精品解析：广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸底测试数学试题

广东省2025届高三摸底测试（8月份） 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等边三角形的边长为1，那么（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（ ） A. ， B. 与相交，且交线平行于 C. ， D. 与相交，且交线垂直于 5. 移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（ ） A. 56种 B. 120种 C. 84种 D. 210种 6. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（ ） A. 1 B. C. D. －1 7. 已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是 A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（ ） A. 当时，点的轨迹是椭圆的一部分 B. 当时，点的轨迹是双曲线的一部分 C. 当时，点的轨迹是抛物线的一部分 D. 当时，点的轨迹是椭圆的一部分 10. 已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象的对称轴方程为 C. 若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为 D. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为 11. 定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的三个内角分别为，若成等差数列，则角的取值范围是__________. 13. 中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________. 14. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________． 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知A，B，C为的三个内角，向量与共线，且. （1）求角 （2）求函数的值域. 16. 如图，已知四边形和四边形都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.两点分别在正方形对角线和上移动，且. （1）当分别为的中点时，求证：平面； （2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距. （1）请用上述定义证明反比例函数的图象是双曲线； （2）利用所学的知识，指出双曲线的焦点坐标与渐近线方程； （3）我们知道，双曲线上的任意一点到与的距离之积是常数，即.探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由. 18. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数） （1）求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s； （2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”； （3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率. 附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，. 19. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”． （1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”； （2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围； （3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025届高三摸底测试（8月份） 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】，，因此，. 故选：D. 2. 已知等边三角形的边长为1，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积定义即可求解. 【详解】因为等边三角形的边长为1， 所以. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系，求的值，再用倍角公式求，再利用二倍角的余弦公式化简即可求值. 【详解】由及， 得. 所以，所以. 故选：A 4. 已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（ ） A. ， B. 与相交，且交线平行于 C. ， D. 与相交，且交线垂直于 【答案】B 【解析】 【分析】假设得到矛盾，确定与相交，设，过直线一点，作， 设与确定的平面为，根据，得到答案. 【详解】若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾， 故与相交，A错误； 设，过直线一点，作， 设与确定的平面为. 因为，所以，又，与相交，，所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，，又与相交，，所以， 又因为，，所以l与a不重合，所以，B正确，D错误； 因为，，，所以，C错误. 故选：B. 5. 移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流.如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（ ） A. 56种 B. 120种 C. 84种 D. 210种 【答案】C 【解析】 【分析】简单的组合问题，直接求解就可以了. 【详解】由于“群里”总共10人，其中1人发了信息，3人能看到信息，所以这9人中有3人与发信息的人是好友，所以“好友”关系的可能情况有（种）. 故选：C 6. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（ ） A. 1 B. C. D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义求得a的值，再根据导数的正负判断极值点，求得极大值. 【详解】由由题意得 , 故，则 ， 所以，令， 则，， 当或时，；当时，， 故函数在时取得极大值为， 故选：A. 7. 已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 【分析】 由消去y整理得， 设，则． 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则． 对于A， ，不为定值，故A不正确． 对于B，，不为定值，故B不正确． 对于C，，为定值，故C正确． 对于D，，不为定值，故D不正确． 选C． 点睛：抛物线定义的两种应用： （1）当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，有关距离、最值、弦长等是考查的重点； （2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线． 8. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得. 【详解】由，得且函数关于点对称． 由对任意，，均有， 可知函数在上单调递增． 又因为函数的定义域为R， 所以函数在R上单调递增． 因为a，b为关于x的方程的两个解， 所以，解得， 且，即． 又， 令，则， 则由，得， 所以． 综上，t 的取值范围是. 故选：D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（ ） A. 当时，点的轨迹是椭圆的一部分 B. 当时，点的轨迹是双曲线的一部分 C. 当时，点的轨迹是抛物线的一部分 D. 当时，点的轨迹是椭圆的一部分 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，求出和，每个选项代入公式判断. 【详解】设，则， 当时，即， 有，故A正确； 当时，有，故B正确； 当时，， 即，故C正确； 当时，， 即显然不是椭圆，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象的对称轴方程为 C. 若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为 D. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象，先求出函数的解析式，进一步可求的解析式，通过函数性质的分析逐项进行判定. 【详解】由图象可知，设的最小正周期为，又，解得， 由图可得，又，所以， 即，因此， 所以. 即可得，故A正确； 令（，解得，所以函数图象的对称轴方程为，故B错误； 令，即可得，解得， 可得，当时，的最小值为，故C正确； 易知，因此存在点，使得在点处的切线斜率为，故D正确. 故选：ACD 11. 定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据计算公式结合收敛点的定义判断即可. 【详解】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误； 对B，由可得数列，，，… 则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确； 对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误； 对D，由可得数列… 因为， 存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确； 故选：BD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的三个内角分别为，若成等差数列，则角的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件运用等差数列性质以及正弦定理得到，运用余弦定理和重要不等式即可求解. 【详解】由等差中项公式和正弦定理得， 由余弦定理得， ， 当且仅当时，等号成立， 又及在内单调递减，故. 故答案为： 13. 中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为__________. 【答案】28 【解析】 【分析】令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，由四个三棱柱的体积之和与四个四棱锥的体积之和，可得和，则有，求出中间长方体的体积，即可得该正四棱台的体积. 【详解】如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为， 依题意，四棱锥的体积为，即， 三棱柱的体积为，即，因此 于是长方体的体积， 所以该正四棱台的体积为. 故答案为：28 14. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式列方程求得黑球个数，从而可根据超几何分布的数学期望公式进行求解. 【详解】若黑球数小于，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾， 设有个黑球，则，解得满足题意， 由题意白球的个数为X服从超几何分布， 所以随机变量X的数学期望为. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知A，B，C为的三个内角，向量与共线，且. （1）求角 （2）求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得 ，进而得，即可求解.（2）根据余弦的二倍角公式以及余弦的和差角公式化简得，然后根据辅助角公式得，进而根据角的范围就可求解值域. 【小问1详解】 由题意，知， 整理，得， 即，解得. 已知为的内角，所以， 由，知为锐角，所以. 【小问2详解】 由（1）及题意知， 所以 又，所以，所以，因此， 故函数的值域为. 16. 如图，已知四边形和四边形都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.两点分别在正方形对角线和上移动，且. （1）当分别为的中点时，求证：平面； （2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图： 连接， 分别为的中点， ，又平面平面. 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证线线平行，推出线面平行. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形是正方形，所以; 又四边形是正方形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. ，平面，所以所在直线两两垂直. 故可以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系. 则,. ， . 时，. 当分别为的中点时，的长最小，所以. 取的中点，连接，则. 为的中点， ，即是平面与平面所成二面角.设平面与平面的夹角为. . . 所求夹角的余弦值为. 17. 一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距. （1）请用上述定义证明反比例函数的图象是双曲线； （2）利用所学的知识，指出双曲线的焦点坐标与渐近线方程； （3）我们知道，双曲线上的任意一点到与的距离之积是常数，即.探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由. 【答案】（1）证明: 观察图象可知若函数的图象是双曲线，则它一定是等轴双曲线， 且轴､轴是图象的渐近线，直线是双曲线的对称轴， 它与双曲线的两个交点是双曲线的两个顶点，实轴长. 两焦点坐标为. 设点在函数的图象上，则，即， （i）当时，， 所以 . （ii）当时，从而，同理，有. 因此，无论点在第一象限或者在第三象限，均有||（小于）. 综上，函数的图象是双曲线. （2）焦点：；准线：和 （3） 因为与是双曲线的两条渐近线，有. 类似地：双曲线上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数. 证明：设是双曲线上任意一点，则有. 双曲线的渐近线方程为. 于是点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，结论成立. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义判定函数的图象是双曲线. （2）根据双曲线的对称轴平分双曲线的渐近线求焦点坐标. （3）采用类比的方法猜测结论，再结合点到直线的距离公式证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 函数的图象是以为两焦点，实轴长的双曲线，两渐近线方程分别为和. 【小问3详解】 双曲线上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数，证明略. 18. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数） （1）求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s； （2）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”； （3）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率. 附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，. 【答案】（1），； （2）合格； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平均数、方差、标准差的计算公式进行求解即可； （2）根据题中所给的公式进行求解即可； （3）根据独立事件和条件概率的公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， 第一组学生的方差为； 解得； 第二组学生的方差为； 解得. 这40名学生的方差为 ， 所以； 【小问2详解】 由，，得的估计值，的估计值. ， ∴. 从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人）， 又，所以高三年级学生体能达标为“合格”； 【小问3详解】 设王强在这轮比赛得3分为事件A，他以的比分获胜为事件，他以的比分获胜为事件. 则， ； 所以， 设王强前3局比赛获胜的事件为B， 则， 所以. 19. 对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”． （1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”； （2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围； （3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）任取正常数，存在，所以， 因为， 即不恒成立， 所以不是“同比不减函数”. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可证明； （2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果； （3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论. 【详解】（1）略 （2）因为函数是“同比不减函数”， 所以恒成立，即恒成立， 对一切成立. 所以. （3）设函数是“同比不减函数”， ， 当时，因为成立， 所以，所以， 而另一方面，若， （Ⅰ）当时， 因为， 所以，所以有成立. （Ⅱ）当时， 因为， 所以， 即成立. 综上，恒有有成立， 所以的取值范围是. 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $