专题05 分式方程、一元二次方程及其应用（3考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（山西专用）

专题05 分式方程、一元二次方程及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 分式方程解法 （5年1考） 2023·山西卷：分式方程的解法 1、分式方程的解法，解题时需注意分式方程根的检验，同时，也应掌握在具体问题中利用等量关系列出分式方程，解决实际问题。在复习时注意计算，避免因为计算失误出现失分. 2、中考中一元二次方程主要考察点：方程解法、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的实际应用等. 考点2 分式方程与实际应用 （5年2考） 2022·山西卷、2021·山西卷：分式方程的应用 考点3 一元二次方程与实际应用 （5年3考） 2020·山西卷：一元二次方程的应用 2021·山西卷：一元二次方程实际问题---日历问题 2022·山西卷：二次函数与一元二次方程的关系 考点1 分式方程解法 1. （2023·山西·中考真题）解方程：． 考点2 分式方程与实际应用 2. （2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 3. （2021·山西·中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间． 考点3 一元二次方程与实际应用 4. （2020·山西·中考真题）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ． 5. （2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 6. （2022·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论． D．转化思想 (2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 7. （2024·山西太原·三模）小明同学解方程的过程中，下面说法正确的是（    ） A．从第一步开始出现错误 B．从第二步开始出现错误 C．从第三步开始出现错误 D．从第四步开始出现错误 8. （2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 9. （2024·山西晋城·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 10. （2024·山西晋城·三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒（25mg）从200元降至15元若该药品每轮降价率相同，设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 11. （2024·山西忻州·三模）如图，某广场欲在角落半径为5米的扇形区域内做绿化，先在外围种植一圈大叶黄杨作为隔离带，再在内部扇形区域内种植月季花，已知若种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等，则扇形的半径为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．π米． 12. （2024·山西阳泉·二模）已知关于的一元二次方程，其中一次项系数被墨迹污染了．若这个方程的一个根为，则一次项系数为（    ） A． B． C． D． 13. （2024·山西晋城·二模）古希腊数学家丢番图，被称为代数学的创始人之一，著有《算术》一书．书中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用如图所示的图解法求解形如（a，b为常数，）的解．这体现的数学思想是（      ） A．公理化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．分类思想 14. （2024·山西大同·二模）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 15. （2024·山西运城·一模）2024年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 16. （2024·山西吕梁·一模）某建筑队计划修筑2600米的围墙，由于投入新设备，每天的施工效率比原计划提高了30%，按这样的进度将比原计划提前6天完成．设原计划每天修筑米，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 17. （2024·山西太原·三模）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 18. （2024·山西晋中·三模）上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为元袋，经市场调查发现，当销售单价为元时，每天可售出袋；销售单价每降低元，每天可多售出袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 19. （2024·山西晋城·三模）2024年，山西省政府提出“聚焦建设国际知名文化旅游目的地，集中力量打造旅游热点门户”．如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 20. （2024·山西晋中·三模）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为 21. （2024·山西晋中·一模）浮山至临汾高速公路（简称浮临高速）是山西省“县县通高速”最后的重点攻坚项目．浮临高速通车前从起点到终点的车程是千米，若浮临高速通车后，车程将缩短至千米，汽车的平均速度将提高到现在的 倍，用时将缩短分钟．若设浮临高速通车后汽车的平均速度为千米时，则可列方程为 ． 22. （2024·山西大同·三模）解方程：. 23. （2024·山西晋中·二模）解方程：． 24. （2024·山西朔州·模拟预测）解方程：． 25. （2024·山西大同·三模）解方程：． 26. （2024·山西太原·一模）解方程：． 27. （2024·山西临汾·一模）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步 解得第三步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得或第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________； ②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________． 任务二：该一元二次方程的解为__________． 28. （2024·山西晋城·三模）晶圆是指硅半导体集成电路制作所用的硅晶片，由于其形状为圆形，故称为晶圆，将晶圆进行切割，就可以制作成一块块的芯片．某公司对生产芯片的技术进行了升级，与旧技术相比，用新技术生产出的芯片合格率更高．已知该公司每片晶圆用新技术生产的芯片数量比用旧技术多，用新技术生产2500块芯片比用旧技术生产2800块芯片少用2片晶圆．求每片晶圆用旧技术可生产芯片的数量．    29. （2024·山西忻州·三模）我国快递市场规模巨大，快递业务量连续多年排名世界首位．某快递站点为提高配送效率，引进了无人配送车，在快递配送高峰期，快递员小李原来平均每天能配送100件快递，在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，每天的工作时间比原来减少了2个小时，每天的快递配送量比原来提高了．求小李现在每天需要工作几小时． 30. （2024·山西阳泉·一模）三晋大地从南到北，多地进行“稻蟹共生”的生态化养殖，即“以稻养蟹、以蟹养稻”的立体生态农业模式，大闸蟹养殖已成为村民们致富的新途径．某地A，B两村都采用“稻蟹共生”的养殖方式，两村同时购进一批蟹苗，B村购进蟹苗的数量比A村多，已知1斤蟹苗可以收获10斤螃蟹，养成后，A村每斤螃蟹的价格比B村贵2元，A村的大闸蟹共卖出万元，B村的大闸蟹共卖出万元，求A，B两村购进蟹苗的数量分别为多少斤． 31. （2024·山西临汾·一模）列方程解应用题： 山西是面食之乡，面食种类繁多，其中以刀削面最为有名，可谓“面食之王”，它有内虚外筋、柔软光滑、易于消化等特点，与北京的炸酱面、河南烩面、武汉的热干面、四川的担担面被誉为我国著名的五大面食．在某县城内一家特色刀削面馆考察得知，一份刀削面的成本价为7元，若每份卖12元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为280元．每份刀削面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天800元的净利润？ 32. （2024·山西晋城·二模）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为米，宽为米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为，求和减少的长度是多少？ 33. （2024·山西太原·二模）2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护环境，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元．用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)学校决定购买甲，乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，求最多可购买多少棵甲种树苗． 34. （2024·山西太原·三模）在国家深化改革、扩大开放，以经济建设为中心，全面建设小康社会的大背景下，“建设新农村，提高农民的收入，提升农民的幸福感”，成为了某乡镇政府的核心任务，今年，本乡镇主要有两种经济作物，总产量分别如下表： 类别 小麦 大豆 总产量（万公斤） 1440 270 通过统计与计算发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，种植小麦的田亩数比种植大豆的田数多5000亩． (1)求种植小麦的田亩数． (2)为加大经济作物种的田亩数，乡镇政府决定再从种植小麦的土地中，拨出一定的土地种植经济价值较高的蔬菜，但不得超过剩余种植小麦土地的四分之一．求可以最多种植蔬菜多少亩． 35. （2024·山西太原·二模）阅读与思考 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 关于完全平方公式的思考完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛，今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现： ，． 我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律： ；． 若多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为①______； 王华的探索发现： 若多项式是完全平方式，也可以看作是一元二次方程根的情况为②______时； 还可以看作抛物线与轴有③______个交点时， 数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索多反思． 任务一； （1）请你补充完整小明的日记：①______，②______，③______． 任务二： （2）若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值； 任务三： （3）除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程，请你再举出一例． 36. （2024·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小宇撰写的数学小论文(部分)，请仔细阅读并完成相应的任务． 求两类特殊系数一元二次方程的解 通过学习我们知道一元二次方程 ，a，b，c为常数)，当 时，其求根公式为 观察求根公式可知，一元二次方程的根与系数有着密切的关系．我们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系．分析如下： 第一类，当时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢?我们用两种方法进行了分析： 方法一： ，． 该方程有实数根． ． 方程 可变形为． 或． 当时，一元二次方程的两个实数根为 方法二，用求根公式法求解： …… 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根． ………… 任务： (1)小论文中，将方程变形为 ，然后求出方程的根，这种解方程的方法是 ．    A．配方法          B．公式法             C．因式分解法 (2)请参照小论文中的求解方法，用方法一将第二类方程的求解过程补充完整． (3)请结合小宇的小论文，直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点． 37. （2024·山西吕梁·三模）请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程． 《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程． 例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为人，则可列方程为． 解：构造如图1所示的图形，，，矩形的面积为90，矩形的面积为120，则，．显然，． 根据图形可知． 所以．（将分式方程转化成了整式方程） 解得．         图1 答：第一次分硬币的人数为18人． 任务：      (1)   如图2，，，矩形和矩形的面积均为60，下列代数式可以表示边的是___________．（多选） A．    B．    C．    D． (2)如图3，，，矩形的面积为60，矩形的面积为20，，则可列方程为___________． (3)请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式方程、一元二次方程及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 分式方程解法 （5年1考） 2023·山西卷：分式方程的解法 1、分式方程的解法，解题时需注意分式方程根的检验，同时，也应掌握在具体问题中利用等量关系列出分式方程，解决实际问题。在复习时注意计算，避免因为计算失误出现失分. 2、中考中一元二次方程主要考察点：方程解法、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的实际应用等. 考点2 分式方程与实际应用 （5年2考） 2022·山西卷、2021·山西卷：分式方程的应用 考点3 一元二次方程与实际应用 （5年3考） 2020·山西卷：一元二次方程的应用 2021·山西卷：一元二次方程实际问题---日历问题 2022·山西卷：二次函数与一元二次方程的关系 考点1 分式方程解法 1. （2023·山西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案． 【详解】解：原方程可化为． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． ∴原方程的解是． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． 考点2 分式方程与实际应用 2. （2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的根． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 3. （2021·山西·中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间． 【答案】25分钟 【分析】设走路线一到达太原机场需要分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的倍列等式计算即可． 【详解】解：设走路线一到达太原机场需要分钟． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：走路线一到达太原机场需要25分钟． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根． 考点3 一元二次方程与实际应用 4. （2020·山西·中考真题）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可． 【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x, 由题意得:, 解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24, 整理得:2x2－11x+18=0． 解得x=2或x=9(舍去)． 故答案为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程． 5. （2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键． 6. （2022·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论． D．转化思想 (2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 【答案】(1)AC (2)分析见解析；作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想； （2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答； （3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可． 【详解】（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想， 故答案为：AC； （2）解：a>0时，抛物线开口向上． 当△=b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒ ∵a>0， ∴顶点纵坐标﹒ ∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）： ∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根． （3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等） 【点睛】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键． 7. （2024·山西太原·三模）小明同学解方程的过程中，下面说法正确的是（    ） A．从第一步开始出现错误 B．从第二步开始出现错误 C．从第三步开始出现错误 D．从第四步开始出现错误 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，按照正确的步骤解分式方程后即可得到答案. 【详解】解： 方程两边同时乘得， 去括号得， 移项，得， 合并同类项得， 系数化1得， 从解方程过程可知，从第二步开始出现错误， 故选：B 8. （2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 9. （2024·山西晋城·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：B． 10. （2024·山西晋城·三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒（25mg）从200元降至15元若该药品每轮降价率相同，设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该药品经过两次降价后的价格=原价（每次降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为 ， 故选：D． 11. （2024·山西忻州·三模）如图，某广场欲在角落半径为5米的扇形区域内做绿化，先在外围种植一圈大叶黄杨作为隔离带，再在内部扇形区域内种植月季花，已知若种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等，则扇形的半径为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．π米． 【答案】A 【分析】本题考查的是求解扇形的面积，一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，根据面积相等建立方程求解即可． 【详解】解：∵，设， 而种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等， ∴， 解得， 故选A 12. （2024·山西阳泉·二模）已知关于的一元二次方程，其中一次项系数被墨迹污染了．若这个方程的一个根为，则一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定义是解题的关键． 设一元二次方程为，将代入，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设一元二次方程为， 将代入得，， 解得，， ∴一次项系数为， 故选：C． 13. （2024·山西晋城·二模）古希腊数学家丢番图，被称为代数学的创始人之一，著有《算术》一书．书中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用如图所示的图解法求解形如（a，b为常数，）的解．这体现的数学思想是（      ） A．公理化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．分类思想 【答案】C 【分析】本题考查数形结合思想，掌握用几何的方法解决代数问题的思想叫做数形结合是解题的关键． 【详解】解：用如图所示的图解法求解形如（a，b为常数，）的解．这体现的数学思想是数形结合思想， 故选C． 14. （2024·山西大同·二模）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列分式方程，解题关键是从题干中提取出等量关系式．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-C919所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 15. （2024·山西运城·一模）2024年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，以及双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，列出方程即可． 【详解】解：设购进单目显微镜y台，则购进双目显微镜台，由题意，得： ； 故选B． 16. （2024·山西吕梁·一模）某建筑队计划修筑2600米的围墙，由于投入新设备，每天的施工效率比原计划提高了30%，按这样的进度将比原计划提前6天完成．设原计划每天修筑米，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的简单应用，找出等量关系列出方程是关键．由已知得原计划修筑的天数为，实际修筑天数为，再根据实际天数将比原计划提前6天完成列方程． 【详解】解：由已知可得原计划修筑的天数为，实际修筑天数为， 故选B． 17. （2024·山西太原·三模）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人拥抱应该只算一次并据此列出方程是解题的关键． 因为每位同学都要与除自己之外的名同学拥抱一次，所以共拥抱次，由于每次拥抱都是两人，应该算一次，所以共拥抱次，即可列方程． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 18. （2024·山西晋中·三模）上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为元袋，经市场调查发现，当销售单价为元时，每天可售出袋；销售单价每降低元，每天可多售出袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设销售单价降低元，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设销售单价降低元，根据题意得， 故选：D． 19. （2024·山西晋城·三模）2024年，山西省政府提出“聚焦建设国际知名文化旅游目的地，集中力量打造旅游热点门户”．如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设行车通道的宽度为，再根据停车区域面积之和为列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】解：设行车通道的宽度为． 根据题意，得． 故选：D． 20. （2024·山西晋中·三模）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为 【答案】168 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列分式方程求解即可． 【详解】解：设改良前的平均亩产量为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 所以改良前的平均亩产量为． 21. （2024·山西晋中·一模）浮山至临汾高速公路（简称浮临高速）是山西省“县县通高速”最后的重点攻坚项目．浮临高速通车前从起点到终点的车程是千米，若浮临高速通车后，车程将缩短至千米，汽车的平均速度将提高到现在的 倍，用时将缩短分钟．若设浮临高速通车后汽车的平均速度为千米时，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，由题意可得，浮临高速通车前的速度为千米时，通车前需要的时间为小时，通车后需要的时间为小时，根据用时将缩短分钟即可列出方程，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 22. （2024·山西大同·三模）解方程：. 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化为1，最后检验即可． 【详解】解： 去分母，得： 去括号，得： 移项合并同类项，得 系数化为1，得： 检验：将代入， ∴是原方程的根． 23. （2024·山西晋中·二模）解方程：． 【答案】 【分析】先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】 解：原方程可化为 方程两边同时乘得， 解，得． 检验：当时，． 所以原方程的解是． 24. （2024·山西朔州·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可； 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 25. （2024·山西大同·三模）解方程：． 【答案】，． 【分析】利用公式法求解即可． 【详解】解：， ，，，， ∴， 所以，． 26. （2024·山西太原·一模）解方程：． 【答案】，． 【分析】根据解一元二次方程的解法即可求解； 【详解】方法1：解：将原方程化为一般形式，得， 这里，， ∴， ∴， 即，； 方法2：解：原方程可变形为， ， ， 或， ∴，． 27. （2024·山西临汾·一模）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步 解得第三步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得或第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________； ②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________． 任务二：该一元二次方程的解为__________． 【答案】任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式；②三，提公因式时，后边的未变号 任务二：或 【分析】 本题考查了解一元二次方程，实数的运算． （1）根据乘方，绝对值，零次幂的性质计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误．错误的原因是方程两边同时除以可能为0的代数式； 故答案为：二，方程两边同时除以可能为0的代数式； ②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误．错误的原因是后边的没有变号． 故答案为：三，提公因式时，后边的未变号． 任务二：， ， ， 或， 解得或． 28. （2024·山西晋城·三模）晶圆是指硅半导体集成电路制作所用的硅晶片，由于其形状为圆形，故称为晶圆，将晶圆进行切割，就可以制作成一块块的芯片．某公司对生产芯片的技术进行了升级，与旧技术相比，用新技术生产出的芯片合格率更高．已知该公司每片晶圆用新技术生产的芯片数量比用旧技术多，用新技术生产2500块芯片比用旧技术生产2800块芯片少用2片晶圆．求每片晶圆用旧技术可生产芯片的数量．    【答案】每片晶圆用旧技术可生产芯片的数量为块． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设每片晶圆用旧技术可生产芯片的数量为块，根据“用新技术生产2500块芯片比用旧技术生产2800块芯片少用2片晶圆”列分式方程，解之即可． 【详解】解：设每片晶圆用旧技术可生产芯片的数量为块，则每片晶圆用新技术可生产芯片的数量为块， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每片晶圆用旧技术可生产芯片的数量为块． 29. （2024·山西忻州·三模）我国快递市场规模巨大，快递业务量连续多年排名世界首位．某快递站点为提高配送效率，引进了无人配送车，在快递配送高峰期，快递员小李原来平均每天能配送100件快递，在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，每天的工作时间比原来减少了2个小时，每天的快递配送量比原来提高了．求小李现在每天需要工作几小时． 【答案】小李现在每天需要工作8小时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设小李现在每天需要工作x小时，原来每天工作小时，根据在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小李现在每天需要工作x小时，原来每天工作小时， 根据题意得： 解得． 经检验，是原方程的解． 答：小李现在每天需要工作8小时． 30. （2024·山西阳泉·一模）三晋大地从南到北，多地进行“稻蟹共生”的生态化养殖，即“以稻养蟹、以蟹养稻”的立体生态农业模式，大闸蟹养殖已成为村民们致富的新途径．某地A，B两村都采用“稻蟹共生”的养殖方式，两村同时购进一批蟹苗，B村购进蟹苗的数量比A村多，已知1斤蟹苗可以收获10斤螃蟹，养成后，A村每斤螃蟹的价格比B村贵2元，A村的大闸蟹共卖出万元，B村的大闸蟹共卖出万元，求A，B两村购进蟹苗的数量分别为多少斤． 【答案】A村购进蟹苗的数量为1500斤，则B村购进蟹苗的数量为1800斤． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，确定相等关系是解本题的关键，设A村购进蟹苗的数量为斤，则B村购进蟹苗的数量为斤，再根据单价的关系建立分式方程求解即可． 【详解】解：设A村购进蟹苗的数量为斤，则B村购进蟹苗的数量为斤， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：A村购进蟹苗的数量为1500斤，则B村购进蟹苗的数量为1800斤． 31. （2024·山西临汾·一模）列方程解应用题： 山西是面食之乡，面食种类繁多，其中以刀削面最为有名，可谓“面食之王”，它有内虚外筋、柔软光滑、易于消化等特点，与北京的炸酱面、河南烩面、武汉的热干面、四川的担担面被誉为我国著名的五大面食．在某县城内一家特色刀削面馆考察得知，一份刀削面的成本价为7元，若每份卖12元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为280元．每份刀削面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天800元的净利润？ 【答案】16元或19元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每份刀削面的价格是元，则销售量为份，设再根据净利润总收入总成本其它各种费用列出方程求解即可．理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：每份刀削面的价格是元， 由题意可得，， 整理得：， 解得：或， 答：每份刀削面的价格是16元或19元时，该面馆才能实现每天800元的净利润． 32. （2024·山西晋城·二模）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为米，宽为米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为，求和减少的长度是多少？ 【答案】米 【分析】考查了一元二次方程的应用，设和减少的长度为米，根据题意列出方程求解即可， 理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． 【详解】解：设和减少的长度为米， 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），， 答：和减少的长度为米． 33. （2024·山西太原·二模）2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护环境，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元．用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)学校决定购买甲，乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，求最多可购买多少棵甲种树苗． 【答案】(1)甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元 (2)33棵 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或不等式． （1）设乙种树苗每棵的价格是元、则甲种树苗每棵的价格是元，根据用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同，列出方程，解方程即可； （2）设可购买棵甲种树苗，根据学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙种树苗每棵的价格是元、则甲种树苗每棵的价格是元，根据题意，可列方程组： ， 解得：． 经检验，是原方程的根， ， 答：甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元； （2）解：设可购买棵甲种树苗，根据题意，可列不等式： ． 解这个不等式得：， 为正整数， 的最大值为33， 答：最多可购买33棵甲种树苗． 34. （2024·山西太原·三模）在国家深化改革、扩大开放，以经济建设为中心，全面建设小康社会的大背景下，“建设新农村，提高农民的收入，提升农民的幸福感”，成为了某乡镇政府的核心任务，今年，本乡镇主要有两种经济作物，总产量分别如下表： 类别 小麦 大豆 总产量（万公斤） 1440 270 通过统计与计算发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，种植小麦的田亩数比种植大豆的田数多5000亩． (1)求种植小麦的田亩数． (2)为加大经济作物种的田亩数，乡镇政府决定再从种植小麦的土地中，拨出一定的土地种植经济价值较高的蔬菜，但不得超过剩余种植小麦土地的四分之一．求可以最多种植蔬菜多少亩． 【答案】(1)小麦的种植面积为20000亩 (2)改种蔬菜的最大面积为4000亩 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用等知识，根据题意准确列出式子是解题关键． （1）设小麦的种植面积为x亩，根据“小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍”列出分式方程，解分式方程即可求解； （2）设改种蔬菜的面积为y亩，根据“改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一”列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设小麦的种植面积为x亩， 由题意得， 解得． 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 答：小麦的种植面积为20000亩； （2）解：设改种蔬菜的面积为y亩， 根据题意得， 解得． 答：改种蔬菜的最大面积为4000亩． 35. （2024·山西太原·二模）阅读与思考 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 关于完全平方公式的思考完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛，今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现： ，． 我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律： ；． 若多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为①______； 王华的探索发现： 若多项式是完全平方式，也可以看作是一元二次方程根的情况为②______时； 还可以看作抛物线与轴有③______个交点时， 数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索多反思． 任务一； （1）请你补充完整小明的日记：①______，②______，③______． 任务二： （2）若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值； 任务三： （3）除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程，请你再举出一例． 【答案】（1）①，②有两个相等的实数根，③一；（2）：或6；（3）：用配方法求二次函数的顶点坐标 【分析】本题考查完全平方公式，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系： （1）根据给定的等式得出规律求①，根的判别式求②，抛物线与轴的交点个数求③； （2）根据规律列出一元二次方程，求解即可； （3）配方法求二次函数的顶点坐标． 【详解】解：（1）多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为， ∴， ∴可以看成一元二次方程根的情况为有两个相等的实数根，也可以看成抛物线与轴有一个交点； 故答案为：①，②有两个相等的实数根，③一； （2）由题意，可得：， 解得：或； （3）例如：用配方法求二次函数的顶点坐标． 36. （2024·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小宇撰写的数学小论文(部分)，请仔细阅读并完成相应的任务． 求两类特殊系数一元二次方程的解 通过学习我们知道一元二次方程 ，a，b，c为常数)，当 时，其求根公式为 观察求根公式可知，一元二次方程的根与系数有着密切的关系．我们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系．分析如下： 第一类，当时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢?我们用两种方法进行了分析： 方法一： ，． 该方程有实数根． ． 方程 可变形为． 或． 当时，一元二次方程的两个实数根为 方法二，用求根公式法求解： …… 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根． ………… 任务： (1)小论文中，将方程变形为 ，然后求出方程的根，这种解方程的方法是 ．    A．配方法          B．公式法             C．因式分解法 (2)请参照小论文中的求解方法，用方法一将第二类方程的求解过程补充完整． (3)请结合小宇的小论文，直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点． 【答案】(1)C (2)见详解 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合因式分解的定义，一个多项式变形为几个整式的乘积的形式，故，变形为即为因式分解； （2）模仿题干的过程，即可作答． （3）借助（1）（2）的结论，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 则 故这种解方程的方法是因式分解法， 故选：C （2）解：依题意， ， ． 该方程有实数根． ． 方程可变形为． 或． 当时，一元二次方程的两个实数根为 （3）解：结合（1）（2）的结论，得出要使一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点． 则， 即（答案不唯一）． 37. （2024·山西吕梁·三模）请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程． 《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程． 例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为人，则可列方程为． 解：构造如图1所示的图形，，，矩形的面积为90，矩形的面积为120，则，．显然，． 根据图形可知． 所以．（将分式方程转化成了整式方程） 解得．         图1 答：第一次分硬币的人数为18人． 任务：      (1)   如图2，，，矩形和矩形的面积均为60，下列代数式可以表示边的是___________．（多选） A．    B．    C．    D． (2)如图3，，，矩形的面积为60，矩形的面积为20，，则可列方程为___________． (3)请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程的解． 【答案】(1)C、D (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系列出表达式和分式方程是解题的关键． （1）根据题意表示出、，利用，即可解题； （2）根据列出分式方程即可． （3）根据分式方程构造图形，并根据图形的面积关系求解，即可解题． 【详解】（1）解：，，矩形和矩形的面积均为60， ，， ， 故选：C、D； （2）解：根据题意可列方程为：， 故答案为：； （3）解：构造如图所示的图形，，，， 矩形的面积为1，矩形的面积为2， 则，． 矩形中，，矩形中，， ． 根据图形可知． 所以．解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$