专题08 尺规作图（4考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（山西专用）

专题08 尺规作图 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 作角平分线 2023·山西：作角平分线、平行四边形的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定和性质、正切函数的定义 尺规作图考点包括：作等角、作角平分线、作线段的垂直平分线等基础作图，中考试题经常会考作图痕迹辨析及相关证明和计算；还需注意对于较复杂的尺规作图，要构建几何定理（如过圆外一点作圆的切线），这部分考题常与三角形、四边形、圆等基础几何图形相结合，以综合题考察. 考点2 作垂直平分线 2022·山西：垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质 考点3 作垂线 2020·山西：作垂线、垂直的判定 考点4 尺规作图应用 2024·山西：多边形内角和计算，三角形全等的判定与性质，三角形外接圆性质 考点1 作角平分线 1. （2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．    【答案】 【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， 由作图知平分，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键． 考点2 作垂直平分线 2. （2022·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）， (2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线． （2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， （2）解：．证明如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴． ∴． ∵EF为AC的垂直平分线， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质． 考点3 作垂线 3. （2020·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ …… 任务： （1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________； （2）根据“办法二”的操作过程，证明； （3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） 【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析 【分析】（1）利用说明△DCE是直角三角形，说明，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可； （2）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可； （3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直． 【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）； （2）证明：由作图方法可知：，， ，． 又， ． ． 即． （3）解：①如图，直线即为所求； 图③ ②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等． 【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键． 考点4 尺规作图应用 4. （2024·山西）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的黄形（正方形除外）就是等边半正四边形．类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为： ▲ °. 对角线：…… 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容；　 　. （2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）. 【答案】（1）240 （2）解：． 理由如下：连接BD，FD． 六边形ABCDEF是等边半正六边形， ． ． 在与中， ． （3）解：如图，六边形ABCDEF即为所求. 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；多边形的内角和公式 【解析】【解答】（1）解：六边形内角和=（6-2）×180°=720° 根据等边半六边形的定义，可得， ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D+∠E+∠F=×720°=240° 则等边半正六边形相邻两个内角的和为240°； 故答案为：240. 【分析】本题考查探究型题型，掌握多边形内角和计算，三角形全等的判定与性质，三角形外接圆性质是解题关键。（1）计算六边形内角和720°，由等边半六边形的定义得，可得∠A+∠B=∠C+∠D+∠E+∠F=240°；（2）连接BD，FD．由等边半六边形的性质证再证．可得∠BAD=∠FAD；（3）根据三角形外接圆的性质，可得答案。 5. （2024·山西晋城·二模）如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本作图得到，平分，从而，求出，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】由作法得，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 6. （2024·山西太原·二模）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，与边交于点；③以为圆心，长为半径画弧，交于边于点．若，，则点，之间的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形是菱形是解题的关键．连接、，设交于点，根据题意证明四边形是菱形，从而得出的长，再根据勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、，设交于点， 由题意可知，是的角平分线， ， 又四边形是平行四边形， ， ， ， ， 以为圆心，长为半径画弧，交于边于点， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 故选：B 7. （2024·山西晋中·三模）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，连接交于点M，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理等知识，根据作图判断，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出即可． 【详解】由作图可知垂直平分． ． ∵， ． ∵点D，E分别为，的中点， 为的中位线． ． 8. （2024·山西太原·模拟预测）如图，在菱形中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线；再分别以A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线与交于点P，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据作图过程和线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，，然后利用四边形的内角和为得到，进而求解即可． 【详解】解：由作图过程可得，直线分别是线段、的垂直平分线，且直线与交于点P， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， 故选：D． 9. （2024·山西阳泉·三模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质．由等边对等角结合三角形内角和定理求得，由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得：为直线的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 10. （2024·山西晋中·二模）如图，已知是的外接圆，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作：以点为圆心，以的长为半径作弧，交边于点；连接；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点；连接，并延长交于点，连接．若设，的长度分别为，，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，尺规作图，相似三角形的判定与性质，由作图可知，，则，由圆周角定理得，，从而证明，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. （2024·山西朔州·一模）如图，在正五边形中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与边交于点，连接，则 度． 【答案】18 【分析】本题考查了内接正多边形，角平分线的性质与做法，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作出正五边形的外接圆，易得，结合圆周角定理，得，因为是的平分线，即可作答． 【详解】解：如图：作出正五边形的外接圆，连接 ∵正五边形的外接圆 ∴ ∵ ∴ ∵由题意可知，是的平分线 ∴ 故答案为：18． 12. （2024·山西忻州·二模）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于M， N两点，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点E，交的延长线于点F，连接，若点E恰好是的中点，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】由作图可知，是的平分线，则，由，点E恰好是的中点，可得，，则，是等腰三角形，证明，则，，然后作答即可． 【详解】解：由作图可知，是的平分线， ∴， ∵，点E恰好是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，是等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形的性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 13. （2024·山西太原·三模）如图示，已知等边，．请解答下列问题： (1)尺规作图：请将补成一个菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求菱形对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以A，C为圆心，以长为半径，画弧，二弧交于点D，则点D即为所求； （2）根据菱形的性质，选择适当的三角函数解答即可． 本题考查了基本作图，菱形性质，解直角三角形， 【详解】（1）分别以A，C为圆心，以长为半径，画弧，二弧交于点D，如图， 则点D即为所求． （2）设菱形的对角线，交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 14. （2024·山西大同·三模）如图，以的一边为直径作，点恰好落在上，射线与相切于点． (1)尺规作图：过点作于点，延长交于点，连接；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法） (2)在（1）的条件下证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用切线的性质结合求得，得到，以及等腰三角形的性质可证，利用圆周角定理得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示． （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图—作垂线，切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，等边对等角等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 15. （2024·山西吕梁·三模）如图，在平行四边形中，，垂足为点． (1)过点作，垂足为点，连接和．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了作垂线；平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题． （1）根据题意，过点作，垂足为点，连接和； （2）根据平行四边形的性质得到，证明，，即可得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：如图，，，为所求； （2）； 理由：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， ． 16. （2024·山西忻州·三模）如图，在中，． (1)实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线交于点，交于点； ②在线段的延长线上截取线段，使，连接，，． (2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，证明见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、垂直平分线的性质，菱形的判定． （1）利用尺规作垂直平分线的方法画图，再按照要求取点连线即可． （2）先猜想四边形为菱形，再证明，由于为的垂直平分线，故，又因为，可证明四边形为平行四边形，然后利用即可证明出四边形是菱形． 【详解】（1）解：按照要求，如图所示，即为所求作的图形． ． （2）猜想：四边形为菱形． 证明：为的垂直平分线， ， ， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 17. （2024·山西太原·二模）如图，在平行四边形中，．    (1)实践与操作：利用尺规作图完成下面作图： ①在边上截取，连接； ②作的角平分线，交于点，交于点（要求：不写作法，但要保留作图痕迹） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查四边形综合，涉及尺规作图-作线段、尺规作图-作角平分线、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，掌握基本尺规作图及等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）以为圆心、为半径画弧，交于即可得到；以为圆心、恰当长度为半径画弧交两边，然后以交点为圆心、恰当长度为半径画弧相交，过与弧交点作射线即可得到的角平分线； （2）由（1）中尺规作图，结合等腰三角形性质及平行四边形性质，再由等腰三角形判定与性质即可得证． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：， 理由如下： 如图所示：    由作图知，平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 18. （2024·山西长治·二模）如图，，且，． (1)尺规作图：过点D作，垂足为点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，判断和的数量关系，并说明理由．（如果未完成第1问的作图，可以作草图完成此问） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识； （1）根据垂直平分线尺规作图方法作图即可； （2）先证明，可得四边形为平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）如图即为所求． （2）．理由如下： 如图，∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形， ∴ 19. （2024·山西吕梁·一模）如图，在中，平分． (1)作交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图，以为圆心，适当长为半径画弧交于，以为圆心长为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，交点为，连接并延长，交于，点即为所求； （2）证明，则，，由，可得，则，，进而可证． 【详解】（1）解：如图，以为圆心，适当长为半径画弧交于，以为圆心长为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，交点为，连接并延长，交于，则，点即为所求； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了作与已知角相等的角，角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握作与已知角相等的角，角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． 20. （2024·山西太原·模拟预测）阅读下列材料并完成任务． 三角形的旁心三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心．   旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F，则． 下面是部分证明过程： ∵BO平分，，， ∴．（依据） 同理可得，． … 任务： (1)上述证明过程中的“依据”是指什么？ (2)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (3)如图3，在中，，点I是的一个旁心且在BC边的下方． ①利用尺规作出旁心I；（保留作图痕迹，不写作法）    ②若，外接圆的半径为2，则______． 【答案】(1)角平分线上的点到这个角两边的距离相等 (2)证明过程的剩余部分见解析 (3)①见解析：；②． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、尺规作图、全等三角形等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）由证明过程“ BO平分，，得到”可知依据角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等； （2）利用三角形全等可得再进行线段间的运算即可； （3）①利用尺规作出∠A的平分线，∠C外角的平分线，交点即是旁心I；②构造特殊直角三角形去求解即可． 【详解】（1）解：上述证明过程中的“依据”是指角平分线定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等． （2）解：∵， ∴， ∴，同理可得 ∴． （3）解：①如图：旁心I即为所求；    ②如图所示： ∵ ∴外接圆的圆心是的中点， ∴外接圆的半径为2， ∴， ∴ ∴，， ∵平分， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， ∴，即 ∴， ∴． 故答案为： ．    21. （2024·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点，，，如何利用无刻度的直尺和圆规在点，之间画一条过点A的直线，且点和点到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图，第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点； 第三步：作直线，则点和点到直线的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图．连接，，过点作于点，过点作于点，连接交于点． 由作图可知，， 四边形ABDC是平行四边形．（依据） ．（依据） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： (1)填空：材料中的“依据”是指______；“依据”是指______． (2)请将小明的证明过程补充完整． (3)尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点和点之间作直线，使得点和点到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分 (2)证明过程补充完整见解析 (3)（答案不唯一）见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定，垂直平分线的应用等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键， （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； （2）根据题意补充完整，证明即可； （3）第一种利用垂直平分线的尺规作图得到的中点；第二种延长到点，使得，然后作的中位线即可， 【详解】（1）解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分 （2），， ， ， （3） 22. （2024·山西晋城·二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形在数学兴趣课上，老师提出一个问题：利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形，且点D，E，F分别在边上，同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组展示了他们的作法：如图1，以点A为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交边于点G，H；分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在内部交于点L；连接并延长，交BC边于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交边于点M，N；以点D为圆心，长为半径画弧，交边于点P；以点P为圆心，长为半径画弧，交前弧于点Q；连接并延长，交边于点F；以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E；连接，．则四边形为菱形． 勤学小组进行了以下证明： 证明：根据尺规作图，得平分，，． ∴，． ∴． ∴． ∴．（依据1） ∴． ∴四边形是平行四边形．（依据2） 又∵， ∴四边形是菱形． 善思小组也展示了他们的作法：如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点R，S；分别以点R，S为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点T；连接并延长，交边于点D；分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点W，V；连接，分别交，于点E，O，F；连接．则四边形为菱形． 任务： (1)填出证明过程中的依据． 依据1：____________； 依据2：____________． (2)请根据善思小组的作法，求证：四边形是菱形． (3)如图3，请你在锐角三角形纸片ABC上用尺规再设计一种不同的方法作菱形AEDF．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】(1)等角对等边；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，角平分线，线段垂直平分线和作与已知角相等的角以及平行线的尺规作图，等角对等边等等： （1）根据所给推论过程和作图方法求解即可； （2）由作图方法可知平分，垂直平分，则，再证明，得到，则，即可证明四边形是菱形； （3）同理作出点D，再分别作分别交于E、F即可． 【详解】（1）证明：根据尺规作图，得平分，，． ∴，． ∴． ∴． ∴．（等角对等边） ∴． ∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：等角对等边；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：由作图方法可知平分，垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：如图所示，即为所求； 同理作出点D，再分别作分别交于E、F即可． 23. （2024·山西太原·三模）自从《义务教育数学课程标准（2022版）》实施以来，九年级的李老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点做与圆的切线”．在学习《切线的性质与判定》后，她布置一题；如图所示，及外一点P，求作：直线，使与相切于点Q．张明同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接、分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线，交于点C； ③以点C为圆心，为半径作弧，圆弧交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④作直线．则直线即为所求． (1)请按照步骤完成作图．并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合图形；写出：是切线的理由； (3)若半径为2，，交于点D．求四边形的周长． 【答案】(1)作图见解答过程 (2)证明见解答过程 (3) 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理和切线的判定与性质． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接，先根据圆周角定理的推论得到，然后根据切线的判定定理得到直线为切线； （3）由勾股定理求出，设，则，由勾股定理可得．由，得到，求得，然后利用四边形的周长解答即可． 【详解】（1）解：按照步骤完成作图如下． （2）证明：由题意得：为的直径， ∴(直径所对的圆周角为)， ∴， ∵为的半径， ∴直线为的切线． （3）解：连接． ， ， 在中，， 由图知为的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ，即， ， ∴四边形的周长为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 尺规作图 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 作角平分线 2023·山西：作角平分线、平行四边形的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定和性质、正切函数的定义 尺规作图考点包括：作等角、作角平分线、作线段的垂直平分线等基础作图，中考试题经常会考作图痕迹辨析及相关证明和计算；还需注意对于较复杂的尺规作图，要构建几何定理（如过圆外一点作圆的切线），这部分考题常与三角形、四边形、圆等基础几何图形相结合，以综合题考察. 考点2 作垂直平分线 2022·山西：垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质 考点3 作垂线 2020·山西：作垂线、垂直的判定 考点4 尺规作图应用 2024·山西：多边形内角和计算，三角形全等的判定与性质，三角形外接圆性质 考点1 作角平分线 1. （2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．    考点2 作垂直平分线 2. （2022·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）， (2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． 考点3 作垂线 3. （2020·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ …… 任务： （1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________； （2）根据“办法二”的操作过程，证明； （3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） 考点4 尺规作图应用 4. （2024·山西）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的黄形（正方形除外）就是等边半正四边形．类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为： ▲ °. 对角线：…… 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容；　 　. （2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）. 5. （2024·山西晋城·二模）如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 6. （2024·山西太原·二模）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，与边交于点；③以为圆心，长为半径画弧，交于边于点．若，，则点，之间的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7. （2024·山西晋中·三模）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，连接交于点M，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 8. （2024·山西太原·模拟预测）如图，在菱形中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线；再分别以A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线与交于点P，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9. （2024·山西阳泉·三模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为 ． 10. （2024·山西晋中·二模）如图，已知是的外接圆，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作：以点为圆心，以的长为半径作弧，交边于点；连接；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点；连接，并延长交于点，连接．若设，的长度分别为，，则与的函数关系式为 ． 11. （2024·山西朔州·一模）如图，在正五边形中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与边交于点，连接，则 度． 12. （2024·山西忻州·二模）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于M， N两点，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点E，交的延长线于点F，连接，若点E恰好是的中点，则的度数为 ． 13. （2024·山西太原·三模）如图示，已知等边，．请解答下列问题： (1)尺规作图：请将补成一个菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求菱形对角线的长． 14. （2024·山西大同·三模）如图，以的一边为直径作，点恰好落在上，射线与相切于点． (1)尺规作图：过点作于点，延长交于点，连接；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法） (2)在（1）的条件下证明：． 15. （2024·山西吕梁·三模）如图，在平行四边形中，，垂足为点． (1)过点作，垂足为点，连接和．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 16. （2024·山西忻州·三模）如图，在中，． (1)实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线交于点，交于点； ②在线段的延长线上截取线段，使，连接，，． (2)猜想与证明：试猜想四边形的形状，并进行证明． 17. （2024·山西太原·二模）如图，在平行四边形中，．    (1)实践与操作：利用尺规作图完成下面作图： ①在边上截取，连接； ②作的角平分线，交于点，交于点（要求：不写作法，但要保留作图痕迹） (2) 猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 18. （2024·山西长治·二模）如图，，且，． (1)尺规作图：过点D作，垂足为点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，判断和的数量关系，并说明理由．（如果未完成第1问的作图，可以作草图完成此问） 19. （2024·山西吕梁·一模）如图，在中，平分． (1)作交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 20. （2024·山西太原·模拟预测）阅读下列材料并完成任务． 三角形的旁心三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心．   旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F，则． 下面是部分证明过程： ∵BO平分，，， ∴．（依据） 同理可得，． … 任务： (1)上述证明过程中的“依据”是指什么？ (2)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (3)如图3，在中，，点I是的一个旁心且在BC边的下方． ①利用尺规作出旁心I；（保留作图痕迹，不写作法）    ②若，外接圆的半径为2，则______． 21. （2024·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点，，，如何利用无刻度的直尺和圆规在点，之间画一条过点A的直线，且点和点到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图，第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点； 第三步：作直线，则点和点到直线的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图．连接，，过点作于点，过点作于点，连接交于点． 由作图可知，， 四边形ABDC是平行四边形．（依据） ．（依据） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： (1)填空：材料中的“依据”是指______；“依据”是指______． (2)请将小明的证明过程补充完整． (3)尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点和点之间作直线，使得点和点到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 22. （2024·山西晋城·二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形在数学兴趣课上，老师提出一个问题：利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形，且点D，E，F分别在边上，同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组展示了他们的作法：如图1，以点A为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交边于点G，H；分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在内部交于点L；连接并延长，交BC边于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交边于点M，N；以点D为圆心，长为半径画弧，交边于点P；以点P为圆心，长为半径画弧，交前弧于点Q；连接并延长，交边于点F；以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E；连接，．则四边形为菱形． 勤学小组进行了以下证明： 证明：根据尺规作图，得平分，，． ∴，． ∴． ∴． ∴．（依据1） ∴． ∴四边形是平行四边形．（依据2） 又∵， ∴四边形是菱形． 善思小组也展示了他们的作法：如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点R，S；分别以点R，S为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点T；连接并延长，交边于点D；分别以点A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点W，V；连接，分别交，于点E，O，F；连接．则四边形为菱形． 任务： (1)填出证明过程中的依据． 依据1：____________； 依据2：____________． (2)请根据善思小组的作法，求证：四边形是菱形． (3)如图3，请你在锐角三角形纸片ABC上用尺规再设计一种不同的方法作菱形AEDF．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 23. （2024·山西太原·三模）自从《义务教育数学课程标准（2022版）》实施以来，九年级的李老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点做与圆的切线”．在学习《切线的性质与判定》后，她布置一题；如图所示，及外一点P，求作：直线，使与相切于点Q．张明同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接、分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线，交于点C； ③以点C为圆心，为半径作弧，圆弧交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④作直线．则直线即为所求． (1)请按照步骤完成作图．并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合图形；写出：是切线的理由； (3)若半径为2，，交于点D．求四边形的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$