精品解析：甘肃省武威市凉州区武威十一中联片教研2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年第二学期甘肃省武威11中学联考 开学考试试卷 一．选择题（共30分） 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算错误是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积和（ ）． A. 14 B. 35 C. 42 D. 49 4. 下列由线段组成的三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点E、F分别为、的中点．若长为6，则的长为（　　） A. 12 B. 3 C. 4 D. 不能确定 6. 如图，正方形的边长是，为上一动点，以为斜边作直角，且，当点从运动到时，点的运动路程为（ ） A B. C. D. 7. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①当时，；②当时，；③当时，，正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 水是生命之源，为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，8，5，6，8，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 6，8 B. 8，2 C. 7，8 D. 8，8 9. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 10. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共24分） 11. 已知在数轴上位置如图，化简________． 12. 如图，甲船从港口出发向东北方向航行16海里到达地，乙船同时从港口出发向东南方向航行12海里到达地，此时，两船之间距离是______海里． 13. 如图，在矩形中，的角平分线与边交于点E，的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F，如果，，那么______． 14. 已知函数，则自变量x的取值范围是_______． 15. 如果一次函数的图象经过，那么的值是______． 16. 若，，的方差为，那么，，的方差为____． 17. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则__________． 18. 方程化为一元二次方程的一般形式是______． 三．解答题（共66分） 19. 已知函数，其中与成正比例，与x成正比例，函数的自变量x的取值范围是，且当时，当时． （1）求y与x函数的解析式． （2）画出函数图象． 20. （1）计算：； （2）化简：． 21. 如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，求旗杆原来的高度． 22. 如图：，和均为直线同侧的等边三角形，点P在内． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若中，，，，求四边形面积． 23. 如图，在四边形中平分为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若求的面积． 24. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮次，投中一次计分．随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 成绩/分 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，的值和样本的众数； （2）若该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数． 25. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−(k+3)x+2k+1=0. (1)求证方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为 x=4，求 k 值，并求出此时方程的另一根. 26. 已知2是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长． 求m的值； 求的周长． 27. 如图1， 在平面直角坐标系中， 直线与x轴、y轴分别交于A， B两点，直线与x轴， y轴分别交于C， D两点，这两条直线相交于点E，其中． （1）求直线的解析式及点E的坐标； （2）如图2，点P是直线上一点，点P的横坐标为，点N为直线上的动点，连接， 求 的最小值及此时点N的坐标； （3）点F是y轴上一点，当以点C、D、F为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点 F 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期甘肃省武威11中学联考 开学考试试卷 一．选择题（共30分） 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了二次根式的定义，解此类题目的关键是理解被开方数是非负数． 根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意． B、因，则是二次根式，故本选项不符合题意． C、由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意． D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的除法、乘法、加法法则逐项运算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是正确的，但不符合题意； B、，故该选项是错误的，符合题意； C、，故该选项是正确的，但不符合题意； D、，故该选项是正确的，但不符合题意； 故选：B 3. 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积和（ ）． A. 14 B. 35 C. 42 D. 49 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 根据勾股定理可得正方形C和正方形D的面积之和为正方形3的面积， 正方形A和正方形B的面积之和为正方形2的面积， 同理，正方形2和正方形3的面积之和为正方形1的面积， 则正方形A，B，C，D的面积之和为正方形1的面积为， 故选：D． 4. 下列由线段组成的三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，逐一计算较短的两边平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，， ， 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形， 故A不符合题意； B、，， ， 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形， 故B不符合题意； C、，， ， 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形， 故C符合题意； D、，， ， 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形， 故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 5. 如图，在中，点E、F分别为、的中点．若长为6，则的长为（　　） A. 12 B. 3 C. 4 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三条边，且等于第三边的一半是解题关键．由题意可知，是的中位线，得到，即可求解． 【详解】解：点E、F分别为、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 6. 如图，正方形的边长是，为上一动点，以为斜边作直角，且，当点从运动到时，点的运动路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，含的直角三角形，勾股定理，动点轨迹的几何推导，以及几何关系转化与运算能力．根先利用直角三角形性质得到再通过角度关系证明四点共圆，得出，从而确定点的轨迹是一段以为弦、圆心角为的弧，结合主动点在线段上的运动范围，可知点的轨迹为经过相似变换(旋转且长度缩放)后的对应线段，最终计算出轨迹长度为． 【详解】解：如图，连接与交于点，连接， ∵正方形的边长是， ∴由勾股定理得对角线， ∴ ∵以为斜边作直角三角形，且， ∴， ∵， ∴四点共圆（(以为直径的圆)）， ∴， ∵为上的动点， ∴点的运动轨迹为直线的一段，当点在处时，点为，当点在处时，点为， ∴ ∵正方形对角线的倾斜角() ∴点的运动路程为． 故选：B． 7. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①当时，；②当时，；③当时，，正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的交点问题，根据图象，逐项判断即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 当时，，故①正确，符合题意； 当时，的图象一部分在轴上方，一部分在轴下方，故或，故②错误，不符合题意； 当时，，的图象在的图象的上方，故，故③正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：C． 8. 水是生命之源，为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，8，5，6，8，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 6，8 B. 8，2 C. 7，8 D. 8，8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数的知识，理解并掌握众数和中位数的定义是解题关键．根据众数和中位数的定义分别求解，即可获得答案． 【详解】解：将这组数据从小到大排列，为5，6，7，8，8，9，10， 其中排在第4位的是8， ∴这组数据的中位数为8， 这组数据中，出现次数最多的是8，共计2次， ∴这组数据的众数为8． 故选：D． 9. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 10. 下列是一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，找出是一元二次方程的选项即可． 【详解】解：A、该选项的方程是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、该选项有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，故该选项符合题意； C、该选项有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、左边不是整式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 二．填空题（共24分） 11. 已知在数轴上位置如图，化简________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，算术平方根，掌握算术平方根的概念是解题的关键．据数a、b在数轴上的位置确定，再根据算术平方根的性质进行开方运算． 【详解】由数轴可得， ∴ ∴． 故答案为：． 12. 如图，甲船从港口出发向东北方向航行16海里到达地，乙船同时从港口出发向东南方向航行12海里到达地，此时，两船之间的距离是______海里． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， ∴直角三角形， 根据勾股定理得：（海里）． 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，的角平分线与边交于点E，的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F，如果，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质.先说明三角形，并求得的长，然后再说明，最后根据得出比例式，设，则，最后根据进行列方程并解方程即可. 【详解】解：.∵在矩形中，的角平分线与边交于点E， ∴,， ∴， ∵直角三角形， ∴ ， 又∵的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 .∵ ∴ ， 解得. 故答案为：. 14. 已知函数，则自变量x的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式有意义以及分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：． 15. 如果一次函数的图象经过，那么的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．直接把代入到一次函数解析式中求出m的值即可． 【详解】解：根据题意得： 解得：， 故答案为：3． 16. 若，，的方差为，那么，，的方差为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平均数与方差的定义．根据平均数与方差的计算公式计算即可．方差． 【详解】解：样本，，的平均数， ，，的平均数； 、，，的方差 ． 故答案为：． 17. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】解题考查一元二次方程根的定义（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是根据一元二次方程根的定义得，即可得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 方程化为一元二次方程的一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．去括号合并同类项整理即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为： 三．解答题（共66分） 19. 已知函数，其中与成正比例，与x成正比例，函数的自变量x的取值范围是，且当时，当时． （1）求y与x的函数的解析式． （2）画出函数图象． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象： （1）：设，则，再根据当时，当时，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，先列表，然后描点连线画出函数图象即可． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∵当时，当时， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：列表如下： x … 1 3 … y … 2 3 … 函数图象如下所示： 20. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂、算术平方根、乘方，再运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，然后化简，即可作答． 【详解】解：（1） （2） 21. 如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，求旗杆原来的高度． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为， 所以旗杆折断之前高度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键． 22. 如图：，和均为直线同侧的等边三角形，点P在内． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若中，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可； （2）过作垂直的延长线于，依据，，即可得出四边形是平行四边形，由勾股定理的逆命定理证得，求出，再由的直角三角形性质求出的长，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：，是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 同理， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图所示，过作垂直的延长线于， ，，， ， 又， ， ，而 ， 又 ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，直角三角形的特征，解决问题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会作辅助线构造平行四边形的高线解决问题． 23. 如图，在四边形中平分为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形判定与性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通过一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形．再结合角平分线的定义以及边的等量代换，得邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． （2）先由菱形的性质，证明是等边三角形．再结合勾股定理得，根据三角形的面积公式建立式子，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴ ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴ ∴． 24. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮次，投中一次计分．随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 成绩/分 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，的值和样本的众数； （2）若该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数． 【答案】（1），，众数为分 （2）该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数为人 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，求众数，频数分布表与扇形统计图； （1）根据成绩为分的人数除以占比，求得的值，根据成绩为分的人数的占比，求得，进而求得，即可得出的值； （2）根据得分超过分的学生的占比乘以，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，（人），（人），（人）， ∴， ∴， ∵分的人数为个，出现次数最多， ∴众数为分， 【小问2详解】 解：（人） 答：该校九年级有名学生参加测试，估计得分超过分的学生人数为人. 25. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−(k+3)x+2k+1=0. (1)求证方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为 x=4，求 k 值，并求出此时方程的另一根. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证； （2）把x=4代入方程求出k值，确定出方程，即可求出另一根． 【详解】（1）， 故方程有两个不相等的实数根； （2）∵方程的一个根为， ∴， 即， 由韦达定理得， 则. 【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 26. 已知2是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长． 求m的值； 求的周长． 【答案】（1）；（2）14． 【解析】 【分析】（1）直接把x=2代入方程可求出m值； （2）先解方程，解得，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长． 【详解】解：（1）把x=2代入方程得：，解得：； （2）当时，原方程变为，解得． ∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形， ∴的腰为6，底边为2， ∴的周长为6+6+2=14． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系． 27. 如图1， 在平面直角坐标系中， 直线与x轴、y轴分别交于A， B两点，直线与x轴， y轴分别交于C， D两点，这两条直线相交于点E，其中． （1）求直线的解析式及点E的坐标； （2）如图2，点P是直线上一点，点P的横坐标为，点N为直线上的动点，连接， 求 的最小值及此时点N的坐标； （3）点F是y轴上一点，当以点C、D、F为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点 F 的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为， （2）的最小值为， （3）点 F 的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用一次函数与y轴交点得到，进而得到，，即，，，将代入求出值，得到直线解析式，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立和直线的解析式求解，即可得到点E的坐标； （2）过点作于点，利用等腰直角三角形性质结合勾股定理得到，进而得到，要的值最小，即的值最小，当，，三点共线，且时，的最小值为，利用点P的横坐标为求得，即可得到的最小值，根据点N为直线上的动点，，，三点共线，且，即可得到此时点N的坐标； （3）利用勾股定理得到，根据点F是y轴上一点，点C、D、F为顶点的三角形是等腰三角形，分以下三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，即点在的垂直平分线上，对于以上三种情况结合勾股定理和坐标与图形的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 解：直线与x轴、y轴分别交于A， B两点， ， ， ， ，，即，，， 将代入直线解析式得：， ， 直线解析式为， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 这两条直线相交于点E，令， 解得， 将代入中，有， ． 【小问2详解】 解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， 要的值最小，即的值最小， 当，，三点共线，且时，的最小值为， 点P是直线上一点，点P的横坐标为， ， 的最小值为； 点N为直线上的动点，，，三点共线，且， ， 将代入中，有， ； 【小问3详解】 解：，， ， 点F是y轴上一点，点C、D、F为顶点的三角形是等腰三角形， ①当时， ∵， 点 F 的坐标为或， ②当时，， 点 F 的坐标为， ③当时，即点在的垂直平分线上， 设点 F 的坐标为， 则，， ， 解得：， 点 F 的坐标为， 综上所述，点 F 的坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点情况，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点情况，等腰直角三角形性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形性质，坐标与图形，解题的关键在于熟练掌握一次函数性质与分类讨论的思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $