专题06 几何基础（平行线、三角形、四边形）（6考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（山西专用）

专题06 几何基础（平行线、三角形、四边形） 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 中心对称图形与轴对称图形 2024·山西、2022·山西：中心对称图形 2023·山西、2020·山西：轴对称图形 2021·山西：中心对称图形轴对称图形 基础的几何图形包括：角、线、平行线和相交线、三角形、四边形等，初中阶段需理解这些图形的性质及判定，灵活运用所学图形知识，进行理论证明及求值，这部分题型较为基础，考生需认真仔细，避免不必要的失误，导致丢分。 考点2 视图 2024·山西：左视图 2020·山西：主视图与左视图 考点3 平行线与相交线 2023·山西：平行线的性质、三角形外角的性质 2022·山西：平行线的性质、角度运算 考点4 三角形基础（含全等、相似、解直角三角形） 2024·山西：平行线的性质，对顶角，直角三角形的性质 2021·山西：相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定 考点5 四边形基础（多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形） 2024·山西：菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型 2024·山西：矩形的判定与性质；正方形的性质；黄金分割 2021·山西：菱形性质，勾股定理，中位线定理 2023·山西：平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线 考点6 数学思想运用 2022·山西：黄金分割的定义 2021·山西：数学思想的本质特点 2020·山西：实际问题数学化 考点1 中心对称图形与轴对称图形 1. （2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2. （2023·山西·中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3. （2022·山西·中考真题）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4. （2021·山西·中考真题）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5. （2020·山西·中考真题）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 考点2 视图 6. （2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 7. （2020·山西·中考真题）下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（    ） A． B． C． D． 考点3 平行线与相交线 8. （2023·山西·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9. （2022·山西·中考真题）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（    ） A．100° B．120° C．135° D．150° 考点4 三角形基础（含全等、相似、解直角三角形） 10. （2024·山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　） A． B． C． D． 11. （2021·山西·中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务． 图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性． 任务： （1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性； （2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性： ①用公式计算：当，时，的值为多少； ②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长． 考点5 四边形基础（多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形） 12. （2024·山西·中考真题）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（　　） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 13. （2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点处，且．若，则BC的长为　 　（结果保留根号）。 14. （2021·山西·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为 ． 15. （2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．   我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．    ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点． ∵分别为的中点，∴．（依据1）   ∴．∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____________． 依据2是指：_____________． (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线） (3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．    考点6 数学思想运用 16. （2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 17. （2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 18. （2020·山西·中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（    ）    A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似 19. （2024·山西太原·三模）下列行车提示标志牌中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 20. （2024·山西忻州·三模）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   21. （2024·山西大同·三模）1989年在山西省芮城县金胜庄村出土的“庙底沟彩陶罐”是山西省博物院里的十大镇院之宝之一，它是新石器时代所烧制的，整个彩陶罐体型较大，完整无缺，是仰韶文化庙底沟类型的典型遗物．如图所示，关于它的三视图（从箭头方向看为正面），下列说法正确的是（    ）    A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 22. （2024·山西吕梁·三模）如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 23. （2024·山西晋中·三模）如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24. （2024·山西太原·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 25. （2024·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，，，点是上一点，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 26. （2024·山西晋城·二模）如图，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，交边于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．5 27. （2024·山西晋城·三模）如图，将正六边形纸片折叠，使点A与点F重合，点C与点D重合，折痕与交于点M，与交于点N；展开纸片，再将纸片折叠，使与重合，此时点A，B的对应点分别为，折痕与交于点K，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28. （2024·山西朔州·二模）如图，正方形的边长为6，点E为上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，连接.若，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 29. （2024·山西临汾·一模）如图1，一副三角尺的是等腰直角三角形，，，O是斜边的中点，含角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，记作，，直角边与边在同一条射线上．如图2，把绕点O逆时针旋转，与边交于点N，与边交于点M，得到下列结论．①；②；③四边形的面积为定值且为；④．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 30. （2024·山西临汾·二模）能够完全重合的两块直角三角形纸片按如图方式摆放，．连接，交于点，交于点，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 31. （2024·山西大同·二模）如图，菱形的边长为5，对角线、相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为 ． 32. （2024·山西忻州·三模）如图，正方形的边长为，是的中点，是射线上一点（不与点重合），且，则的长为 ． 33. （2024·山西阳泉·三模）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，若，则 ． 34. （2024·山西太原·三模）如图，在正方形中，点E是的中点；于点F，连接，若，则的长为 ． 35. （2024·山西临汾·一模）如图所示，在正方形中，E、F分别为对角线上的两点，且，若，，则的长为 ． 36. （2024·山西晋城·一模）如图，在中，，，，过点C作于点D，平分，交边于点E，交于点F，则的长为 ． 37. （2024·山西阳泉·二模）如图，在矩形中，对角线、相交于点，．在上截取，连接、．则的度数为 ． 38. （2024·山西长治·三模）如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为 ． 39. （2024·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，，，点是的中点，与交于点，连接，则的长为 40. （2024·山西大同·三模）如图，在中，，点，点分别是和上的点，，，连接，过点作交于点，若，则的长为 ． 41. （2024·山西晋城·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ． 42. （2024·山西晋中·一模）如图，在中，是直线上的两点，且 ．连接．求证：． 43. （2024·山西大同·二模）中国最早的箭头，出自山西朔县峙峪旧石器遗址．它是一枚由燧石打造成的石制箭头，距今已28000年之久，如图1所示．历史爱好小组的同学发现，箭头的双翼箭镞可以利用实践课的剩余材料制作出模型，如图2，将全等的与粘合，过点B作交于点E，连接，沿，剪开，即可作出箭镞的形状．请你判断制作过程中剪下的四边形的形状，并说明理由． 44. （2024·山西忻州·三模）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为，，求的长． 45. （2024·山西晋中·三模）如图，在中，为边上一点，平移线段，使点与点重合、点与点重合，连接，，． (1)若，，求的度数． (2)请再添加一个条件，使四边形为菱形． 46. （2024·山西阳泉·三模）如图，，点在上，．求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明： ， ，    第一步 在和中， ，    第二步 ．    第三步 任务一： ①以上证明过程中，第一步依据的定理是：______； ②从第______步出现错误；具体错误是______； 任务二：请写出正确的证明过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何基础（平行线、三角形、四边形） 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 中心对称图形与轴对称图形 2024·山西、2022·山西：中心对称图形 2023·山西、2020·山西：轴对称图形 2021·山西：中心对称图形轴对称图形 基础的几何图形包括：角、线、平行线和相交线、三角形、四边形等，初中阶段需理解这些图形的性质及判定，灵活运用所学图形知识，进行理论证明及求值，这部分题型较为基础，考生需认真仔细，避免不必要的失误，导致丢分。 考点2 视图 2024·山西：左视图 2020·山西：主视图与左视图 考点3 平行线与相交线 2023·山西：平行线的性质、三角形外角的性质 2022·山西：平行线的性质、角度运算 考点4 三角形基础（含全等、相似、解直角三角形） 2024·山西：平行线的性质，对顶角，直角三角形的性质 2021·山西：相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定 考点5 四边形基础（多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形） 2024·山西：菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型 2024·山西：矩形的判定与性质；正方形的性质；黄金分割 2021·山西：菱形性质，勾股定理，中位线定理 2023·山西：平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线 考点6 数学思想运用 2022·山西：黄金分割的定义 2021·山西：数学思想的本质特点 2020·山西：实际问题数学化 考点1 中心对称图形与轴对称图形 1. （2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形的定义， 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 根据定义可得答案。 【解析】解：A选项中图形是中心对称图形，BC是轴对称图形，D既不是轴对称也不是中心对称图形. 故答案为：A. 2. （2023·山西·中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念知，C选项中文字上方的图案是轴对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，理解此概念是关键． 3. （2022·山西·中考真题）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中心对称图形的定义直接判断． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合， 故选B． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 4. （2021·山西·中考真题）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：A、文字上方的图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； B、文字上方的图案既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、文字上方的图案是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； D、文字上方的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键． 5. （2020·山西·中考真题）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 考点2 视图 6. （2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据左视图看到的图形，上方为矩形，下方为倒梯形，逐一区分实线和虚线，可得答案。 【解析】解： 的左视图为 故答案为：C. 7. （2020·山西·中考真题）下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可． 【详解】、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和主视图的画法． 考点3 平行线与相交线 8. （2023·山西·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 9. （2022·山西·中考真题）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（    ） A．100° B．120° C．135° D．150° 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 考点4 三角形基础（含全等、相似、解直角三角形） 10. （2024·山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余 【解析】【解答】解：如图所示， 由题知：∠2+α=90°，α=25° ∴ ∠2=65° 由题知： ∠1=∠2， ∴ ∠1=65° 由题知： ∠1+β=180°， ∴ β=180°-∠1=115° 故答案为：C. 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质与直角三角形的性质是解题关键。由∠2+α=90°，∠1=∠2，∠1+β=180°，可得β。 11. （2021·山西·中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务． 图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性． 任务： （1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性； （2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性： ①用公式计算：当，时，的值为多少； ②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长． 【答案】（1）图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等；（2）①；② 【分析】（1）根据题意可直接进行求解问题； （2）①利用公式可直接把，代入求解即可；②过点作，交的延长线于点，由题意易得，则有，，然后可得为等边三角形，则，所以可得，最后利用相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：答案不唯一，如：图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等． （2）①解：当，时，， ∴． ②解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 考点5 四边形基础（多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形） 12. （2024·山西·中考真题）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（　　） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【答案】A 【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型 【解析】【解答】解：如图所示，AC=BD， ∵ 点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点 ∴ EF为的中位线， HG为的中位线， EH为的中位线， GF为的中位线， ∴ EFAC，FGDB，HGAC，EHDB， ∴ EF=HG=FG=EH ∴ 四边形EFGH为菱形 ∴ EG与FH互相垂直且平分 故答案为：A. 【分析】本题考查菱形的判定与性质，三角形的中位线，熟悉菱形的判定与性质是解题关键。由点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点得 EFAC，FGDB，HGAC，EHDB，可得 EF=HG=FG=EH，证四边形EFGH为菱形，可得答案。 13. （2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点处，且．若，则BC的长为　 　（结果保留根号）。 【答案】 【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；黄金分割 【解析】【解答】解：∵ 四边形MQPN是正方形 ∴ ∠P=∠N=90° ∵AB∥PN ∴ ∠P+∠ABP=180° ∴ ∠ABP=90° ∴ 四边形ABPN为矩形 ∴ AB=NP-2cm ∵ ∴ BC=cm 故答案为：. 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，黄金分割比，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题关键。由正方形MQPN得 ∠P=∠N=90°，由AB∥PN可得∠ABP=90°，证矩形ABPN，结合可得BC. 14. （2021·山西·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据菱形性质，利用勾股定理求出AB的长度，再根据中位线定理求出OE的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，O为AC中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 15. （2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．   我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．    ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点． ∵分别为的中点，∴．（依据1）   ∴．∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形．（依据2）∴． ∵，∴．同理，… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____________． 依据2是指：_____________． (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线） (3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．    【答案】(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形） (2)答案不唯一，见解析 (3)平行四边形的周长等于对角线与长度的和，见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可； （2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可； （3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论． 【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） 平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形） （2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求    （3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和， 证明如下：∵点分别是边的中点， ∴． ∴． 同理． ∴四边形的周长． 即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 考点6 数学思想运用 16. （2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义即可求解． 【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割． 故选：D 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键． 17. （2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键． 18. （2020·山西·中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（    ）    A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似 【答案】D 【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断； 【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度    故选：D. 【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解. 19. （2024·山西太原·三模）下列行车提示标志牌中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 20. （2024·山西忻州·三模）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 21. （2024·山西大同·三模）1989年在山西省芮城县金胜庄村出土的“庙底沟彩陶罐”是山西省博物院里的十大镇院之宝之一，它是新石器时代所烧制的，整个彩陶罐体型较大，完整无缺，是仰韶文化庙底沟类型的典型遗物．如图所示，关于它的三视图（从箭头方向看为正面），下列说法正确的是（    ）    A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可，掌握几何体的三视图概念是解题关键． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 22. （2024·山西吕梁·三模）如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．根据三视图可得出该几何体有2行，2列，2层，且第2列只有1个，从而得出答案． 【详解】解：根据三视图，在俯视图中，可标出小正方体的个数如图． 所以组成该几何体的小正方体的个数为（个）． 故选：C 23. （2024·山西晋中·三模）如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键；根据平行线的性质求出，再根据折叠的性质可求得答案． 【详解】解：设如下图所示， ∵纸条的两条对边互相平行， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得：， ∴， 故选：C． 24. （2024·山西太原·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．由两直线平行，同旁内角互补，可得，再结合三角形外角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ，， ， ， 故选：A． 25. （2024·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，，，点是上一点，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质等知识，关键是熟练掌握勾股定理．由折叠的性质，得，，由勾股定理求出，进而求出，设，则，，在中，根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，． 由折叠的性质，得，． 在中，． ． 设，则，． 在中，由勾股定理，得 ，即， 解得． 的长为5． 故选C． 26. （2024·山西晋城·二模）如图，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，交边于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查旋转，三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，三角形的内角和，根据旋转的性质，则，根据，求出，即可． 【详解】∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 27. （2024·山西晋城·三模）如图，将正六边形纸片折叠，使点A与点F重合，点C与点D重合，折痕与交于点M，与交于点N；展开纸片，再将纸片折叠，使与重合，此时点A，B的对应点分别为，折痕与交于点K，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角和、折叠的性质，熟练掌握正六边形的内角和是解题关键．先根据正六边形的内角和公式可求出，再根据折叠的性质可得，，然后根据四边形的内角和求出，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是正六边形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 故选：C． 28. （2024·山西朔州·二模）如图，正方形的边长为6，点E为上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，连接.若，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D 29. （2024·山西临汾·一模）如图1，一副三角尺的是等腰直角三角形，，，O是斜边的中点，含角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，记作，，直角边与边在同一条射线上．如图2，把绕点O逆时针旋转，与边交于点N，与边交于点M，得到下列结论．①；②；③四边形的面积为定值且为；④．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，由于是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，，，利用“”易证得，则，可判断①；得，可判断②；由得，可得四边形的面积，可判断③；由得，可得，即可判断④ 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②∵ ∴ ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴四边形的面积， 即四边形的面积为定值且为，故③正确； ④∵， ∴， ∴，故④正确， 所以，正确的结论是①②③④，共4个， 故选：A． 30. （2024·山西临汾·二模）能够完全重合的两块直角三角形纸片按如图方式摆放，．连接，交于点，交于点，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过E作于H，可证四边形是矩形，得出，，利用勾股定理求出，证明∴，求出，，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意知：，， 过E作于H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 31. （2024·山西大同·二模）如图，菱形的边长为5，对角线、相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据菱形的性质，勾股定理求得，进而证明得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴，，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，则， 在中，， ∴ 故答案为：． 32. （2024·山西忻州·三模）如图，正方形的边长为，是的中点，是射线上一点（不与点重合），且，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长，，交点为，过点作，交直线于点，连接．由正方形的性质及勾股定理得．再根据平行线分线段成比例证明为的中点，为的中点，从而得．最后利用勾股定理求得，． 【详解】解：如图，延长，，交点为，过点作，交直线于点，连接． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 同理可证：为的中点， ∴． ∵为正方形的对角线， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及正方形的性质是解题的关键． 33. （2024·山西阳泉·三模）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，设，根据平行四边形的性质得，，，结合角平分线的定义证明，得到，，证明，得到，求解即可．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 34. （2024·山西太原·三模）如图，在正方形中，点E是的中点；于点F，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，先求出，，，过点D作于点G，证明，则，，得到，即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是的中点； ∴， ∵于点F， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点G， ∵四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为： 35. （2024·山西临汾·一模）如图所示，在正方形中，E、F分别为对角线上的两点，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点B作，取，连接，，证明，得出，，根据勾股定理得出，证明，得出即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，取，连接，， 则， 四边形是正方形， ，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 36. （2024·山西晋城·一模）如图，在中，，，，过点C作于点D，平分，交边于点E，交于点F，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．过点作交于点，证明，得到，，再利用三角形面积公式，求出，分别证明，，根据对应边成比例，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， 在中，，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 37. （2024·山西阳泉·二模）如图，在矩形中，对角线、相交于点，．在上截取，连接、．则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】由矩形的性质可知，，，由，可得，即，由勾股定理得，由，，证明，根据，求解作答即可． 【详解】解：由矩形的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握矩形的性质，正弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 38. （2024·山西长治·三模）如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，先求得，再说明，进而求得，最后运用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点． ∵，， ∴，即， 又∵， ∴． ∴， ∵，， ∴垂直平分． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， ∵，，，垂直平分， ∴，， ∴， ∴． 39. （2024·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，，，点是的中点，与交于点，连接，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，过点作于点，则．证明得出，证明得出，进而可得，，最后在中，勾股定理，即可求解． 【详解】如图，过点作于点，则． 四边形是矩形， ，，． 点是的中点， ． ． ， ，． ． ． ． ， ． ． ． ，． ． ． 故答案为：． 40. （2024·山西大同·三模）如图，在中，，点，点分别是和上的点，，，连接，过点作交于点，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．在上截取，连接，证明，推出是等边三角形，作于点，求得，，再利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 41. （2024·山西晋城·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线，交于点，先证明出，计算出的长度，根据同角的三角函数相等，可求得，利用线段关系得到的值，最后通过勾股定理即可求解 【详解】过点作的垂线，交于点 是矩形 在与中， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理以及三角函数，解题的关键在于画出辅助线 42. （2024·山西晋中·一模）如图，在中，是直线上的两点，且 ．连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，进而得到，即可得，由即得到，由此得到，即可得到，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 43. （2024·山西大同·二模）中国最早的箭头，出自山西朔县峙峪旧石器遗址．它是一枚由燧石打造成的石制箭头，距今已28000年之久，如图1所示．历史爱好小组的同学发现，箭头的双翼箭镞可以利用实践课的剩余材料制作出模型，如图2，将全等的与粘合，过点B作交于点E，连接，沿，剪开，即可作出箭镞的形状．请你判断制作过程中剪下的四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的性质，菱形的判定． 由全等三角形的性质得到，，由得到，从而，得到，证得四边形是平行四边形，再一组邻边相等，即可证得结论． 【详解】解：四边形是菱形． 理由如下： ， ，． ， ． ． ． ． 又， ∴四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． 44. （2024·山西忻州·三模）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的判定定理证明即可． （2）根据菱形的性质，结合四边形的面积为，，计算即可． 本题考查了菱形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵， ∴． 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∴． 45. （2024·山西晋中·三模）如图，在中，为边上一点，平移线段，使点与点重合、点与点重合，连接，，． (1)若，，求的度数． (2)请再添加一个条件，使四边形为菱形． 【答案】(1) (2)，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平移的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定； （1）由三角形内角和定理求得∠，根据平移的性质征得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可证得结论；求得答案； （2）根据菱形的判定定理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据平移的性质，可得，， 四边形是平行四边形． ． 在中，，， ． ． （2）答案不唯一，如， 证明：由（1）知四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 46. （2024·山西阳泉·三模）如图，，点在上，．求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明： ， ，    第一步 在和中， ，    第二步 ．    第三步 任务一： ①以上证明过程中，第一步依据的定理是：______； ②从第______步出现错误；具体错误是______； 任务二：请写出正确的证明过程． 【答案】任务一：①两直线平行内错角相等；②二，对应边相等应为；任务二：见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定；根据两直线平行内错角相等，证明两三角形全等即可求解． 【详解】任务一：①以上证明过程中，第一步依据的定理是：两直线平行内错角相等； ②从第二步出现错误；具体错误是对应边相等应为 任务二： ， ，    ， 在和中， ，    ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$