精品解析：四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期末数学试题

德阳市高中2022级第二学年教学质量监测考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】集合，集合，则集合. 故选：D. 2. 平面向量，，若，则实数（ ） A. B. 9 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积公式结合向量垂直公式得参数. 【详解】由，可知， ，即， 故选：B 3. 已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理可列方程求解参数. 【详解】因为二项式的展开式中的系数是， 所以，解得. 故选：C. 4. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ） 参考数据：若，则，，． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为. 故选：A. 5. 已知定义域为的奇函数满足，，则（ ） A. B. 5 C. D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性求解即可． 【详解】由得，， 又因为为上奇函数且，所以， 故选：A． 6. 高温可以使病毒中蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表： 温度x（℃） 6 8 10 病毒数量y（万个） 30 22 20 由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（ ） 参考公式：， A. 12 B. 10 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】设回归方程，利用表中数据，根据最小二乘原理求得系数，即得方程，再用方程代入温度预测病毒数量即可. 【详解】y关于x的线性回归方程为，直线过样本中心点 由表格数据得，， ， ， 故根据最小二乘原理知， 所以， 即线性回归方程为； 将代入方程，得， 即可预测病毒数量为. 故选：C 7. 体积为4的长方体中，则该长方体的最小外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方体的外接球直径公式结合基本不等式即可得出最小值. 【详解】设 又因为体积为4，得出, 长方体的外接球直径为 则长方体的最小外接球表面积为. 故选：B. 8. 2160的不同正因数个数为（ ） A. 42 B. 40 C. 36 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据转化为因式乘积分类计算正因数个数即可. 【详解】， 所以2160的不同正因数个数为： . 共40个. 故选：B. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 设i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. 在复平面内的对应点位于第一象限 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出，然后根据虚部的概念、模的计算公式、复数的几何意义以及复数的乘方逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，，它的虚部为1，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，在复平面内的对应点位于第一象限，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10. 双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ） A. 以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B. 双曲线C的离心率为 C. 直线与的斜率之积为 D. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接写出符合描述的椭圆方程，对比即可判断；对于B，由离心率公式即可判断；对于C，直接根据斜率公式验算即可；对于D，根据对称性，只需任取一个焦点和一条渐近线，结合点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为， 从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为，故B正确； 对于C，显然异于，不妨设， 注意到都在双曲线上面，且， 所以直线与的斜率之积为，故C正确； 对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，， 而点到直线的距离是，故D正确. 故选：BCD. 11. 甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（ ） A. 该零件出自于甲加工的概率为0.25 B. 该零件是次品的概率为0.0525 C. 若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D. 若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合全概率公式和条件概率的计算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，所以A正确； 对于B中，该零件时次品的概率为，所以B正确； 对于C中，若零件是次品，则出自于乙加工的概率为，所以C不正确； 对于D中，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为， 出自于丙加工的概率为，所以甲乙丙的罚款额之比为，所以D正确. 故选：ABD. 12. 直线：与：的交点为P，记点P的轨迹为，动点Q在曲线：上，下列选项正确的有（ ） A. 若点，则 B. 是面积为的圆 C. 过Q作的切线，则切线长的最小值为 D. 有且仅有一个点Q，使得在Q处的切线被截得的线段长为2 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，将代入两直线方程，结合即可判断；对于B，说明是以为圆心，以为半径的一个圆即可判断；对于C，由切线长公式得切线长表达式，构造函数即可求得最小值进而判断；对于D，由题意分析得知在在Q处的切线上，即可列方程求解. 【详解】对于A，若点，则，注意到， 所以，所以，故A正确； 对于B，直线：与：依次过定点， 注意到，所以直线， 所以是以为圆心，以为半径的一个圆， 所以是面积为的圆，故B错误； 对于C，设，则切线长为 ， 令，则，令， 则，所以在实数域上单调递增， 注意到， 所以当时，，当时，， 所以在时单调递减，在时单调递增， 所以的最小值为， 所以当点坐标为时，切线长的最小值为，故C错误； 对于D，由B可知是以为圆心，以为半径的一个圆， 若在Q处的切线被截得的线段长为2，则在切线上， 而在Q处的切线为：， 所以， 因为，所以，解得， 所以存在唯一的点，使得在Q处的切线被截得的线段长为2，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键在于得到切线长为后，需要构造适当的函数，结合导数即可顺利得解. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案直接填在答题卡上） 13. 已知函数的零点为和1，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数函数值求参计算即可. 【详解】因为, 所以. 所以 所以. 故答案为：4. 14. 口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知X的可能取值，计算所求的概率值，写出X的概率分布，求出数学期望值. 【详解】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2； 则， ， ， 随机变量X的概率分布为； X 0 1 2 P 所以数学期望. 故答案为：. 15. 已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结，    由为等边三角形，则， 可知为直角三角形，且， 设，则，， 可得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为：. 16. ，，都有，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】把不等式成立，转化为函数的导数小于0在内恒成立，进而即可求解. 【详解】不妨，由题意分式转化为， 则，即，故函数单调递增， 又因为，解得， ，单调递增，所以. 故答案为： . 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 17. 现代科技日新月异，电子产品更是更新换代迅速，某手机开发公司推出一款新手机，为了解某地区消费者对新手机的满意度，从中随机调查了150名消费者，得到如下数据： 满意 不满意 男 60 40 女 40 10 （1）能否有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望． 参考数据： 0.150 0.100 0.050 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 （，其中） 【答案】（1）有 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先利用公式求出，利用临界值表进行判定； （2）先求出不满意的概率为，由二项分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解 【小问1详解】 所以有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关． 【小问2详解】 由表中数据可知，被调查者中“不满意”的频率为． 所以，，， ，， 其分布列为 0 1 2 3 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，，，M、N分别是BC、的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系结合线面垂直的判定定理证明即可； （2）空间向量法求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 由题意以A为坐标原点建立如图空间直角坐标系： 则，， 所以，，， 所以， ， 即，， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量可取， 平面的法向量可取为， 设平面与平面夹角为， 则. 19. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）求内角C； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据正弦定理再结合余弦定理计算即可； （2）根据正弦定理再应用两角和差正弦计算，最后应用正切函数值计算可得范围. 【小问1详解】 在中由正弦定理及已知条件得： 即 由余弦定理得： 又，所以． 【小问2详解】 由于为锐角三角形，所以，即， 所以， 即取值范围为． 20. 数列的前n项和为，且. （1）求证：数列为等比数列，并求其通项公式； （2）令，数列的前n项和为.求证：. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项； （2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得. 【小问1详解】 因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； 【小问2详解】 由（1）知， 故， 因，，故得. 21. 已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1. （1）求抛物线C的方程； （2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知的焦准距得出即可写出抛物线方程； （2）先设直线方程，再联立方程，结合向量的线性关系，得出，最后应用导函数正负结合单调性得出参数范围. 【小问1详解】 由题意得：，所以，从而抛物线C的方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，且必然存在斜率，故可设：，，. 由得：，， 则，由得：， 从而， 令，由于， 则， 所以在上单调递增，从而， 即， 所以直线在轴上的截距的取值范围为. 22. 已知在中，，，，记的面积为S． （1）请利用所学过的相关知识证明：； （2）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与该曲线的另一个交点为Q，若存在，使得的面积为，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式结合向量的夹角公式计算证明即可； （2）先求出切线方程再结合面积公式，最后求出导函数判断函数的单调性即可求出参数范围. 【小问1详解】 由题意得：， 所以 ， 从而， 又，， 所以，， ， 所以 ， 从而； 【小问2详解】 ，所以切线的斜率为， 从而切线方程为， 由， 得：， 所以，又， 所以的面积， 于是问题转化为关于m的方程在上有解， 即在上有解或在上有解， 当时，， 所以在上单调递增，故而， 当时，， 所以在上单调递增，故而， 综上得的取值范围为. 【点睛】思路点睛：先根据题意表示面积，再应用转化思想把有解转化函数值域，最后应用导函数求出单调性进而求得参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 德阳市高中2022级第二学年教学质量监测考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 平面向量，，若，则实数（ ） A. B. 9 C. D. 7 3. 已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ） 参考数据：若，则，，． A. B. C. D. 5. 已知定义域为的奇函数满足，，则（ ） A. B. 5 C. D. 2024 6. 高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表： 温度x（℃） 6 8 10 病毒数量y（万个） 30 22 20 由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（ ） 参考公式：， A. 12 B. 10 C. 9 D. 11 7. 体积为4的长方体中，则该长方体的最小外接球表面积为（ ） A B. C. D. 8. 2160的不同正因数个数为（ ） A. 42 B. 40 C. 36 D. 30 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 设i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. 在复平面内的对应点位于第一象限 D. 10. 双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ） A. 以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B. 双曲线C离心率为 C. 直线与的斜率之积为 D. 双曲线C焦点到渐近线的距离为2 11. 甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（ ） A. 该零件出自于甲加工的概率为0.25 B. 该零件是次品的概率为0.0525 C. 若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D. 若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 12. 直线：与：的交点为P，记点P的轨迹为，动点Q在曲线：上，下列选项正确的有（ ） A. 若点，则 B. 是面积为的圆 C. 过Q作的切线，则切线长的最小值为 D. 有且仅有一个点Q，使得在Q处的切线被截得的线段长为2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案直接填在答题卡上） 13. 已知函数的零点为和1，则__________． 14. 口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望______. 15. 已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为______. 16. ，，都有，则实数m的取值范围为______. 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 17. 现代科技日新月异，电子产品更是更新换代迅速，某手机开发公司推出一款新手机，为了解某地区消费者对新手机的满意度，从中随机调查了150名消费者，得到如下数据： 满意 不满意 男 60 40 女 40 10 （1）能否有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望． 参考数据： 0.150 0100 0.050 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 （，其中） 18. 如图，在直三棱柱中，，，M、N分别是BC、的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）求内角C； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 20. 数列的前n项和为，且. （1）求证：数列为等比数列，并求其通项公式； （2）令，数列前n项和为.求证：. 21. 已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1. （1）求抛物线C的方程； （2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围. 22. 已知在中，，，，记的面积为S． （1）请利用所学过的相关知识证明：； （2）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与该曲线的另一个交点为Q，若存在，使得的面积为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$