猫抱枕的单价为x元，熊猫挂件的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：熊猫抱枕的单价为40元，熊猫挂件的单价为10元； 【小问2详解】 设购进熊猫抱枕m个，则购进熊猫挂件个， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为400， 设获得利润为w元， 由题意得：， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最大值， 答：该超市应该购进400个熊猫抱枕，才可以获得最大利润，最大利润是5800元． 20. 如图，在中，，点是中点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）由已知得，再由勾股定理得的长，然后由菱形的性质和三角形面积关系得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，点D是的中点， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线经过点． （1）求k，a的值； （2）过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点．判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）求得C、D的坐标，即可求得，，得到 【小问1详解】 ∵函数的图象经过点， ； ∴直线经过点， ， ； 【小问2详解】 如图， 把代入，解得， ， 把代入，解得， ，， 22. 杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是小文同学制订了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告： 课题 测量大树的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明：①D、C、B、F四点共线，均垂直于 ②光线经点C处平面镜反射后的光线是 ③平面镜大小忽略 ④测倾器高度忽略 测量数据 小文眼睛与地面高度米，小文到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米， 参考数据 ，， 请你根据以上测量报告，求大树AB的高度． 【答案】大树的高度约为米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设米，根据正切的定义用x表示出，进而表示出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：设米， 在中，， ， （米）， 米， ，， ∴， ，即， 解得：， 答：大树的高度约为米． 23. 如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径；． 【答案】（1）证明见解析 （2）半径为 【解析】 【分析】（1）连，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出，可得出结论； （2）由锐角三角函数可求的长，由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求的长，即可求解． 【小问1详解】 证明：连OD， 与相切于点D， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为半径， 是切线； 【小问2详解】 解：连接OD， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径为； 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义是解题关键． 24. 在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为． （1）c的值为__________，B点的坐标是__________． （2）进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式． （3）在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 【答案】（1）65， （2） （3）当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40 【解析】 【分析】（1）根据，得出当时，，将代入二次函数解析式，求出，即可得出B点的坐标； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出直线的解析式为，表示出，根据二次函数的性质得出当时，取得最大值，此时，把代入中，解得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 当时，， ． 将代入二次函数解析式得： ， 点的坐标为． 故答案为：65；． 【小问2详解】 解：设关于的函数解析式是， ∵点，，在该函数图象上， ∴， 解得， 关于的函数解析式是． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 点，点在该直线上， ∴， 解得：， 直线AB的解析式为． ． 当时，取得最大值，此时． 将代入中，解得，即当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40． 【点睛】本题考查二次函数的应用，属抛物线与一次函数的综合题目，熟练掌握用待定系数法求抛物线的解析式、一次函数解析式，二次函数的图象性质是解题的关键． 25. 小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转得到矩形． [探究1]（1）如图①，当时，点E在AD上，连接BE，求的度数； [探究2]（2）如图②，连结BD，FC，过点E作交BD于点．证明：； [探究3]（3）在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析． 【解析】 【分析】（探究1）根据题意，证明，即可解答． （探究2）连接BE，证明，得到，即可证得． （探究3）连接，证明，，即可解答． 【详解】[探究1]解：矩形绕点A顺时针旋转得到矩形， ， ， ， 矩形， ， [探究2]证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； [探究3]解：关系式为，证明如下： 如图，连接， 在≌中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ，， ∴， ， ， 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，掌握这些性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年贵州省贵阳市观山湖区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年5月开赛的“村超”，由榕江当地村民以村为单位组建了20支球队，踢出了全网超过数百亿次浏览量的“现象级”赛事．据悉，“村超”系列赛事举办期间，当地累计接待游客超5190000人次，数据5190000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 5. 如图，已知，点E在线段上（不与点A，点D重合），连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量一个池塘的宽，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段、的中点D，E，若小明测得的长是20米，则池塘宽的长度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 35米 D. 40米 8. 若，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，把Rt△ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB＝30°，点B的坐标为（0，1），将△ABO沿斜边AB翻折后得到△ABC，则点C的坐标是 ( ) A. B. C. D. 12. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 因式分解：______． 14. 如图，以边长为2的等边顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交于D、E，则图中的半径长是______． 15. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 16. 如图，正方形中，，点是正方形内部的一个动点，且满足，点是上的一个动点，连接，，则的最小值是______． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 目前人们的支付方式日益增多，主要有以下几种∶ 某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题∶ （1）本次一共调查了多少名消费者？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为多少度？ （4）该超市本周内约有2000名消费者，估计使用和两种支付方式的消费者的人数的总和． 19. 贵阳黔灵山公园自从2024年1月1日免费开放以来，公园内的大熊猫馆人气火爆，其中国宝“海浜”“星宝”憨态可掬，获得不少市民喜爱，公园的文创超市售有相应的熊猫抱枕和熊猫挂件．已知每个熊猫抱枕的成本为30元，每个熊猫挂件成本为7元，每个熊猫抱枕售价比熊猫挂件售价贵30元，购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元． （1）求熊猫抱枕和熊猫挂件的单价分别为多少元？ （2）为了迎接暑假，该超市准备投入成本不超过16200元购进熊猫抱枕和熊猫挂件共1000个．如果最后全部售完，则该超市应该购进多少个熊猫抱枕，才可以获得最大利润？最大利润是多少？ 20. 如图，在中，，点是中点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线经过点． （1）求k，a的值； （2）过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点．判断线段与的数量关系，并说明理由． 22. 杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是小文同学制订了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告： 课题 测量大树的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明：①D、C、B、F四点共线，均垂直于 ②光线经点C处平面镜反射后的光线是 ③平面镜大小忽略 ④测倾器高度忽略 测量数据 小文眼睛与地面高度米，小文到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米， 参考数据 ，， 请你根据以上测量报告，求大树AB的高度． 23. 如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径；． 24. 在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为． （1）c的值为__________，B点的坐标是__________． （2）进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式． （3）在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 25. 小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转得到矩形． [探究1]（1）如图①，当时，点E在AD上，连接BE，求的度数； [探究2]（2）如图②，连结BD，FC，过点E作交BD于点．证明：； [探究3]（3）在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $