第十二章 全等三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第12章 全等三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列个图形中，是全等图形的是（    ） A．，，， B．与 C．，， D．与 【答案】D 【分析】根据全等图形的概念求解即可． 【详解】解：由图可知，与是全等图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等图形的识别，熟知能够完全重合的图形叫全等图形是解题的关键． 2．如图在的小正方形方格中，连接、、．则结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关基本性质找到角之间的关系是解题的关键．根据图形以及勾股定理可以得到边之间关系，从而得到，，为等腰直角三角形，对选项逐个判断即可求解． 【详解】解：如图，，，， ∵，，， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴ ∵为等腰直角三角形 ∴， A、，故A正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C正确，不符合题意； D、，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．°，， 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的判定条件及存在性，根据三角形全等的判定方法逐项判断即可得到答案，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 、∵，，，不是，的夹角， ∴可以画出多个三角形，原选项符合题意； 、∵，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 、∵°，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 故选：． 4．如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是尺规作角平分线和垂直平分线，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此题的关键． 根据题意得到是的角平分线，垂直平分，进而求解即可． 【详解】解：由作图知，是的角平分线， ∴，故A不符合题意； 由作图知垂直平分， ∴，，故C，D不符合题意； 无法证明，故B符合题意， 故选：B． 5．下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断． 【详解】解：若要过点C作AB的平行线， 则应过点C作一个角等于已知角， 由作图可知，选项A符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 6．如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴的度数为 故选：C． 7．如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，在数轴上表示不等式的解集，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到点，使，连接，根据三角形的中线定义可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用三角形的三边关系求得的范围，再进行选择即可． 【详解】解：延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 只有选项A符合要求， 故选：A 8．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 9．如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过作于，连接，， 直线向上平移线段的长得到直线， ， 而，， )， ， 同理)， ， 的周长为：． 求的周长，则只需知道的长． 故选：A． 10．如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分； ②； ③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则； ④． 其中正确的是（    ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 【答案】B 【分析】过点P作，，，依据角平分线的性质和判定即可判断①；利用四边形内角和为从而可判断②；借助全等三角形的性质和判定，进行等量变换即可判断③；利用和的外角写出关系式进行整理即可判断④． 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、D， ①∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的角平分线上， 故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 由图可知， ∴错误， 故②错误； ③在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故③正确； ④∵平分，平分， ∴，， ∴， 故④正确． 综上所述，①③④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，借助辅助线综合运用角平分线的性质和判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，，要使，还需要添加一个条件是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．根据全等三角形的判定定理即可确定． 【详解】∵ ∴ 又∵ ∴可添加， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知，现将绕点B逆时针旋转，使点A落在射线上，求作．作法：在上截，以点B为圆心、为半径作弧，以点为圆心、为半径作弧，两弧在射线右侧交于点，则即为所求．此作图确定三角形的依据是： ． 【答案】/边边边 【分析】根据作图步骤可知，，，，由此即可求解． 【详解】解：根据作图步骤可知，，， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 13．如图，，的延长线交于点，，，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； 根据“全等三角形对应角相等”和三角形内角和定理先求出的度数，再根据“对顶角相等”和三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，在中，D是上一点，E是上一点，连接，，且，则的长为 ． 【答案】6 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 根据题意作，得出，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【详解】解：如图，作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴ ∴， 故答案为：6． 15．如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 【答案】/64度 【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，已知钝角三角形的面积为2，平分，点M、N分别是上的动点，若的最小值为m，长为．则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，代数式求值，在上截取，连接，可证明得到，则当C、M、H三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，根据三角形面积公式得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、M、H三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵的最小值为m，长为，钝角三角形的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：16． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，和中，，，． (1)试说明． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，由，得到，即，即可由得出结论； （2）由平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴，即， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 18．（8分）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，．    (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)同意他的看法，理由见解析. (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键． （1）根据“直角三角形两锐角互余”以及垂直的定义，即可证明结论； （2）证明，易得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：同意他的看法，即，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 答：的长是9． 19．（8分）求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，，AD是△ABC的中线． （1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）做线段的垂直平分线，找到的中点，连接 与中点即可． （2）由已知全等三角形得到相关条件，从而证明，就可得出对应线段相等． 【详解】解：（1）如图：即为所求． （2）， ， ∵，分别是与的中线， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查线段中垂线的画法、三角形全等的证明等相关知识点，能够根据条件灵活选用定理是解题的关键． 20．（8分）如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分； (2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和它的逆定理．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由题意过点作，垂足为E，先求出，再求出，从而证明平分； （2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得，从而求证两直线垂直． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为E，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴， ∴， ∴，即． 21．（8分）如图1，在中，，，．    (1)求证：； (2)如图2，交于点，若，求证：A，O，D三点共线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质等知识． （1）由“”可证，可得； （2）由得，，从而得出，，根据和进一步得出结论． 解决问题的关键是熟记全等三角形的判定与性质． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ； （2）由（1）知：， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，，三点共线； 22．（10分）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：①； ②； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据条件可证得，然后根据角的关系即可得证；②连接，根据条件可证得，然后根据边长关系等量代换即可得解； （2）由三角形全等的性质可得到，根据等边对等角性质得到，由三角形内角和计算出，然后由即可得解． 【详解】（1）证明：①，， ， 在和中， ， ， ， ， 即； ②连接， ，， ， 在和中， ， ， ， 由①知， ， ； （2）解：， ， 由①知， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形性质、三角形内角和等知识，熟练掌握相关知识并采用等量代换的方法是解题关键． 23．（10分）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 24．（12分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； 【详解】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 25．（14分）在平面直角坐标系中，点A的坐标，点C的坐标， 点P是轴上的一个动点，从点C出发，沿轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为秒，点B在轴的负半轴上，且的面积：的面积． （1）求点B的坐标； （2）若点D在轴上，是否存在点P，使以为顶点的三角形与全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由； （3）点Q是轴上的一个动点，从点A出发，向轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以三点构成的三角形与全等． 【答案】（1）B（-2，0）；（2）存在，（0，4），（0，-4），（0，2），（0，-2）；（3）1s或4s 【分析】（1）先求出，进而得出的面积，即可得出的面积，最后得出点坐标； （2）由于，所以分两种情况讨论计算即可； （3）先按时间分成三种情况，每种情况中同（2）的方法即可得出结论． 【详解】解：（1）点的坐标，点的坐标， ，， ， ，， 设， 点在轴的负半轴上， ， ， ， ； （2）在轴上，在轴， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， 或 ②， ， 或， 即：满足条件的的坐标为，，，． （3）在轴上，在轴， ， 由运动知，，， ，， 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， 满足条件，即： ②， ， ，， ， 不满足条件，舍去； 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， ， 不满足条件，舍去； ②， ， ，， ， 不满足条件，舍去； 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， 不满足条件，舍去；， ②， ， ，， ， 满足条件，即：t=4s， 即：满足条件的时间t=1s或4s． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定，解本题的关键是分类讨论，要考虑全面是解本题的难点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列个图形中，是全等图形的是（    ） A．，，， B．与 C．，， D．与 2．如图在的小正方形方格中，连接、、．则结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．°，， 4．如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 9．如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 10．如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分； ②； ③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则； ④． 其中正确的是（    ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，，要使，还需要添加一个条件是 ．（写出一个即可） 12．已知，现将绕点B逆时针旋转，使点A落在射线上，求作．作法：在上截，以点B为圆心、为半径作弧，以点为圆心、为半径作弧，两弧在射线右侧交于点，则即为所求．此作图确定三角形的依据是： ． 13．如图，，的延长线交于点，，，，则 °． 14．如图，在中，D是上一点，E是上一点，连接，，且，则的长为 ． 15．如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 16．如图，已知钝角三角形的面积为2，平分，点M、N分别是上的动点，若的最小值为m，长为．则 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，和中，，，． (1)试说明． (2)若，求的度数． 18．（8分）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，．    (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由． (2)求的长． 19．（8分）求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，，AD是△ABC的中线． （1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证： 20．（8分）如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分； (2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 21．（8分）如图1，在中，，，．    (1)求证：； (2)如图2，交于点，若，求证：A，O，D三点共线； 22．（10分）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：①； ②； (2)若，，求的度数． 23．（10分）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 24．（12分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 25．（14分）在平面直角坐标系中，点A的坐标，点C的坐标， 点P是轴上的一个动点，从点C出发，沿轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为秒，点B在轴的负半轴上，且的面积：的面积． （1）求点B的坐标； （2）若点D在轴上，是否存在点P，使以为顶点的三角形与全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由； （3）点Q是轴上的一个动点，从点A出发，向轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以三点构成的三角形与全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$