精品解析：四川省德阳市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题

德阳市高中2021级第二学年教学质量监测考试 数学试卷（理科） 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12个小题、每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设复数满足，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A B. 32 C. 16 D. 4. 求值：（ ） A. B. C. D. 5. 命题“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量满足，则的最大值为（ ） A 1 B. C. D. 0 7. 第31届世界大学生运动会即将在成都举行，现有甲、乙、丙3名志愿者分配到其中7个项目参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个项目志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项目的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上可导的奇函数，当时始终满足，已知实数，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 若在上恰有两个极值点，则的取值范围是 D. 若在上恰有两个极值点，则的取值范围是 10. 已知两个正方形框架的边长都为1，它们所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则三棱锥的体积达到最大值时（ ） A. B. C. D. 11. 已知为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A B. 2 C. D. 12. 已知函数有两个互为相反数的极值点，且，则下列说法正确的是（ ） ①； ②必存在最小值； ③若有唯一一个整数解，则的取值范围为； ④若存在两个不相等的正数，使得，则． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上） 13. 已知随机变量，则_________． 14. 中，，则的面积_________． 15. 已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则的内切圆半径为_________． 16. 已知点为棱长等于1的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角大小为_________． 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明及演算步骤．） 17. 数学建模课程的开设得到了广大学生的高度喜爱，某校为了解学生的建模能力开展了数学建模课程问卷调查，现从中抽取100名学生的调查问卷作为样本进行统计，学生对于建模课程的态度分为“非常喜欢”，“喜欢部分内容”，“不是很感兴趣”三种情况，其具体数据如下表所示： 对建模的态度 性别 非常喜欢 喜欢部分内容 不是很感兴趣 男生 15 25 5 女生 20 20 15 （1）为研究学生对数学建模课程的态度，我们将“非常喜欢”和“喜欢部分内容”两类合并为“比较喜欢”，根据上表完成下面的列联表． 对建模的态度 性别 比较喜欢 不是很感兴趣 合计 男生 女生 合计 （2）我们是否有99.5%的把握认为学生的性别与对建模课程的喜欢有关？ 附：，其中． 参考公式与临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.072 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知正项等比数列对任意的均满足． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 19. 在中，，在斜边与直角边上各取点，使得，现沿着直线将进行翻折至． （1）证明：当时，； （2）当三棱锥的体积为时，求二面角的余弦值． 20. 已知经过点的椭圆的上焦点与抛物线焦点重合，过椭圆上一动点作抛物线的两条切线，切点分别为． （1）求和的方程； （2）当在椭圆位于轴下方的曲线上运动时，试求面积的最大值． 21. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线相互垂直，求的值； （2）若函数存在两个极值点，且．证明：． 请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号