专题03 线段中的双（多）中点模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 4 7 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型： 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求的长；(2)若，求的长； 例2．（22-23七年级·广西防城港·阶段练习）如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段 的长； (2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能求出的长度吗？请说明理由． 例3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点B在线段上，点M是的中点，点N是的中点，若，则的长是 ． 例4．（23-24七年级·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 例5．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知点C为线段的中点，D为的中点，现给出下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③ 例6．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知线段，点C为线段的中点，点D为线段上的三等分点，则线段的长的最大值为（    ） A．16 B．18 C．15 D．20 例7．（2023·陕西·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．(1)若，求线段MN的长；(2)若C为线段上任一点，满，其它条件不变，你能猜想的长度吗？写出你的结论并说明理由；(3)若点C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形并写出你的结论（不必说明理由）． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    例3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 1．（2023春·江苏苏州·九年级校考开学考试）已知线段cm，点C是直线上一点，cm，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A．12cm B．8cm C．10cm D．8cm或12cm 2．（2023·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知点在直线上，若，，、分别为线段、的中点，则的长为（   ） A．5cm B．3cm C．5cm或3cm D．5cm或1cm 3．（2023·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期末）直线上的线段分别长分别是的中点，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2023·河北邯郸·七年级校考期中）已知题目：“如图，点C为线段上一点，点D，E分别为线段，的中点，若，求的长．”嘉嘉说这个题目有问题，当C是线段的中点的时候，才能求解，此时，淇淇说这个题目没有问题，，下列判断正确的是（    ）    A．嘉嘉的说法正确，求解结果也正确 B．淇淇的说法正确，求解结果也正确 C．嘉嘉的说法正确，求解结果不正确 D．淇淇的说法正确，求解结果不正确 5．（2023·成都市七年级期中）两条相等线段有三分之一重合，分别是的中点，且cm，则的长度是（   ） A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm 6．（2023秋·山西晋中·七年级统考期末）已知线段，点C在直线上，且，点D为的中点，点E为的中点，则线段的长为（    ） A． B．5 C． D．无法确定 7．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，点在线段上，点为的中点，点为的中点，若，则线段 ．    8．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知点、、在一条直线上，线段长为，线段长为，是的中点，是的中点，则 ． 9．（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）点是线段上的三等分点，是线段的中点，是线段的中点，若，则的长为 ． 10．（2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）如图，C，D分别是，的中点，若图中的所有线段长的和为117，则线段的长为 ． 11．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）已知点为线段所在直线上一点，点为的中点，为的中点．则 ． 12．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论：①；②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变． 所有结论正确的序号是 ． 13．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，点在线段上，其中，第一次分别取线段和的中点，，得到线段；再分别取线段和的中点，，得到线段；第三次分别取线段和的中点，，得到线段；连续这样操作2021次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 14．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点．(1)如果cm，cm，求的长；(2)如果cm，求的长． 15．（23-24七年级·上海浦东新·期末）如图，A、B、C、D、E是一条高速公路上的五个出口，B、D位于、的中点． (1)A到C的距离为30千米，B到D的距离为50千米，那么B到E的距离是多少？ (2)若A到E的距离为m千米，则B到D的距离是 千米（直接写出答案）． 16．（23-24七年级·湖南长沙·开学考试）如图，线段．C是线段的中点，D是线段的中点． (1)求线段的长；(2)在线段上有一点E，满足，求的长． 17．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）如图，已知C，D在线段上，，点E是的中点，点F是的中点．(1)线段与的数量关系是怎样的？请说明理由；(2)若，，求的长度． 18．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）已知线段，点是线段的中点，点是直线上任意一点．(1)如图，当点是线段的中点，且点是线段的中点时，求线段的长； (2)若点是线段的中点；当线段时，求线段的长；若点在线段的延长线上，直接写出线段与线段的数量关系． 19．（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）如图，线段，延长到点C，D是BC的中点． (1)若，求线段的长；(2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是 ； ①变小；②变大；③先变小，后变大；④先变大，后变小． (3)若，求线段的长． 20．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）已知：点A、B、C在同一条直线上，点Ｐ为线段的中点，点Q为线段的中点． (1)如图1，当点C在线段上时，①若，则线段的长为___________； ②若点C为线段上任意一点，，则线段的长为___________；（用含m的代数式表示） (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，若，求的长（用含m的代数式表示）． 21．（2023·河南驻马店·七年级校考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点． (1)线段=　 　； (2)若为线段上任意一点，满足，其他条件不变，求的长度并说明理由； (3)若在线段的延长线上，且满足，、分别为、的中点，求的长度，画出图形并说明理由． 22．（23-24七年级上·辽宁阜新·期中）如图，已知、在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)若．①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． (3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 23．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 6 11 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型： 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求的长；(2)若，求的长； 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． （1）因为点、分别是、的中点，所以，，已知，可得的长，，可得的长；（2）因为点、分别是、的中点，所以，，已知，可得的长． 【详解】（1）解：点、分别是、的中点，，， ，，，，； （2）解：点、分别是、的中点，，， ，． 例2．（22-23七年级·广西防城港·阶段练习）如图，点在线段上，点，分别是、的中点． (1)若，，求线段 的长； (2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能求出的长度吗？请说明理由． 【答案】(1)线段的长为；(2)长度等于，见解析． 【分析】（）由点分别是的中点，得，，再用线段和差即可求解；（）由点分别是的中点，得，，再用线段和差即可求解； 本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】（1）∵点分别是的中点，∴，， ∴，∴线段的长为； （2）长度等于，理由： ∵点分别是的中点，∴，， ∴． 例3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点B在线段上，点M是的中点，点N是的中点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． 因为点是的中点，点是的中点，所以，已知，可得、的长，因为，可得的长． 【详解】解：∵点是的中点，点是的中点，， ，，， ，故答案为：． 例4．（23-24七年级·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点，∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或，故选：D． 例5．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知点C为线段的中点，D为的中点，现给出下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段中点的定义得到，则，，即可判断①②；根据即可判断③；根据即可判断④． 【详解】解：∵点C为线段的中点，D为的中点，∴， ∴，，故①②正确； ∵，∴，故③正确； ∵，∴，故④正确；故选：A． 例6．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知线段，点C为线段的中点，点D为线段上的三等分点，则线段的长的最大值为（    ） A．16 B．18 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段和差．根据题意先求出，再根据题干分情况讨论点D所在位置，继而得到本题答案． 【详解】解：∵线段，点C为线段的中点，∴， ∵点D为线段上的三等分点，∴①当点D靠近点时：，此时； ②当点D靠近点时：，此时； ∵，∴线段的长的最大值为：20，故选：D． 例7．（2023·陕西·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段MN的长；(2)若C为线段上任一点，满，其它条件不变，你能猜想的长度吗？写出你的结论并说明理由；(3)若点C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形并写出你的结论（不必说明理由）． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)的长度等于，图见解析 【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）点M、N分别是的中点， ∴，， ∴．所以线段的长为． （2）的长度等于， 根据图形和题意可得：． （3）的长度等于，根据图形和题意可得：ACBC． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的规律，数轴上两点间的距离，根据题意，找出数字规律后与2计算距离即可． 【详解】∵A表示的数是2，原点表示的数是0， ∴表示的数是，表示的数是，表示的数是，由此得到表示的数是， 故第12次跳动后，该点到A点的距离为，故选C． 例2．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∴，∴， ∴，……依次类推， ，∴，故答案为：4． 例3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义得出是解题关键．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵线段，线段和的中点，， ∴， ∵线段和的中点，； ∴ 发现规律：，∴．故答案为：． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 1．（2023春·江苏苏州·九年级校考开学考试）已知线段cm，点C是直线上一点，cm，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A．12cm B．8cm C．10cm D．8cm或12cm 【答案】C 【分析】分在线段上以及在线段的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①点在线段上时，如图： ∵cm，cm，∴， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，∴； ②点在线段的延长线上时，如图： ∵cm，cm，∴， ∵M是的中点，N是的中点，∴， ∴，∴；综上：；故选C． 【点睛】本题考查有关线段中点的计算．熟练掌握线段的中点平分线段，是解题的关键．注意，分类讨论． 2．（2023·黑龙江大庆·七年级校考期末）已知点在直线上，若，，、分别为线段、的中点，则的长为（   ） A．5cm B．3cm C．5cm或3cm D．5cm或1cm 【答案】D 【分析】分点在线段上，在的延长线上，两种情况分别讨论，画出图形，根据中点的性质即可求解． 【详解】解：如图，当点在线段上， ∵，，、分别为线段、的中点， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上， ∵，，、分别为线段、的中点， ∴∴，故选：D． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差，数形结合、分类讨论是解题的关键． 3．（2023·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期末）直线上的线段分别长分别是的中点，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据线段中点的定义可得，再分两种情况：①点在点的右侧，②点在点的左侧，根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：分别是的中点，且线段分别长， ， ①如图，点在点的右侧， ， ②如图，点在点的左侧， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了与线段中点有关的运算，正确分两种情况讨论是解题关键． 4．（2023·河北邯郸·七年级校考期中）已知题目：“如图，点C为线段上一点，点D，E分别为线段，的中点，若，求的长．”嘉嘉说这个题目有问题，当C是线段的中点的时候，才能求解，此时，淇淇说这个题目没有问题，，下列判断正确的是（    ）    A．嘉嘉的说法正确，求解结果也正确 B．淇淇的说法正确，求解结果也正确 C．嘉嘉的说法正确，求解结果不正确 D．淇淇的说法正确，求解结果不正确 【答案】B 【分析】由点D，E分别为线段，的中点，可得，，从而可求，即可求解． 【详解】解：因为点D，E分别为线段，的中点， 所以，， 所以 ， 所以淇淇的说法正确，求解结果也正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，理解线段中点的定义是解题的关键． 5．（2023·成都市七年级期中）两条相等线段有三分之一重合，分别是的中点，且cm，则的长度是（   ） A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，根据，用表达出，再利用方程解答即可． 【详解】解：根据题意，画出如下图形： ∵，，、分别是，的中点， ∴ ， ∴， ∴ 又∵，即，∴，故选D． 【点睛】本题考查了线段的和差关系，线段的中点的含义，把握题中的等量关系，熟知线段的作图及运算方法是解题的关键． 6．（2023秋·山西晋中·七年级统考期末）已知线段，点C在直线上，且，点D为的中点，点E为的中点，则线段的长为（    ） A． B．5 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】分点C在点B的左右两边的两种情形计算选择即可． 【详解】如图，当点C在点B的右侧时， 根据题意，得， ∵点D为的中点，点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点C在点B的左侧时， 根据题意，得， ∵点D为的中点，点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查了线段的中点即把线段分成相等的两条线段的点，线段的和与差，分类思想，熟练掌握线段中点的意义，灵活运用线段的和差和分类思想是解题的关键． 7．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，点在线段上，点为的中点，点为的中点，若，则线段 ．    【答案】 【分析】根据点是的中点，点是的中点，分别求出与的和与的关系，进而求出线段的长即可． 【详解】解：∵是的中点，∴， ∵点是的中点，∴， ∴，故答案为． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段中点的特征和应用，要熟练掌握． 8．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知点、、在一条直线上，线段长为，线段长为，是的中点，是的中点，则 ． 【答案】或/4或8 【分析】根据点在点的右边或左边时，分类讨论，计算的长度即可． 【详解】解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ①    当点在点的右边时，如图： ∴； ②    当点在点的左边时，如图： ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，掌握两点间距离的计算方法，分类讨论是解答本题的关键． 9．（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）点是线段上的三等分点，是线段的中点，是线段的中点，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分类讨论，当时，；当时，，由此即可求解． 【详解】解：①如图所示， ∵，，， ∴，解得，； ②如图所示， ∵，，， ∴，解得，； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查线段的加减运算，掌握中点，三等分点的性质，线段的和差运算方法，图形结合分析是解题的关键． 10．（2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）如图，C，D分别是，的中点，若图中的所有线段长的和为117，则线段的长为 ． 【答案】36 【分析】先找出图中的所有线段，再根据C，D分别是，的中点等量代换计算即可． 【详解】图中的所有线段有共6条， 设， ∵C，D分别是，的中点， ∴， ∵图中的所有线段长的和为117， ∴， 解得， ∴， 故答案为36． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，如果点C把线段分成相等的两条线段与，那么点C叫做线段的中点，这时，或． 11．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）已知点为线段所在直线上一点，点为的中点，为的中点．则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：①当点在点的右侧时，如图所示，②当点在点的左侧时，如图所示，代入即可求出． 【详解】解：∵点分别是线段的中点，且线段线段 当点在点的右侧时，如图所示， 当点在点的左侧时，如图所示， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了两点间的距离：两点间的线段长叫做两点间的距离，也考查了线段中点的定义． 12．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论：①；②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变． 所有结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】①根据非负数的性质可得a和b的值，可判断； ②如图1，根据数轴可直观得出； ③如图2，分别计算，的值可判断； ④分四种情况，根据图形分别计算的长即可可判断． 【详解】解：①∵， ∵， ∴， ∴； 故①正确； ②如图1，当点B与点O重合时，； 故②不正确； ③如图2，当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点， ∴， ∴； 故③正确； ④∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴ 分四种情况： 1）当C在O的左侧时，如图3， ； 2）当B，C在O的两侧时，如图4， ； 3）当B，C在线段上时，如图5， ； 4）当B和C都在A的右边时，如图6， ； ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，线段的长度不变． 故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 13．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，点在线段上，其中，第一次分别取线段和的中点，，得到线段；再分别取线段和的中点，，得到线段；第三次分别取线段和的中点，，得到线段；连续这样操作2021次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】/ 【分析】根据线段中点的定义可得，，，根据规律可得答案． 【详解】解：∵线段和的中点，， ∴， ∵线段和的中点，， ∴， …， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点间的距离，能够根据线段中点的定义得到其中的规律是解题关键． 14．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如果cm，cm，求的长； (2)如果cm，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的中点计算，线段的和差运算． （1）先求出，再求出，根据线段的中点求出的长即可； （2）求出，把cm代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵cm， ∴cm， ∵cm， ∴cm； （2）∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴， ∵cm， ∴cm． 15．（23-24七年级·上海浦东新·期末）如图，A、B、C、D、E是一条高速公路上的五个出口，B、D位于、的中点． (1)A到C的距离为30千米，B到D的距离为50千米，那么B到E的距离是多少？ (2)若A到E的距离为m千米，则B到D的距离是 千米（直接写出答案）． 【答案】(1)85千米 (2) 【分析】本题主要考查了线段中点和线段的和差问题，熟练掌握线段中点的计算是解题的关键． （1）根据B、D位于、的中点，得到，，再进行线段和差计算即可． （2）根据B、D位于、的中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵B、D位于、的中点 ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ 故B到E的距离是85千米． （2）∵B、D位于、的中点 ∴， 又∵ ∴ 故答案为：． 16．（23-24七年级·湖南长沙·开学考试）如图，线段．C是线段的中点，D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点E，满足，求的长． 【答案】(1)的长为18 (2)的长为10或14 【分析】本题主要考查线段的和差运算，掌握中点的运算是解题的关键． （1）根据线段的中点先算出的长，再根据线段的和差即可求解； （2）根据题意可算出的长，分类讨论，当点E在之间时；当点E在之间时；由此即可求解． 【详解】（1）∵点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， ∴线段的长为18； （2）∵， ∴， 当点E在之间时，； 当点E在之间时，； 综上所述，的长为10或14． 17．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）如图，已知C，D在线段上，，点E是的中点，点F是的中点． (1)线段与的数量关系是怎样的？请说明理由； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，掌握线段的和差运算是解本题的关键； （1）先证明，，再结合线段的和差运算可得结论； （2）求解，，再利用线段的和差运算可得结论． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 18．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）已知线段，点是线段的中点，点是直线上任意一点． (1)如图，当点是线段的中点，且点是线段的中点时，求线段的长； (2)若点是线段的中点； 当线段时，求线段的长； 若点在线段的延长线上，直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1) (2)①或，② 【分析】本题考查两点间的距离，理解线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的前提． 根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； 分两种情况进行解答，即点在点的左侧和右侧，分别求出，再根据线段中点的定义进行计算即可； 根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， 又点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ； （2）当点在点的右侧时，，， ， 是的中点， ， 当点在点的左侧时，，， ， 是的中点， ， 因此的长为或； ，理由： 是的中点， ， 又是的中点， ， ，， ． 19．（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）如图，线段，延长到点C，D是BC的中点． (1)若，求线段的长；(2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是 ； ①变小；②变大；③先变小，后变大；④先变大，后变小． (3)若，求线段的长． 【答案】(1)1cm(2)①(3)10cm 【分析】（1）先根据题意求出的长度，再根据中点的定义求解即可； （2）根据题意将的长度表示出来，即可进行解答； （3）分两种情况进行谈论即可：当点D在上时，当点D在延长线上时． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵D是的中点， ∴． ∴． （2）当点D在上时 ∵， ∴若的长逐渐增大，则的长逐渐减小， 当点D在延长线上时， ∵， ∴若的长逐渐增大，则的长逐渐增大， 综上：若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是先变小，后变大． 故答案为：③． （3）当点D在上时 ∵，， ∴ ． ∵D是的中点， ∴ ． ∴． 当点D在延长线上时， ∵ ，， ∴ ． ∵D是的中点， ∴ ． ∴． 【点睛】本题主要考查了线段之间的和差关系，线段中点的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意进行分类讨论． 20．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）已知：点A、B、C在同一条直线上，点Ｐ为线段的中点，点Q为线段的中点． (1)如图1，当点C在线段上时， ①若，则线段的长为___________； ②若点C为线段上任意一点，，则线段的长为___________；（用含m的代数式表示） (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，若，求的长（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)①5；② (2) 【分析】（1）①根据线段中点的定义得到，则；②根据线段中点的定义得到，再由结合进行求解即可； （2）根据线段中点的定义分别求出，，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，∵，点Ｐ为线段的中点，点Q为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：5； ②∵点Ｐ为线段的中点，点Q为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点Ｐ为线段的中点，点Q为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的线段计算，熟知线段中点的定义是解题的关键． 21．（2023·河南驻马店·七年级校考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点． (1)线段=　 　； (2)若为线段上任意一点，满足，其他条件不变，求的长度并说明理由； (3)若在线段的延长线上，且满足，、分别为、的中点，求的长度，画出图形并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得、，再根据线段的和差，可得答案； （2）根据线段中点的性质，可得、，再根据线段的和差，可得答案； （3）根据线段中点的性质，可得、，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：由点、分别是、的中点．． 得， ． ， 故答案为：； （2）由点、分别是、的中点．． 得，． ， 的长度为； （3）如图： 由点、分别是、的中点． 得，． ， 的长度为． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，掌握线段中点的性质是解题的关键． 22．（23-24七年级上·辽宁阜新·期中）如图，已知、在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)若． ①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． (3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查线段以及线段中点的定义，线段的和差倍数关系等相关知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． （1）根据线段的定义可知图中的线段的条数； （2）①根据线段的和差关系即可得到结论；②根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度； （3）根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度； 【详解】（1）解：图中有，，，，，， 共有条线段； （2）解：①根据图可得：，， ， ， ② M是AB的中点，N是CD的中点， ，， ， （3）解：，， 是的中点，是的中点 23．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①；②1或8 【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；（2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可． 【详解】（1）解：，，，， ，，∴， ∴故答案为：，； （2）①设运动时间为，则，，根据“点值”的定义得：，， 的值是个定值，的值是个定值，； ②当点从点向点方向运动时，，，； 当点从点向点方向运动时，，，，的值为1或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$