精品解析：北京市第一六一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

北京市第一六一中学2023—2024学年第一学期期中阶段练习 高二数学 2023.11 班级____________姓名____________学号____________ 本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 已知，则直线AB的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 不存在 2. 圆的圆心为（ ）． A. B. C. D. 3. 一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 任意的，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 6. 过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “”是“直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 9. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△的顶点，，且，则△的欧拉线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 曲线.给出下列结论: ①曲线关于原点对称; ②曲线上任意一点到原点的距离不小于1; ③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是 A. ①② B. ② C. ②③ D. ③ 二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 已知空间，，，则＝_____． 12. 已知过点的直线的方向向量为，点在直线上，则满足条件的一组的值依次为__________． 13. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 14. 将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点______重合. 15. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定： （i）为同时与，垂直的向量； （ii），，三个向量构成右手系（如图1）； （iii）. 如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④.其中，正确结论的序号是______________. 三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上. 16. 在平面直角坐标系中，已知，线段的中点M； （1）求过M点和直线平行的直线方程； （2）求边的高线所在直线方程． 17. 如图，在边长为的正方体中，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 19. 如图，四棱锥中，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值是，求的值； （3）若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 20. 已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. （1）求的值及的面积； （2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 21. 已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. （1）若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； （2）若，，求的最大值； （3）若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六一中学2023—2024学年第一学期期中阶段练习 高二数学 2023.11 班级____________姓名____________学号____________ 本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 已知，则直线AB的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】 由斜率公式，可求出直线AB的斜率. 【详解】由，可得. 故选：A. 2. 圆的圆心为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标. 【详解】由，得， 所以圆心为， 故选：A 3. 一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 4. 任意的，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 5. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 6. 过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】易知圆的半径为，圆心为原点， 当倾斜角为时，即直线方程为，此时直线与圆相切满足题意； 当斜率存在时，不妨设直线方程为， 则圆心到其距离为，解不等式得， 所以直线的倾斜角取值范围为 故选：A 7. “”是“直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】当时，，即，解得或. 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时. 因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】 故选：B 9. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△的顶点，，且，则△的欧拉线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设条件求出垂直平分线的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线. 【详解】由题设，可得，且中点为， ∴垂直平分线的斜率，故垂直平分线方程为， ∵，则△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上， ∴△的欧拉线的方程为. 故选：D 10. 曲线.给出下列结论: ①曲线关于原点对称; ②曲线上任意一点到原点的距离不小于1; ③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是 A. ①② B. ② C. ②③ D. ③ 【答案】C 【解析】 【分析】 将代入，化简后可确定①的真假性.对分成等种情况进行分类讨论，得出，由此判断曲线上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线的两个整点，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确. 【详解】①，将代入曲线，得，与原方程不相等，所以曲线不关于原点对称，故①错误. ②，对于曲线，由于，所以，所以对于任意一个，只有唯一确定的和它对应.函数是单调递减函数.当时，有唯一确定的；当时，有唯一确定的.所以曲线过点，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于.当时，，所以.当时，，所以.当时，，且 ， 所以. 综上所述，曲线上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确. ③，由②的分析可知，曲线过点，这是两个整点.由可得，当且时，若为整数，必定不是某个整数的三次方根，所以曲线只经过两个整点.故③正确. 综上所述，正确的为②③. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题. 二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 已知空间，，，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案. 【详解】由，且，，则，解得， 故. 故答案为：. 12. 已知过点的直线的方向向量为，点在直线上，则满足条件的一组的值依次为__________． 【答案】； 【解析】 【分析】 根据方向向量设出直线的方程，再由点求出其方程，从而得出，即可得出答案. 【详解】直线的方向向量为，可设直线的方程为 因为点在直线上，所以，即直线为 所以，即 可取，则 故答案为：； 13. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可. 【详解】 如图所示，取的中点F，易得，则或其补角为所求角， 不妨设正方体棱长为2，则， 由余弦定理知：， 则为锐角，即异面直线与所成角. 故答案为：. 14. 将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点______重合. 【答案】 【解析】 【分析】先求线段的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】已知点与点，可知线段的中点为， 且，则线段的中垂线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以所求点为. 故答案为：. 15. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定： （i）为同时与，垂直的向量； （ii），，三个向量构成右手系（如图1）； （iii）. 如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④.其中，正确结论的序号是______________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：，且分别与垂直，，故①正确； 由题意，，，故②错误； ，，且与共线同向， ，与共线同向，，与共线同向， ，且与共线同向，故③正确； ，故④成立． 故答案为：①③④． 三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上. 16. 在平面直角坐标系中，已知，线段的中点M； （1）求过M点和直线平行的直线方程； （2）求边的高线所在直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，求得点M的坐标，和直线直线的斜率，写出直线方程； （2）根据，得到边的高线的斜率，写出直线方程； 【小问1详解】 解：因为， 所以，， 所以过M点和直线平行的直线方程为， 即； 【小问2详解】 因为， 所以边的高线的斜率为-3， 所以边的高线所在直线方程， 即 17. 如图，在边长为的正方体中，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，因此，平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，点到平面的距离为. 【小问3详解】 解：因为， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 【答案】（1） （2）选择①，或；选择②或③，或3. 【解析】 【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可； （2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 设圆心坐标为，半径为. 由圆的圆心在直线上，知：. 又圆与轴相切于点， ，，则. 圆圆心坐标为，则圆的方程为 【小问2详解】 如果选择条件①：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或. 如果选择条件②：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 如果选择条件③：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 19. 如图，四棱锥中，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值是，求的值； （3）若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为 平面，, 所以 平面, 又因为 平面，所以 ． 在中，，是的中点， 所以 ． 又因为 , 平面, 所以 平面． （2） （3）结论：不存在．理由如下： 证明：设． 当时，，， 由知,，这与矛盾, 所以在线段上不存在点，使得． 【解析】 【分析】（1）推导出平面． ．由此能证明平面; （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值; （3）设，当，，，由知，,，这与矛盾,从而在线段上不存在点，使得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 平面，平面， 所以, 又因为 , 所以如图建立空间直角坐标系． 则, 则，， 设平面的法向量为． 则即 ， 令，则，， 故． 因为平面，平面， 所以, 又,平面, 所以平面． 又因为， 所以取平面的法向量为 所以， 则，解得． 又因为，所以； 【小问3详解】 略 20. 已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. （1）求的值及的面积； （2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）， （2）过定点， 【解析】 【分析】（1） 先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （2）设直线方程，含参表示直线方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【小问1详解】 由题意可知直线的方程为， 则联立与可求出点坐标为， 又因点P为线段的中点，所以可得， 即，所以可得， 由可知圆心，所以到直线的距离， 又因圆半径为，根据勾股定理可求得， 所以线段， 又因原点到直线距离为，所以线段上的高为， 所以. 【小问2详解】 由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 即，由，解得， 因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 【点睛】解题的关键是设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点. 21. 已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. （1）若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； （2）若，，求的最大值； （3）若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 【答案】（1） （2）10 （3）不一定存在，理由如下： 例如， 则，，，，， 则，相差不可能1，2，3，4，5，6， 这与矛盾，故不都存在； 例如，不妨令， 则，满足. 【解析】 【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得； （2）若，，，当时，则相差5，所以，A中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果； （3）举反例和，根据题意检验即可说明. 【小问1详解】 若，则，其中， 否则，， 若，当时，，， 所以，则，相差3， 因为，， 所以； 当时，，，， 所以， 因为，， 所以不存在； 【小问2详解】 若，，， 当时，，，，，，， 所以，，所以不存在； 所以A中至多有5个元素； 当时，，，，， 所以，则，相差5，所以； ， 所以，，. 因为中至多有5个元素，所以，也至多有5个元素， 所以的最大值为10. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $