专题03 线段中的双（多）中点模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 6 11 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型： 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级·山东东营·期末）已知：如图，点C在线段上，，，点M、N分别是、的中点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的计算，找出线段之间的数量关系是解题关键．由线段中点可得，，即可求出的长． 【详解】解：点是的中点，，， 点是的中点，，，． 例2．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点C是线段上一点，点D、E分别是线段、的中点．(1)若，，求线段的长； (2)若，求线段的长．（用含a的式子表示） 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了线段的和差．理解线段的中点这一概念，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系，并根据图形求解是关键． （1）利用线段上中点的性质得到线段，再求解，再结合中点的含义可得答案； （2）由已知条件可以求得，由此可以求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点D、E分别是线段、的中点，， ∴，， ∵，∴，∴． （2）∵点D、E分别是线段、的中点，∴，， ∵，∴． 例3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知B、C两点把线段分成三部分（B在C点左侧），M是线段的中点，N为中点，．则求 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了求线段的长度，解决本题的关键是根据比例求出相关线段长．设，，，，根据，得到，求得，，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】解：如下图： 、C两点把线段分成三部分， 设，，，， 是线段的中点，N为中点， ，， ，，， ，， ，故答案为：10． 例4．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点，线段和差，根据题意分点在线段上时，点在线段延长线上时两种情况分析即可，画出图形，利用数形结合求解是解题的关键. 【详解】解：点在线段上时，如图所示： ∵点是的中点，∴， 又∵，∴ 又∵点是的中点，∴，又∵∴， 又∵，∴ 点在线段延长线上时，如图所示， 同理可求出，， 又∵，∴， 综上所述：的长度为或，故选：． 例5．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）如图，C是的中点，点D是的中点，下列等式不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的中点、线段的和差等知识点，理清各线段之间的关系是解题的关键． 根据线段中点得出，再根据线段的和差逐项判断即可． 【详解】解：∵C是的中点，点D是的中点， ∴. A.，即正确，不符合题意； B. 正确，不符合题意； C. 不正确，符合题意； D. 正确，不符合题意．故选C． 例6．（23-24七年级·山东烟台·期末）如图，，点D为线段的中点，点E为线段的三等分点，已知，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的计算，找出线段之间的关系是解题的关键．先求出的长度，根据中点和三等分点求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：，，，， 点D为线段的中点，， 点E为线段的三等分点，， ．故选B． 例7．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点． (1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)不变，还是，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，，结合中点的含义可得； （2）由已知可得，，再由，结合中点的性质即可解． 【详解】（1）解∶，，， 点是的中点，点是的中点，， ； （2）线段的长度不发生变化． 点是的中点，点是的中点，， ． 【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是关键． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段的变化规律是解题的关键 根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度，最后确定点的表示的数即可． 【详解】解：由题可知：，此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，第三次从点跳动到处， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：，当时，， ∵点在负半轴，∴点表示的数是，故答案为：． 例2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∴，∴， ∴，……依次类推， ，∴，故答案为：4． 例3．（22-23七年级上·四川成都·期末）已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段中点的定义，找规律，根据线段中点的定义分别求解线段，线段 的值，线段的值，通过找规律即可求出线段的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵、分别为线段、的中点，，∴， ∵分别为线段的中点，∴， ∵分别为线段的中点，∴，， ∴，故答案为：． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 1．（2022秋·甘肃武威·七年级统考期末）已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（    ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： ∵，M是AC的中点，N是BC的中点， ∴； ∵，M是AC的中点，N是BC的中点， ∴．故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是与线段中点有关的计算，根据题意画出正确的图形是解此题的关键． 2．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）如图，线段的长为6，点C为线段上一动点（不与A，B重合），D为中点，E为中点，随着点C的运动，线段的长度为（　　） A．不确定 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】由D为中点，E为中点得到，，进一步即可得到的长度． 【详解】解：∵D为中点，E为中点， ∴，， ∴． 故选：C 【点睛】此题考查了线段中点的相关计算，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 3．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期末）已知线段，线段，且在同一条直线上，点B在A、C之间，此时的中点M、N之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由中点的定义，分别求出和的长度，然后即可求出的长度． 【详解】解：根据题意，如图： ∵点M、N分别为是的中点，，， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义进行计算． 4．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点…，按这样操作下去，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义，和两点之间的距离，找出题目中的规律，即可得到结论． 【详解】由题意可知：如图 写出线段的长， ，是的中点得， ，是的中点得， ，是的中点得，…… 根据线段的长，找出规律， ∵， ， ， ， ， ……， ∴线段（为正整数） ∴线段 故选：A. 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键. 5．（2023秋·湖北黄石·七年级校联考期末）如图，点是线段上任意一点（不与端点重合），点是的中点，点是的中点，点是的中点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义得到，，，然后根据线段之间的和差倍分关系逐个求解即可． 【详解】解：∵M是中点， ∴， ∵P是中点， ∴， ∵点Q是中点， ∴， 对于①：，故①正确； 对于②：， ，故②正确； 对于③：， 而， 故③错误； 对于④：， ，故④正确； 故对3个， 故选C． 【点睛】此题考查线段之间的和差倍分问题，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 6．（2024秋·内蒙古·七年级校考期末）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为的中点，则线段的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据中点的定义分别求出的长，然后根据求解即可． 【详解】∵点C为线段上一点，线段， ， ∴， ∵点D是的中点， ∴； ∵点E是的中点， ∴， ∴． 故选择：C 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差等知识，数形结合是解答本题的关键． 7．（2023·陕西西安·七年级校考期末）直线上有三点，，，点为线段的中点，点为线段的中点.若，，则的长为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到，，，三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题． 【详解】分两种情况：第一种情况：B在内，如图： ； 第二种情况：B在外，如图： ，故选：D． 【点睛】本题考查了两点间的距离、线段的中点的定义；解题的关键是注意分类讨论，避免漏解． 8．（2024七年级·广东·培优）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，是的中点，是线段的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差计算，熟练掌握线段中点的定义及线段的和差计算是解答本题的关键．先求出，再由线段中点的定义，可得，，由此即可求得的长． 【详解】，， ， 是的中点，是线段的中点， ，， ． 故选C． 9．（23-24七年级上·云南德宏·期末）如图，是的中点，是的中点，若，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离．因为是的中点，是的中点，可得，，已知，可得的长，由此可判断选项是否符合题意． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴，故选项D不符合题意， ∴，故选项A不符合题意， ，故选项B符合题意， ，故选项C不符合题意， 故选：B． 10．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】根据中点的定义求出，，再由，可得出答案． 【详解】，是线段的中点，， ， 又为的中点，， ， ． 故答案为：3 【点睛】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用． 11．（2023·四川达州·七年级校考期末）在直线上取，两点，使，再在直线上取一点，使，，分别是，的中点，则 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论点在线段上，点在线段的反向延长线上，即可求解． 【详解】由题意知点的位置有两种情况， ①点在线段上， ，，，分别是，的中点， ，， ， ②点在线段的反向延长线上时，由①得， ， 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查线段中点的有关计算，解题的关键是分情况讨论点在线段上，点在线段外两种情况． 12．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ．    【答案】或 【分析】分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，    （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，    （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 13．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】15或29 【分析】分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点， ∴， ∴， ②若，如图： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点， ∴， ∴； 故答案为：15或29． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论． 14．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离和中点的性质等知识点，由和推出，由M为的中点可得出的长，进而可得的长度，由 N为的中点可得出的长度，进而即可求出的值．根据各线段之间的关系求出的长度是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）已知C为线段延长线上的点，M，N分别是的中点． (1)如果，求线段的长；(2)如果，求线段的长； (3)如果，点P是的中点，求线段的长． 【答案】(1)10(2)(3) 【分析】（1）根据M，N分别是的中点，可得，再由，即可求解； （2）根据M，N分别是的中点，可得，再由，即可求解； （3）根据题意可得，再由点P是的中点，可得，由（2）得：，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵M，N分别是的中点，， ∴， ∴； （2）解：∵M，N分别是的中点，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵点P是的中点， ∴， 由（2）得：， ． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段之间的数量是解题的关键． 16．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3 (2)①；②；③ 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故； （2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故； ②由，，知，，即得，故； ③由，，知，，即得，故． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ； 故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 17．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点．(1)若，求线段的长；(2)若，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据，求出，得出，根据中点定义求出，即可得出答案即可；（2）先用a表示出，得出，根据中点定义即可得出，得出，即可得出，求出a的值即可． 【详解】（1）解：，，， 为的中点，，． （2）解：，， 为中点，为中点，，， ，，． 【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 18．（23-24七年级上·广东湛江·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段的和差关系： （1）根据中点的定义求出，，则； （2）根据中点的定义得出，，进而可得； （3）根据（2）中结论求解； （4）根据（2）中结论求解． 【详解】（1）解：∵，，M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，， ∴，， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴； （4）解：由（2）可知：． 19．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）（1）如图，点C在线段上，点M、N分别为、的中点．如果，，求线段、的长； （2）如果点C在线段的延长线上，M、N分别是线段、的中点，且满足，求的长度． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据中点，求出的长，利用求出的长，利用求出的长，进而求出的长，利用求出的长； （2）根据题意，画出图形，利用中点得到，，利用，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，M是AC的中点， ∴． ∵， ∴， ∵N为的中点， ∴， ∴． （2）如下图所示． ∵M是中点，N是中点， ∴，． ∵， ∴． 【点睛】本题考查线段的和差计算．正确的识图，理清线段的和，差，倍数关系，是解题的关键． 20．（2023秋·重庆铜梁·七年级统考期末）如图，已知线段上依次有四个点分别为M，C，D，N，其中点M是线段的中点，点N是线段的中点，若线段，线段，求线段的长．请完成下列填空： 解：∵，，，       ∴ ① ； ∵点M是线段的中点， ∴ ② ； ∵点N是线段的中点，         ∴； ∴ ③ ，    ∴＝ ④ ． 【答案】①②③④ 【分析】根据线段的和差关系，以及线段中点平分线段，逐一进行作答即可． 【详解】解：∵，，，       ∴； ∵点M是线段的中点， ∴， ∵点N是线段的中点，         ∴； ∴ ，    ∴． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查线段的和差计算．正确的识图，理清线段之间的和差关系，以及线段的中点平分线段，是解题的关键． 21．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图，已知在线段上． (1)图中共有______条线段； (2)①若，比较线段的长短：______（填：“>”、“=”或“<”）； ②若是的中点，是的中点，求的长度． ③若是的中点，是的中点，直接写出的长度．（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)①；②；③． 【分析】（1）根据线段的定义可知图中的线段的条数； （2）根据线段的和差关系即可得到结论； （3）①根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度；②根据①的方式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图中有线段 ∴共有线段条数是， 故答案为：6； （2）解：①∵ ∴ ∴， 故答案为：=； ②∵是的中点。是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ③∵ ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题考查线段以及线段中点的定义，线段的和差倍数关系等相关知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． 22．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）线段和在数轴上运动，A开始时与原点重合，且 (1)若，且B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为5个单位/秒，线段的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，若线段和同时开始向左匀速运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)43 (2)或 (3)线段的长为定值，定值为 【分析】（1）根据线段的和差求解； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）设运动时间为t，再用t表示M，N表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】（1）解：∵B为线段的中点， ∴， ∴， ∴； （2）由题意得：B点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：， 解得：或； （3）设运动时间为t， 由题意得：A点表示的数为：，B点表示对数为：，C点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：M点表示的数为：， N点表示的数为：， ∴， 所以线段的长为定值，定值为16.5． 【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及中点的计算，一元一次方程的应用，理解题意，熟练运用数轴上两点之间的距离是解题关键． 23．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 【答案】(1)， (2)①；②1或8 【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案； （2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）①设运动时间为，则，， 根据“点值”的定义得：，， 的值是个定值， 的值是个定值， ； ②当点从点向点方向运动时， ， ， ； 当点从点向点方向运动时， ， ， ， 的值为1或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 4 6 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型： 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级·山东东营·期末）已知：如图，点C在线段上，，，点M、N分别是、的中点，求的长． 例2．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点C是线段上一点，点D、E分别是线段、的中点．(1)若，，求线段的长； (2)若，求线段的长．（用含a的式子表示） 例3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知B、C两点把线段分成三部分（B在C点左侧），M是线段的中点，N为中点，．则求 cm． 例4．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 例5．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）如图，C是的中点，点D是的中点，下列等式不正确的是（  ） A． B． C． D． 例6．（23-24七年级·山东烟台·期末）如图，，点D为线段的中点，点E为线段的三等分点，已知，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例7．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．(1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ． 例2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    例3．（22-23七年级上·四川成都·期末）已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 1．（2022秋·甘肃武威·七年级统考期末）已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（    ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm 2．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）如图，线段的长为6，点C为线段上一动点（不与A，B重合），D为中点，E为中点，随着点C的运动，线段的长度为（　　） A．不确定 B．2.5 C．3 D．3.5 3．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期末）已知线段，线段，且在同一条直线上，点B在A、C之间，此时的中点M、N之间的距离为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点…，按这样操作下去，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2023秋·湖北黄石·七年级校联考期末）如图，点是线段上任意一点（不与端点重合），点是的中点，点是的中点，点是的中点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024秋·内蒙古·七年级校考期末）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为的中点，则线段的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 7．（2023·陕西西安·七年级校考期末）直线上有三点，，，点为线段的中点，点为线段的中点.若，，则的长为（    ）． A． B． C．或 D．或 8．（2024七年级·广东·培优）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，是的中点，是线段的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·云南德宏·期末）如图，是的中点，是的中点，若，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点．若，，则的长为 ． 11．（2023·四川达州·七年级校考期末）在直线上取，两点，使，再在直线上取一点，使，，分别是，的中点，则 ． 12．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔（圆孔直径忽略不计，抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是 ．    13．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 14．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 15．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）已知C为线段延长线上的点，M，N分别是的中点． (1)如果，求线段的长；(2)如果，求线段的长； (3)如果，点P是的中点，求线段的长． 16．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 17．（2022秋·浙江湖州·七年级统考期末）如图，已知线段，延长线段至点，使得．点为线段的中点，点为线段的中点．(1)若，求线段的长；(2)若，求的值． 18．（23-24七年级上·广东湛江·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，，求的长；(2)若，求的长； (3)若，求的长；(4)指出与之间的大小关系． 19．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）（1）如图，点C在线段上，点M、N分别为、的中点．如果，，求线段、的长；（2）如果点C在线段的延长线上，M、N分别是线段、的中点，且满足，求的长度． 20．（2023秋·重庆铜梁·七年级统考期末）如图，已知线段上依次有四个点分别为M，C，D，N，其中点M是线段的中点，点N是线段的中点，若线段，线段，求线段的长．请完成下列填空： 解：∵，，，       ∴ ① ； ∵点M是线段的中点，∴ ② ； ∵点N是线段的中点，        ∴； ∴ ③ ，   ∴＝ ④ ． 21．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图，已知在线段上． (1)图中共有______条线段；(2)①若，比较线段的长短：______（填：“>”、“=”或“<”）； ②若是的中点，是的中点，求的长度． ③若是的中点，是的中点，直接写出的长度．（用含的代数式表示） 22．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）线段和在数轴上运动，A开始时与原点重合，且 (1)若，且B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为5个单位/秒，线段的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，若线段和同时开始向左匀速运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由． 23．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$