第十二章 全等三角形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第12章 全等三角形（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2．如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 3．如图，若这两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，准确判定对应关系是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等，判断计算选择即可． 【详解】解：因为图中的两个三角形全等，且的对边为b， 所以． 故选：D． 4．已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．3或4或5 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，以及三角形的三边关系．首先根据得到，，然后利用三角形三边关系得到，然后利用的周长为偶数求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，即 ∴的周长为 ∵的周长为偶数 ∴为偶数 ∴为偶数 ∴． 故选：B． 5．如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据得到，得到，从而解答． 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（6a，2b﹣1），则a与b的数量关系为（　　） A．6a﹣2b＝1 B．6a+2b＝1 C．6a﹣b＝1 D．6a+b＝1 【答案】B 【分析】由作图可知，OP平分∠MON，推出点P的横坐标与纵坐标互为相反数，列出方程即可解决问题． 【详解】解：连接OP． 由作图可知，OP平分∠MON， 根据角平分线的性质定理可知：可知点P到OM（x轴）、ON（y轴）的距离相等， 又∵点P在第二象限， ∴点P的横坐标与纵坐标互为相反数， ∴6a+2b-1＝0， ∴6a+2b＝1， 故选：B． 【点睛】本题考查基本作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】当时，的值最小， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故选：C． 8．如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是关键．分别过、两点作，于点、，证明得利用三角形的外角性质即可得解。 【详解】解：分别过、两点作，于点、， ∵在和中， ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：． 9．如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，推出． 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 10．如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找准全等三角形的对应边角． 先证明，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，根据全等三角形的对应边相等证明，则． 【详解】解：于点，于点， ， ， 在和中， ， ． ， ， ， 的长是． 故选：A． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，，点分别在上，连接．要利用“”说明，则可添加的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法进行求解是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定方法，为公共角，，可根据的判定方法进行添加条件即可得出答案． 【详解】解：可添加的条件是， 在和中， ， ， 故答案为：．（答案不唯一）． 12．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即），如果点O至地面的距离是，当小敏从水平位置下降，这时小明离地面的高度是 ． 【答案】/90厘米 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，可得，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∵当小敏从水平位置下降，即， ∴， 又∵点O至地面的距离是， ∴这时小明离地面的高度是， 故答案为：． 13．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是中的角平分线，，    ∴， ∵，，， ∴ ∴． 故答案为：4． 14．如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】100 【分析】根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得．本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：100． 15．三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 ．    【答案】/180度 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由图形可得：， ∵三个三角形全等， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 16．如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】由证明，故①正确；得，，再由三角形的三边关系得，得，故②不正确；然后证，得，由三角形的面积关系，故③正确，最后由全等三角形的性质得，则，故④正确；即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ，， ，，， ，故②不正确； 在和中， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握三角形全等的的判定与性质，是解题的关键． 先求出，再证明，根据全等三角形对应角相等证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 18．（8分）如图，点，分别在和上，，点是上一点，的延长线交延长线于点．    (1)若，，求的度数； (2)若点是的中点，与全等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不全等，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）只有一边一角不能证两个三角形全等． 【详解】（1）解：，， ， 又，， ； （2）不全等，理由如下： 点是的中点， ， ， 只确定了这两个条件，无法证明全等． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，利用平行线性质得出是解答本题的关键． 19．（8分）如图，已知． (1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）； (2)若的周长为，面积为，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作的角平分线的交点，即为所求； （2）根据（1）的结论，设点到的距离为，则，解方程求解即可． 【详解】（1）如图，点即为所求， （2）设点到的距离为， 由（1）可知点到、、的距离相等 则 解得： 点到的距离为 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 20．（8分）如图1，为了测量池塘两端之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，使平分（点在同一平面内），此时测量出线段的长便是池塘两端之间的距离． (1)请你说明其中的道理（要求写出每步推理的根据）． (2)请你再设计一种测量池塘两端之间距离的方案（要求写出方案并在图2中画出图形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用证明，即可解答； （2）在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接．此时测量出线段的长便是池塘两端之间的距离． 【详解】（1）解：理由：平分，（已知） （角平分线的定义）． 又，（已知） ． （全等三角形的对应边相等）． （2）解：如图，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接．此时测量出线段的长便是池塘两端之间的距离． 理由：根据题意得：，， 又∵， ∴， ∴． 21．（8分）如图，于E，于F，． (1)当和满足什么条件时，平分，并写出证明过程： (2)在（1）的条件下证明：． 【答案】(1)当时，平分，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）当时，平分，利用证明得到，则平分； （2）由全等三角形的性质得到，再由，，即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，平分，证明如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 22．（10分）综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）延长至点E，使，连接，证明，得出，求出，得出即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，证明，得出，，，证明，得出即可得出结论； 【详解】解：（1）如图，延长至点E，使，连接， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∴， 即， ∴， ∴； （2）如图，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线，即E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， 在和中， 得， ∴， ∴， ∴； 23．（10分）数学课上，老师给出了如下问题： 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB到点D，∠DBE=45°，点F是边BC上一点，连结AF，作FE⊥AF，交BE于点E． （1）求证：∠CAF=∠DFE； （2）求证：AF=EF．经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，又考虑到第(1)题中的结论，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），再证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．”你同意小辉的方法吗？如果同意，请给出证明过程；不同意，请给出理由； （3）小亮同学说：“按小辉同学的思路，我还可以有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成证明．    【答案】（1）见解析；（2）不同意小辉的方法，理由见解析；（3）见解析 【分析】(1)依据“同角的余角相等”，即可得到∠CAF=∠DFE； (2) 不同意小辉的方法，理由是两个三角形中只有两个角对应相等无法判定其是否全等； (3)在AC 上截取AG=BF，连结FG，依据ASA即可判定△AGF≌△FBE，进而得出AF=EF． 【详解】解：证明：（1）∵∠C＝90°， ∴∠CAF+∠AFC＝90°． ∵FE⊥AF， ∴∠DFE+∠AFC＝90°． ∴∠CAF＝∠DFE． （2）不同意小辉的方法，理由：根据已知条件，两个三角形中只有两个角对应相等即∠CAF＝∠DFE和∠C=∠EGF=90°，没有对应边相等，故不能判定两个三角形全等． （3）如图3，在AC上截取AG＝BF，连结FG，    ∵AC＝BC， ∴AC﹣AG＝BC﹣BF，即CG＝CF． ∵∠C＝90°， ∴△CGF为等腰直角三角形， ∴∠CGF＝∠CFG＝45°． ∴∠AGF＝180°﹣∠CGF＝135°． ∵∠DBE＝45°， ∴∠FBE＝180°﹣∠DBE＝135°． ∴∠AGF＝∠FBE． 在△AGF和△FBE中： ∴△AGF≌△FBE（ASA）． ∴AF＝EF． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是在AC上截取AG=BF，构造辅助线后证明△AGE≌△FBE． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； (3)当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)1或9 (3)存在；或2 ；或或或 【分析】（1）根据算术平方根的性质可得m，n的值，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据的面积等于的面积的一半，可得，从而得到，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵ ∴A、C两点的坐标分别为；； （2）解：根据题意得：， 设点P的坐标为，则， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， 即， ∴， 当时，， 此时； 当时，； 综上所述，t的值为1或9； （3）解：当P在线段上运动时，在y轴上存在点Q，使与全等， 当时，，此时， ∴Q点的坐标为或； ②当≌时，，此时， ∴Q点的坐标为或． 综上所述：Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形面积公式，全等三角形的性质，平面直角坐标系点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 25．（14分）如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；数量关系不变；理由见解析 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ＝60°，AB＝AC，AP＝AQ，再由SAS定理即可得出结论； （2）由∠APC=∠CAP，∠B=∠BAC，∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，得∠BAP=90°，再结合，进而即可求解； （3）设CD与AP交于点O，由，得∠ACD=∠APD，结合∠AOC=∠DOP，三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△APD是等边三角形， ∴∠BAC＝∠PAD＝60°，AB＝AC，AP＝AD， ∴∠BAP＝∠DAC， 在△ABP与△ACD中， ， ∴（SAS）； （2）∵， ∴∠APC=∠CAP， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠BAC=60°， 又∵∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°， ∴∠BAC+∠CAP=×180°=90°，即：∠BAP=90°， ∴∠APB=90°-60°=30°， ∴∠ADC=∠APB=30°， ∵△APD是等边三角形， ∴=60°-∠ADC=60°-30°=30°； （3）=，随着点位置的变化，与的数量关系不会发生变化，理由如下： 设CD与AP交于点O， ∵， ∴∠ACD=∠ABP=60°， ∵∠APD=60°， ∴∠ACD=∠APD， 又∵∠AOC=∠DOP，∠AOC+∠ACD+∠PAC=180°，∠DOP+∠APD+∠PDC=180°， ∴=． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 3．如图，若这两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．3或4或5 5．如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（6a，2b﹣1），则a与b的数量关系为（　　） A．6a﹣2b＝1 B．6a+2b＝1 C．6a﹣b＝1 D．6a+b＝1 7．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 10．如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，，点分别在上，连接．要利用“”说明，则可添加的条件是 ． 12．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即），如果点O至地面的距离是，当小敏从水平位置下降，这时小明离地面的高度是 ． 13．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则的长是 ． 14．如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 15．三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 ．    16．如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，，，且．求证：． 18．（8分）如图，点，分别在和上，，点是上一点，的延长线交延长线于点．    (1)若，，求的度数； (2)若点是的中点，与全等吗？请说明理由． 19．（8分）如图，已知． (1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）； (2)若的周长为，面积为，求点到的距离． 20．（8分）如图1，为了测量池塘两端之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，使平分（点在同一平面内），此时测量出线段的长便是池塘两端之间的距离． (1)请你说明其中的道理（要求写出每步推理的根据）． (2)请你再设计一种测量池塘两端之间距离的方案（要求写出方案并在图2中画出图形）． 21．（8分）如图，于E，于F，． (1)当和满足什么条件时，平分，并写出证明过程： (2)在（1）的条件下证明：． 22．（10分）综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 23．（10分）数学课上，老师给出了如下问题： 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CB到点D，∠DBE=45°，点F是边BC上一点，连结AF，作FE⊥AF，交BE于点E． （1）求证：∠CAF=∠DFE； （2）求证：AF=EF．经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，又考虑到第(1)题中的结论，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），再证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．”你同意小辉的方法吗？如果同意，请给出证明过程；不同意，请给出理由； （3）小亮同学说：“按小辉同学的思路，我还可以有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成证明．    24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求t的值； (3)当P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请直接写出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 25．（14分）如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$