专题09 条件概率和全概率公式5大题型分类专训（期末真题汇编，四川专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 条件概率与全概率公式专题汇编，精选四川多地期末真题，覆盖5大高频考点，基础计算与实际应用结合，解答题注重综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约15题|考点01-03基础计算|如摸球、掷骰子等情境，考查条件概率公式直接应用| |多选|约5题|考点01、03概念辨析|结合对立事件、独立事件判断，强化逻辑推理| |填空|约8题|考点02-04实际应用|如旅游选择、产品质检，体现数学与生活联系| |解答题|约9题|考点03-05综合应用|如垃圾分类投放问题，融合全概率与贝叶斯公式，符合高考命题趋势|

专题09 条件概率和全概率公式 5大高频考点概览 考点01 计算条件概率（基础题型） 考点04利用贝叶斯公式求概率（重点题型） 考点02条件概率的计算在实际中的应用（高频题型） 考点05条件概率和全概率公式解答题（重点题型） 考点03利用全概率公式求概率（重点题型） 地 城 考点01 计算条件概率 1．（24-25高二下·四川广元·期末）已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川达州·期末）已知事件发生的概率，事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）设为同一个随机试验中的两个随机事件，若，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 4．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川宜宾·期末）若随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知、分别为随机事件、的对立事件，，， 则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D． 7．（多选）（24-25高二下·四川凉山·期末）下列说法正确的是（    ） A．由样本数据得到的经验回归直线必经过样本点中心 B．若，则 C．若，则 D．和是分类变量，则值越大，则判断“与独立”的把握性越大 地 城 考点02 条件概率的计算在实际中的应用 1．（24-25高二下·四川成都·期末）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川成都·期末）同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川南充·期末）袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川凉山·期末）电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车通过质检．若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（    ） A．0.794 B．0.684 C．0.714 D．0.684 5．（24-25高二下·四川眉山·期末）现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末）甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·四川乐山·期末）一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是________． 8．（24-25高二下·四川成都·期末）袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为__________. 9．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立甲乙两个小组进行新产品研发，已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为．则在新产品研发成功的情况下，新产品是由甲小组研发成功的概率是______． 地 城 考点03 利用全概率公式求概率 1．（24-25高二下·四川资阳·期末）已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，从这批产品中任取一件是次品的概率是（   ） A．0.015 B．0.02 C．0.014 D．0.013 3．（24-25高二下·四川达州·期末）已知甲组有3名男生2名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川成都·期末）某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川泸州·期末）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.则第二次抽到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二下·四川眉山·期末）在一个大型公司中，技术部门员工占，非技术部门员工占．在技术部门中，有的员工持有硕士学位，而在非技术部门中，只有的员工持有硕士学位．现从该公司随机抽取一名员工．则下列结论正确的是（    ） A．抽到的员工是技术部门且持有硕士学位的概率为 B．抽到的员工持有硕士学位的概率为 C．若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是技术部门的概率为 D．若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是非技术部门的概率为 7．（多选）（24-25高二下·四川成都·期末）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二下·四川自贡·期末）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法正确的是（    ） A．是对立事件 B． C． D． 9．（24-25高二下·四川绵阳·期末）现有3箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味．现从三箱中任意选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率为______． 10．（24-25高二下·四川南充·期末）某校开学后，食堂从开学第一天起，每天中午只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，如果第1天选择米饭套餐，那么第2天选择面食套餐的概率为；如果第1天选择面食套餐，第2天选择米饭套餐概率为，如此往复.设该同学第天选择米饭套餐的概率为，则____________. 11．（24-25高二下·四川绵阳·期末）甲、乙二人下围棋，根据规则，先确定第一局谁先落子.由乙随手抓一把白子，甲随机猜白子个数的奇偶，若甲猜正确，由甲先落子，否则乙先落子，之后每局由上一局负者先落子.若甲先落子，则甲胜的概率为0.5，若乙先落子，则乙胜的概率为0.6，采取三局两胜制（无平局情况），则乙通过前两局就获胜的概率为______. 12．（24-25高二下·四川宜宾·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率依次为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的、，任取一个零件，则它是次品的概率为_________． 13．（24-25高二下·四川广元·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 地 城 考点04 利用贝叶斯公式求概率 1．（24-25高二下·广东佛山·期末）若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二下·浙江·期末）某批水稻种子有5%的是变异种，变异种当中有90%的是长不大的．在正常的种子中，90%的都能长大．下列说法正确的有（    ） A．这批水稻长不大的占比超过10% B．这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率低于1% C．如果有种子长不大，那么它是变异种的概率高于30% D．如果有种子长大了，那么它是变异种的概率高于0.3% 地 城 考点05 条件概率和全概率公式解答题 1．（24-25高二下·四川巴中·期末）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛4局以内（含4局）结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 2．（24-25高二下·四川成都·期末）盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． (1)若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； (2)设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 3．（24-25高二下·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 4．（24-25高二下·四川泸州·期末）有两枚硬币A，B．假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为，抛硬币B正面向上的概率为p.现在先从两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次. (1)若，求抛一次硬币，正面向上的概率. (2)若，在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上的概率. (3)如果当连续抛硬币k次（，）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过 ，则k的最小值为多少？[提示：用表示不小于x的最小整数.） 5．（2025·四川巴中·一模）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响. (1)求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率； (2)求“乙获胜”的概率. 6．（2024·四川成都·模拟预测）某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为.某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响. (1)此人至少得到一张红色卡片的概率； (2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率. 7．（24-25高二下·四川眉山·期末）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 8．（24-25高二下·四川内江·期末）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） (1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 (2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率； (3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 9．（24-25高二下·四川遂宁·期末）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者． (1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件 “在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级” ．请完成下表中不同事件的概率并写出必要的演算步骤： 事件概率 概率值 (2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自高一年级的概率． 事件概率 概率值 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 条件概率和全概率公式 5大高频考点概览 考点01 计算条件概率（基础题型） 考点04利用贝叶斯公式求概率（重点题型） 考点02条件概率的计算在实际中的应用（高频题型） 考点05条件概率和全概率公式解答题（重点题型） 考点03利用全概率公式求概率（重点题型） 地 城 考点01 计算条件概率 1．（24-25高二下·四川广元·期末）已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的乘法公式求出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 故选：B. 2．（24-25高二下·四川达州·期末）已知事件发生的概率，事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】由条件概率公式可得：, 故选：A. 3．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）设为同一个随机试验中的两个随机事件，若，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】根据对立事件概率及条件概率的公式计算即可得解. 【详解】由，得， 由， 得，所以. 故选：B 4．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 5．（24-25高二下·四川宜宾·期末）若随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意先求出，再由条件概率的定义求即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 6．（多选）（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知、分别为随机事件、的对立事件，，， 则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】CD 【分析】利用条件概率公式一一判断即可. 【详解】对于A：因为，， 若，则，所以，则， 但是不一定为，即不一定为，所以A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：因为，所以， 所以，故C正确； 对于D：因为，，所以， 所以，即，故D正确； 故选：CD 7．（多选）（24-25高二下·四川凉山·期末）下列说法正确的是（    ） A．由样本数据得到的经验回归直线必经过样本点中心 B．若，则 C．若，则 D．和是分类变量，则值越大，则判断“与独立”的把握性越大 【答案】AB 【分析】对于A，由回归直线的性质分析判断，对于B，由二项分布的期望公式分析判断，对于C，根据条件概率公式分析判断，对于D，根据的性质分析判断. 【详解】对于A，由样本数据得到的经验回归直线必经过样本点中心，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B正确， 对于C，由，, 得，， 所以， 因为，所以， 所以，解得，所以C错误， 对于D，和是分类变量，则值越大，则判断“与独立”的把握性越小，所以D错误， 故选：AB 地 城 考点02 条件概率的计算在实际中的应用 1．（24-25高二下·四川成都·期末）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】设“第1次抽到代数题”为事件，“第2次抽到几何题”为事件， 则，， 所以， 故选：C． 2．（24-25高二下·四川成都·期末）同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法列出所有可能结合，再由条件概率公式计算可得. 【详解】用表示甲骰子向上的点数，表示乙骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示， 则所有可能情况有，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，共个结果. 其中包含共个基本事件， 包含共个基本事件， 所以，，所以. 故选：C 3．（24-25高二下·四川南充·期末）袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解． 【详解】记第一次摸到白球为事件，第二次摸到黑球为事件， 则，， 故． 故选：D． 4．（24-25高二下·四川凉山·期末）电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车通过质检．若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（    ） A．0.794 B．0.684 C．0.714 D．0.684 【答案】C 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】设表示第次撞击后该汽车没有受损， 则由已知可得，，， 由条件概率公式可得， 即该汽车通过质检的概率是 故选：C 5．（24-25高二下·四川眉山·期末）现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出事件发生的个数和事件同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案. 【详解】由题意可知事件发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为, 事件同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，故. 故选：D. 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末）甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用条件概率公式即可求出结果. 【详解】由题知，，， 所以， 故选：A. 7．（24-25高二下·四川乐山·期末）一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是________． 【答案】 【分析】记事件“一个是白球”， 事件“另一个是白球”，求出，再由条件概率公式计算可得答案. 【详解】记事件“一个是白球”，则， 事件“另一个是白球”，则， 由条件概率公式得， 则任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率为. 故答案为：. 8．（24-25高二下·四川成都·期末）袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为__________. 【答案】 【分析】设出事件，根据乘法公式得到第一次摸到白球的概率. 【详解】设事件为第一次摸到白球，事件为第二次摸到黑球， 则， 故. 故答案为： 9．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立甲乙两个小组进行新产品研发，已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为．则在新产品研发成功的情况下，新产品是由甲小组研发成功的概率是______． 【答案】/0.8 【分析】根据对立事件求出新产品研发成功的概率，再根据条件概率公式可直接求解． 【详解】设事件A为“新产品研发成功”，则， 事件为“甲小组研发成功”，则， 则在新产品研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为． 故答案为： 地 城 考点03 利用全概率公式求概率 1．（24-25高二下·四川资阳·期末）已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球，记事件从乙箱中取出的球是黑球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球， 记事件从乙箱中取出的球是黑球，则，，，， 由全概率公式可得. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，从这批产品中任取一件是次品的概率是（   ） A．0.015 B．0.02 C．0.014 D．0.013 【答案】D 【分析】由全概率公式计算即得． 【详解】设事件为“任取一件产品为次品”，事件为“任取一件产品为厂的产品”， ，， 由已知，， 由全概率公式得 ， 故选：D． 3．（24-25高二下·四川达州·期末）已知甲组有3名男生2名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】依题意，选甲组概率为，选乙组概率为， 甲组里男生概率为，乙组里男生概率为， 所以该学生是男生的概率. 故选：A. 4．（24-25高二下·四川成都·期末）某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去A，B餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅， 则,， 则, 故 , , 则 ， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要求出第2天去A，B餐厅的概率，继而结合全概率公式求解. 5．（24-25高二下·四川泸州·期末）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.则第二次抽到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记取到红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，，先求出，再求得，再利用全概率公式即可求出结果. 【详解】记取到红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 因为，，又，，， 由全概率公式知. 故选：B. 6．（多选）（24-25高二下·四川眉山·期末）在一个大型公司中，技术部门员工占，非技术部门员工占．在技术部门中，有的员工持有硕士学位，而在非技术部门中，只有的员工持有硕士学位．现从该公司随机抽取一名员工．则下列结论正确的是（    ） A．抽到的员工是技术部门且持有硕士学位的概率为 B．抽到的员工持有硕士学位的概率为 C．若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是技术部门的概率为 D．若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是非技术部门的概率为 【答案】AD 【分析】利用概率乘法公式计算A；由全概率公式计算判断B；利用条件概率公式计算判断CD. 【详解】用分别表示抽到的技术部门员工､非技术部门员工，用表示抽到的员工持有硕士学位， 依题意，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 7．（多选）（24-25高二下·四川成都·期末）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而可求出.进而逐项验证可得结论. 【详解】设表示经过第次传球后，球在甲手中， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 则， 所以，， ， 所以，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以， ，故C错误； . 故选：AD. 8．（多选）（24-25高二下·四川自贡·期末）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有4个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和5个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法正确的是（    ） A．是对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对立事件的定义可判断A；计算出可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A：从甲袋中摸球，结果只能是红球或者绿球，即​与​互斥且必有一个发生， 所以​与是对立事件，故A正确； 对于B：当​发生时，即从甲袋中摸出1个绿球放入乙袋 ，则乙袋中有红球3个，绿球6个， 根据条件概率的含义得， 故B正确； 对于C：由题得，计算得.  由全概率公式可知： ，即，故C错误； 对于D：由前面的计算可知，，根据贝叶斯公式 ，则，故D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高二下·四川绵阳·期末）现有3箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味．现从三箱中任意选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率为______． 【答案】 【分析】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求解. 【详解】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件， 则彼此互斥，且，. 设随机取1袋酸奶，取出的酸奶是水果味为事件，则 . 故答案为：. 10．（24-25高二下·四川南充·期末）某校开学后，食堂从开学第一天起，每天中午只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，如果第1天选择米饭套餐，那么第2天选择面食套餐的概率为；如果第1天选择面食套餐，第2天选择米饭套餐概率为，如此往复.设该同学第天选择米饭套餐的概率为，则____________. 【答案】 【分析】根据全概率公式，计算出第天选择米饭套餐和第天选择米饭套餐的概率的关系，进而写出第天选择米饭套餐的概率. 【详解】设第天选择米饭套餐为事件，则第天选择面食套餐为，则， 由题意可知， 由全概率公式得， 化简得，变形得， 因为， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，则. 故答案为：. 11．（24-25高二下·四川绵阳·期末）甲、乙二人下围棋，根据规则，先确定第一局谁先落子.由乙随手抓一把白子，甲随机猜白子个数的奇偶，若甲猜正确，由甲先落子，否则乙先落子，之后每局由上一局负者先落子.若甲先落子，则甲胜的概率为0.5，若乙先落子，则乙胜的概率为0.6，采取三局两胜制（无平局情况），则乙通过前两局就获胜的概率为______. 【答案】/ 【分析】首先分别求出甲乙先落子的概率，再利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】乙随手抓一把白子，甲随机猜白子个数的奇偶，则甲猜正确的概率为， 即甲先落子的概率为，乙先落子的概率为， 若甲先落子，则乙通过前两局就获胜的概率为； 若乙先落子，则乙通过前两局就获胜的概率为， 所以乙通过前两局就获胜的概率为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·四川宜宾·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率依次为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的、，任取一个零件，则它是次品的概率为_________． 【答案】0.037 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】依题意，事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”； 所以 . 故答案为：0.037 13．（24-25高二下·四川广元·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是________． 【答案】 【分析】由题意设出事件并写出其概率，根据条件概率公式以及全概率公式，可得答案. 【详解】设事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 则其对立事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 设事件“取出一个零件，它是次品”， 由题意可得，，，， ，. 故答案为：. 地 城 考点04 利用贝叶斯公式求概率 1．（24-25高二下·广东佛山·期末）若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式即可得解. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 2．（多选）（24-25高二下·浙江·期末）某批水稻种子有5%的是变异种，变异种当中有90%的是长不大的．在正常的种子中，90%的都能长大．下列说法正确的有（    ） A．这批水稻长不大的占比超过10% B．这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率低于1% C．如果有种子长不大，那么它是变异种的概率高于30% D．如果有种子长大了，那么它是变异种的概率高于0.3% 【答案】ACD 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】这批水稻长不大的占比为，故A正确， 这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率为，故B错误， 种子长不大的概率为，则是变异种的概率为，故C正确， 种子长大的概率为，它是变异种的概率为，故D正确， 故选：ACD 地 城 考点05 条件概率和全概率公式解答题 1．（24-25高二下·四川巴中·期末）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛4局以内（含4局）结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据获胜规则，结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）根据比赛4局以内（含4局）结束包括：两局结束比赛，和四局结束比赛（前两局各赢一局，后两局一人连胜），求解即可； （3）根据2局结束比赛、4局结束比赛和6局结束比赛，利用相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【详解】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： ； （2）比赛4局以内（含4局）结束包括：两局结束比赛， 和四局结束比赛（）， （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： . 2．（24-25高二下·四川成都·期末）盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． (1)若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； (2)设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知在第一次抽取黑球的条件下，则盒子里还剩个红球个黑球，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）记事件第次从盒中摸出的一个球是黑球，求出、、、，利用全概率公式可得出的值. 【详解】（1）若，在第一次抽取黑球且不放回的条件下，则盒子里还剩个红球个黑球， 故在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率为. （2）记事件第次从盒中摸出的一个球是黑球， 则，，，， 由全概率公式可得 . 3．（24-25高二下·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设相应事件，结合计算求解即可； （2）根据全概率公式可得，代入计算即可； （3）根据条件概率公式 ，结合计算即可. 【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. （2）由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. （3）由题意可得： ， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 4．（24-25高二下·四川泸州·期末）有两枚硬币A，B．假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为，抛硬币B正面向上的概率为p.现在先从两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次. (1)若，求抛一次硬币，正面向上的概率. (2)若，在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上的概率. (3)如果当连续抛硬币k次（，）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过 ，则k的最小值为多少？[提示：用表示不小于x的最小整数.） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）抛一次硬币，正面向上的概率受到选择那个硬币的影响，可根据选择的硬币，将样本空间表示为“选中硬币A”和“选中硬币B”两个互斥时间的并，利用全概率公式求解； （2）先通过贝叶斯公式确定选中硬币A或B的概率，再结合各自的正面概率，利用全概率公式算出第二次正面向上的总概率； （3）通过贝叶斯公式明确 “犯错误的概率” 的表达式，再通过不等式变形和对数运算求解k的最小值. 【详解】（1）设事件H表示抛一次硬币正面向上，事件A表示选中硬币A，事件B表示选中硬币B， 则且与互斥，根据题意得，，，. 由全概率公式得. 因此抛一次硬币正面向上的概率为. （2）设表示第一次正面向上，表示第二次正面向上， 则用贝叶斯公式结合（1）得，. 又，． 给定硬币类型，抛掷独立，故 . 因此，所求概率为. （3）事件F：“连续抛k次全为正面向上”， 则 “犯错误的概率” 即为， 硬币A连续k次正面向上的概率， 硬币B连续k次正面向上的概率. 根据贝叶斯公式. 此值不超过，即.即，， 由，得，所以，得. 取自然对数并由于，. 因此，k的最小值为不小于该值的最小整数：. 5．（2025·四川巴中·一模）甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次.已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响. (1)求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率； (2)求“乙获胜”的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合随机事件的概率求解即可(2)结合随机事件“乙获胜”分为甲投中次，乙投中1次或者两次，和甲投中1次，乙投中两次两种情况结合全概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“甲第一次未投中，乙两次都投中”为事件 则 （2）设事件“乙获胜”为事件 则 6．（2024·四川成都·模拟预测）某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为.某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响. (1)此人至少得到一张红色卡片的概率； (2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设此人得到的卡片中红色的有张，蓝色的有张，则均服从二项分布，根据对立事件概率关系求解； （2）根据条件概率的计算公式求解. 【详解】（1）设此人得到的卡片中红色的有张，蓝色的有张，则，， ， 即此人至少得到一张红色卡片的概率为. （2）由题可得 ， 即若已知此人至少有一张红色卡片，则此人至少有一张蓝色卡片的概率为. 7．（24-25高二下·四川眉山·期末）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【答案】(1) (2) (3) 【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，. （1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率； （2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案； （3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和. 【详解】（1）记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， （3）若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 8．（24-25高二下·四川内江·期末）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） (1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 (2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率； (3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式计算即可； （2）利用条件概率公式计算即得； （3）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得. 【详解】（1）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为； （2）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹， 根据题意得，， 所以． （3）设表示第天选择绿豆汤，则， 根据题意得，， 由全概率公式得， ， 即，整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，所以.. 【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件的概率问题，把事件分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 9．（24-25高二下·四川遂宁·期末）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者． (1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件 “在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级” ．请完成下表中不同事件的概率并写出必要的演算步骤： 事件概率 概率值 (2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自高一年级的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）根据概率计算公式进行计算即可； （2）利用条件概率公式进行计算即可. 【详解】（1）根据三个年级的人数比值为3：3：4， 则，，， ，，， 由全概率公式，得， 事件概率 概率值 （2）该学生来自高一年级的概率． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $