精品解析：四川省成都市成飞中学2023-2024学年高二上学期十月阶段检测数学试卷

石室成飞中学2023~2024学年度上期十月阶段检测 高2022级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项: 01.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上. 02.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 03.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的住置上. 04.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 05.考试结束后，只将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 成飞中学高一年级800人，高二年级600人，现按比例分层随机抽样的方法从高一、高二年级抽取28名同学朗诵“成飞赋”，则高二抽取的人数为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 21 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 已知，则直线通过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 4. 甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（ ） A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定 B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力 C. 从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好 D. 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好 5. 已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ） A. A与B不互斥 B. A与D互斥但不对立 C. C与D互斥 D. A与C相互独立 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则下列结论中正确的是（ ） A. 两人都投中的概率为0.72 B. 至少一人投中的概率为0.88 C. 至多一人投中的概率为0.26 D. 恰好有一人投中的概率为0.26 10. a，b为两条直线，，为两个平面，则以下命题不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 11. 有两组样本数据，分别为和，且平均数，方差分别为36和16，将两组数据合并为，重新计算平均数和方差，则（ ） A. 平均数为85 B. 平均数为86 C. 方差为26 D. 方差为52 12. 在一款色彩三原色（红、黄、青）的颜色传输器中，信道内传输红色、黄色、青色信号，信号的传输相互独立.当发送红色信号时，显示为黄色的概率为，显示为青色的概率为；当发送黄色信号时，显示为青色的概率为，显示为红色的概率为；当发送青色信号时，显示为红色的概率为，显示为黄色的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和两次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，两次传输是指每个信号重复发送2次.显示的颜色信号需要译码，译码规则如下：当单次传输时，译码就是显示的颜色信号；当两次传输时，若两次显示的颜色信号不同，则译码为剩下的颜色信号，若两次显示的颜色信号相同，则译码为显示的颜色.例如：若显示的颜色为（红，黄），则译码为青色，若显示的颜色为（红，红），则译码为红色.则下列结论正确的是（ ） A. 采用单次传输方案，若依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示为青色、青色、红色的概率为 B. 采用两次传输方案，若发送红色信号，则依次显示黄色、黄色的概率为 C. 采用两次传输方案，若发送红色信号，则译码为红色的概率为 D. 对于任意的，若发送红色信号，则采用两次传输方案译码为青色的概率小于采用单次传输方案译码为青色的概率 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知一组数据7，8，8，10，11，12，14，16，则这组数据的75%分位数是_________. 14. 若样本数据的方差为10，则数据的方差为________. 15. 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是__________. 16. 已知直线和垂直且，则的最小值为_____. 四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题各12分，共70分） 17. 已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： （1）垂直于直线； （2）平行于直线. 18. 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.求： （1）直方图中的a的值，并估计消费金额的中位数（精确到0.001）； （2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数. 19. 如图，在斜三棱柱中，，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 20. 已知直线，. （1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程. 21. 石室成飞中学举行新校区启用仪式，在全校三个年级开展了一次“千年人文石室，六秩航空成飞”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占. （1）求抽取的200名学生的平均成绩和方差（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都不是高三学生的概率. 22. 甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． （1）求第三局结束时乙获胜的概率； （2）求甲获胜的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石室成飞中学2023~2024学年度上期十月阶段检测 高2022级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项: 01.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上. 02.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 03.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的住置上. 04.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 05.考试结束后，只将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 成飞中学高一年级800人，高二年级600人，现按比例分层随机抽样的方法从高一、高二年级抽取28名同学朗诵“成飞赋”，则高二抽取的人数为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样公式，即可求解. 【详解】高二应抽取的人数为人. 故选：A 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解. 【详解】因为的斜率， 所以其倾斜角为30°. 故选：A. 3. 已知，则直线通过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件得到，从而得到直线所过象限. 【详解】因为，所以，即直线过第一、三、四象限． 故选：C 4. 甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（ ） A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定 B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力 C. 从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好 D. 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好 【答案】D 【解析】 【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案. 【详解】由图可知， 甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10， 甲的平均数为， 甲的方差为 乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7， 乙的平均数为， 乙的方差为， 所以，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A正确； 从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B正确； 甲打靶的成绩为2，4，6， 7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5， 乙打靶的成绩为5，6，6，7， 7，7，7，8，8， 9，中位数为7， 甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C正确； 甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7， 从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D错误. 故选：D. 5. 已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系，补全长方体，根据长方体外接球的半径公式，即可求解. 【详解】由题意可知，两两互相垂直， 如图，将三棱锥补成长方体，四面体的外接球和长方体的外接球是同一个外接球， 所以， 所以该球的表面积. 故选：C 6. 小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】不妨记更正前该组数据为：，然后根据平均数和方差公式先求出，再利用公式即可求得更正后的平均数和方差. 【详解】不妨记更正前该组数据为：， 则更正后的数据为：. 由题可知，， 整理得. 所以， . 故选：D 7. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线平行的充要条件求出满足题设的a值，再由古典概型计算所求概率即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 则， 取，则取出的有序数对共有个， 其中满足的有序数对有，，，共4个， 所以所求概率为. 故选：B. 8. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ） A. A与B不互斥 B. A与D互斥但不对立 C. C与D互斥 D. A与C相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误； 由，A、D互斥且对立，B错误； 又，，则，C与D不互斥，C错误； 由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则下列结论中正确的是（ ） A. 两人都投中的概率为0.72 B. 至少一人投中的概率为0.88 C. 至多一人投中的概率为0.26 D. 恰好有一人投中的概率为0.26 【答案】AD 【解析】 【分析】利用独立事件乘法、对立事件及互斥事件的概率求法求各项对应事件的概率，即可得答案. 【详解】设事件A为：“甲投中”，设事件B为：“乙投中”，这两个事件相互独立， A：都投中概率为，对； B：至少一人投中的对立事件为：两人都未投中，故至少一人投中概率为，错； C：至多一人投中的对立事件为：两人都投中，至多一人投中概率为，错； D：恰好有一人投中概率为，对. 故选：AD 10. a，b为两条直线，，为两个平面，则以下命题不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，注意判断的情况； 对B，注意可能相交或异面； 对C，讨论a，b的相交情况，即可判断； 对D，根据平面平行的性质判断即可. 【详解】对A，由，，可得或，A错误； 对B，由，，可得直线可能相交，异面或平行， B错误； 对C，，则当相交时，；当平行时，则或相交，C错误； 对D，由，，根据平行平面的性质可得，D正确， 故选：ABC. 11. 有两组样本数据，分别为和，且平均数，方差分别为36和16，将两组数据合并为，重新计算平均数和方差，则（ ） A. 平均数为85 B. 平均数为86 C. 方差为26 D. 方差为52 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的平均数、方差公式计算即得. 【详解】依时间，平均数为，A错误，B正确； 方差为，C错误，D正确. 故选：BD 12. 在一款色彩三原色（红、黄、青）的颜色传输器中，信道内传输红色、黄色、青色信号，信号的传输相互独立.当发送红色信号时，显示为黄色的概率为，显示为青色的概率为；当发送黄色信号时，显示为青色的概率为，显示为红色的概率为；当发送青色信号时，显示为红色的概率为，显示为黄色的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和两次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，两次传输是指每个信号重复发送2次.显示的颜色信号需要译码，译码规则如下：当单次传输时，译码就是显示的颜色信号；当两次传输时，若两次显示的颜色信号不同，则译码为剩下的颜色信号，若两次显示的颜色信号相同，则译码为显示的颜色.例如：若显示的颜色为（红，黄），则译码为青色，若显示的颜色为（红，红），则译码为红色.则下列结论正确的是（ ） A. 采用单次传输方案，若依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示为青色、青色、红色的概率为 B. 采用两次传输方案，若发送红色信号，则依次显示黄色、黄色的概率为 C. 采用两次传输方案，若发送红色信号，则译码为红色的概率为 D. 对于任意的，若发送红色信号，则采用两次传输方案译码为青色的概率小于采用单次传输方案译码为青色的概率 【答案】BD 【解析】 【分析】根据信号传输规则及相互独立事件同时发生的概率计算可判断ABC，利用作差法比较大小可判断D. 【详解】对于A，依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示青色、青色、红色的事件是发送红色信号显示青色、发送黄色信号显示青色、发送青色信号显示红色的3个事件的积，它们相互独立， 所以所求概率为，A错误； 对于B，两次传输，发送红色信号，相当于依次发送红色、红色信号，则依次显示黄色、黄色的事件是发送红色信号接收黄色信号、发送红色信号接收黄色信号的2个事件的积，它们相互独立， 所以所求概率为，B正确； 对于C，两次传输，发送红色信号，则译码为红色的事件是依次显示黄色、青色或青色、黄色的事件的和，它们互斥， 所以所求的概率为，故C错误； 对于D，若采用两次传输，发送红色信号，则译码为青色的概率， 若单次传输发送红色信号，则译码为青色的概率， 因此，即，D正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知一组数据7，8，8，10，11，12，14，16，则这组数据的75%分位数是_________. 【答案】13 【解析】 【分析】根据百分位数公式，即可求解. 【详解】共8个数据，，则第分位数是第6个和第7个数据的平均数， 即. 故答案为：13 14. 若样本数据的方差为10，则数据的方差为________. 【答案】250 【解析】 【分析】根据代入方差的性质公式，即可求解. 【详解】设样本数据的方差为，则数据的方差为. 故答案为：250 15. 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是__________. 【答案】(－∞，－]∪[1，＋∞) 【解析】 【分析】作出函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可. 【详解】如图示： 当直线l过点时设直线l斜率为， 则， 当直线l过点时设直线l斜率为， 则， 要使直线l 与线段有公共点, 则直线l斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)， 故答案为：(－∞，－]∪[1，＋∞). 【点睛】本题考查了两点求直线的斜率，考查了数形结合的思想，属于基础题. 16. 已知直线和垂直且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，故， 因为，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题各12分，共70分） 17. 已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： （1）垂直于直线； （2）平行于直线. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据两直线垂直求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）首先根据两直线平行求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【小问1详解】 因为垂直于直线，所以所求直线斜率为， 所求直线方程为，即. 【小问2详解】 因为平行于直线所以斜率.所求直线方程为，即. 18. 某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.求： （1）直方图中的a的值，并估计消费金额的中位数（精确到0.001）； （2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数. 【答案】（1），0.533 （2）6000 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和位1，求的值，再代入中位数公式，即可求解； （2）转化为计算区间内矩形的面积，再根据频率计算频数. 【小问1详解】 由频率分布直方图及频率和等于1可得： ， 解得. 前2组的频率和为， 前3组的频率和为， 所以设中位数为，则，得 所以消费金额的中位数为0.533； 【小问2详解】 消费金额在区间内频率为， 所以消费金额在区间内的购物者的人数为. 19. 如图，在斜三棱柱中，，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明： 设与交于点，连接，如图，     在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，则点为的中点， 因为点为的中点，点为的中点，则∥， 且平面，平面，∥平面. （2）证明： 因为，则四边形是菱形，则， 又因为，，可知平面， 且平面，所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线可得∥，进而结合线面平行的判定定理分析证明； （2）由题意可得平面，进而结合面面垂直的判定定理分析证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 20. 已知直线，. （1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程. 【答案】（1）定点A的坐标为 （2）或 【解析】 【分析】（1）整理方程为，然后解方程组可得答案； （2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解. 【小问1详解】 直线可化为， 则，解得， 直线l过定点，且定点A的坐标为； 【小问2详解】 直线过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的， 则当直线过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即； 当直线的横纵截距均不为零时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 此时直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 21. 石室成飞中学举行新校区启用仪式，在全校三个年级开展了一次“千年人文石室，六秩航空成飞”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占. （1）求抽取的200名学生的平均成绩和方差（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都不是高三学生的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，代入平均数和方差公式，即可求解； （2）首先确定第五组中，高三应抽取3人，非高三抽取4人，再利用编号，列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【小问1详解】 依题意，， 所以抽取的200名学生的平均成绩.； 【小问2详解】 由于第五组总共要抽取7人，高三学生占， 所以抽到的高三学生应该有人， 设7人中，高三学生三人是a、b、c，其余非高三学生标记为数字1，2，3，4. 则抽取2人共有以下21种组合 1a， 1b， 1c， 2a， 2b， 2c， 3a， 3b， 3c， 4a， 4 b， 4c， ab，ac，bc，12，13，14，23，24，34. 其中都是高三学生的共有以下3种组合：ab，ac，bc. 所以由古典概型可得这2人都不是高三学生的概率为. 22. 甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． （1）求第三局结束时乙获胜的概率； （2）求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解. （2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设事件A为“第三局结束乙获胜” 由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为． 若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 故 【小问2详解】 设事件B为“甲获胜”． 若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率． 若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 此时的概率． 若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）． 此时的概率 若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）． 此时的概率 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $