精品解析：北京市海淀区精华学校2024-2025学年高三上学期入学定位考试数学试题

2024—2025学年北京市新高三入学定位考试 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 已知函数. 若时，取得最大值，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则 （ ） A. B. C. D. 9. 已知单位向量，则“”是“任意都有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ） A. 一个“好子集”中最多有个元素 B. 一个“好子集”中最多有个元素 C. 一个“好子集”中最多有个元素 D. 一个“好子集”中最多有个元素 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为________． 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则_______； _______． 13. 已知双曲线（其中）的右焦点为，则________，的离心率为________． 14. 函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________， ________． 15. 在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论： ①线段长度的最大值为； ②存在点，使得； ③存在点，使得； ④是等腰三角形. 其中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知为锐角三角形，且，. （1）求的值； （2）再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知， 求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件 ③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如右图所示. 假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率. （1）估计某一天此款甜品销售量不超过个的概率； （2）用表示在未来3天里，此款甜品日销售量多于个的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （3）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都大于70个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化，说明理由. 19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左焦点为 点为椭圆上不同于顶点的一点，直线与轴的交点分别为，若，求点的横坐标. 20. 已知函数，直线是曲线在点处的切线． （1）当时，求直线的倾斜角； （2）求证：除切点之外，曲线在直线的上方； （3）若函数在上单调递增，求的取值范围. 21. 已知数列满足，其中. （1）当时，求的值； （2）求证：不是单调递增数列； （3）是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年北京市新高三入学定位考试 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集的概念进行求解. 【详解】. 故选：C 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则化简计算即得. 【详解】由，可得. 故选：A. 3. 设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程求解出焦点和准线方程，则结果可知. 【详解】因为抛物线方程，所以焦点为，准线为， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B. 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多项式得到常数项的方法或应用二项展开式的通项可求. 【详解】法一：. 则展开式中得到常数项只有一种方法，即每个括号中都取出相乘可得. 故展开式中常数项为； 法二：的展开式中通项为 . 令，可得， 则展开式中常数项为. 故选：A. 5. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设出公比，利用等比数列通项公式基本量计算列出方程，求出答案 【详解】设公比为，则， 解得或. 故选：D 6. 已知函数. 若时，取得最大值，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式化简，代入选项检验即可得解. 【详解】由， 代入检验，当时，取得最大值. 故选：B 7. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由线面垂直证明，结合可证明平面，再由线面垂直得线线垂直，由此找到表示点线距离的线段，利用勾股定理求解即得. 【详解】连接AC交BD于O，则为的中点.连接PO. 由平面， 平面， 得， 已知底面是正方形，则， 平面，平面，且， 所以平面，又平面， 则. 即点到的距离为.又正方形边长为，， 所以， 故所求点到直线的距离为. 故选：D. 8. 若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标，从而得到答案. 【详解】， 故圆心为，要想圆心到轴、轴的距离相等， 则. 故选：C 9. 已知单位向量，则“”是“任意都有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由单位向量，且时，可得， 则， 所以，即充分性成立； 反正，对于单位向量，若成立， 可得，即， 解得，所以，即必要性成立， 所以是成立的充分必要条件. 故选：C. 10. 设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ） A. 一个“好子集”中最多有个元素 B. 一个“好子集”中最多有个元素 C. 一个“好子集”中最多有个元素 D. 一个“好子集”中最多有个元素 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，则三者为1或0，分类讨论，确定，一个“好子集”中最多有个元素. 【详解】中有且只有一个为，不妨设， 则三者为1或0， 若三者均为0，则此时A中只有1个元素，即， 不合要求，舍去， 若三者中有1个0，则，有3个元素，满足要求， 若三者中有2个0，或没有0，则此时不满足， 综上，一个“好子集”中最多有个元素. 故选：A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】由被开方数大于等于0建立不等式，求解可得. 【详解】要使函数解析式有意义，则， 解得，或. 故函数的定义域为. 故答案为：. 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则_______； _______． 【答案】 ①. 4 ②. 2 【解析】 【分析】由向量加减法的几何意义作图可得，，进而利用向量的数量积定义运算可得. 【详解】 在正方形网格中， ，连接，如图所示取点，则， 连接.由图可知四边形菱形， 即以所在边为邻边所作的平行四边形， 故由向量的加法几何意义可知； 又由向量的减法几何意义可知，， 如图可知与共线且方向相同，且，. 故. 故答案为：4；2. 13. 已知双曲线（其中）的右焦点为，则________，的离心率为________． 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】由关系可得，再由可求离心率. 【详解】由题意可得双曲线焦点在轴上，且， 则，由得， 故的离心率. 故答案为：1；2. 14. 函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________， ________． 【答案】 ①. 1 ②. 0 【解析】 【分析】由奇函数确定，再由最值确定. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，得，经验证符合； 所以，又恒成立， 所以恒成立， 所以，即. 故答案为：1； 0 15. 在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论： ①线段长度的最大值为； ②存在点，使得； ③存在点，使得； ④是等腰三角形. 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断B，设点的坐标根据条件列出方程组②，探求是否存在符合条件的解判断③④ 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 对①，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为， 此时，， 所以，即满足，故①正确； 对②，取正方形的中心M，连接，易知， 所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，， 此时，，，即不满足， 综上不存在点，使得，故②错误； 对③，设，则，，若存在， 由，可得方程组， 化简可得，解得 ， 显然当时满足题意， 即存在点，使得，故③正确； 对④，设，若， 则，化简可得， 由③知时可得，满足题意，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算建立方程，探求是否存在满足条件的点，运算比较复杂，属于难题. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：连接， 在中，因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2） 证明：因为直三棱柱中，为侧棱， 所以平面，因为平面， 所以， 又为直角，所以 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由（1），所以． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，再证明，结合（1）可得； （3）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到线面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因此，． 设平面的法向量为， 则，， 所以，即 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为． 所以． 17. 已知为锐角三角形，且，. （1）求的值； （2）再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知， 求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件 ③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选择①②③，答案均为20 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到答案； （2）选择①，求出，由余弦定理求出，得到的周长； 选择②，代入计算出，求出，由余弦定理求出，得到的周长； 选择③，求出，由余弦定理求出，求出三角形的周长. 【小问1详解】 由正弦定理 ，所以． 代入得，所以. 【小问2详解】 选择条件①：． 因为，所以. 因为为锐角，所以， 由余弦定理， 代入得到，所以， 解得，（舍）. 所以的周长为. 选择条件②：. 因为，所以， 所以， 因为，所以. 因为为锐角，所以， 由余弦定理， 代入得到，所以， 解得，（舍）. 所以的周长为. 选择条件③：， 因为， 所以. 因为为锐角，所以， 由余弦定理， 代入得到， 所以， 所以的周长为. 18. 某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如右图所示. 假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率. （1）估计某一天此款甜品销售量不超过个的概率； （2）用表示在未来3天里，此款甜品日销售量多于个的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （3）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都大于70个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化，说明理由. 【答案】（1）0.4 （2）的分布列为 期望为1.8 （3）可以认为此款甜品的销售情况发生了变化，理由如下： 可以认为此款甜品的销售情况发生了变化. 设事件表示“日销售量大于70个”，用表示“30天内日销售量大于70个的天数”， 由直方图可得，又， 所以， 所以可以认为此款甜品的销售情况发生了变化． 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率计算得解； （2）根据，求出分布列及均值； （3）设表示“30天内日销售量大于70个的天数”，计算的均值可判断. 【小问1详解】 设事件为“某一天此款甜品销售量不超过个”， 所以． 【小问2详解】 根据题意，则 ， ， ， ， 所以的分布列为 所以. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左焦点为 点为椭圆上不同于顶点的一点，直线与轴的交点分别为，若，求点的横坐标. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由已知条件即可确定，即可求解； （2）方法一：设，由点斜式得到，直线方程，求得两点坐标，再由即可求解；方法二：设直线的方程为，先求得点坐标，再联立椭圆方程，通过直线方程求得点纵坐标，再由求解即可. 【小问1详解】 由题设， 所以的方程为． 【小问2详解】 法一：设，所以 所以， 直线的方程为． 令，得 又， 直线的方程为 令，得 ， 所以 ， 所以，所以， 所以，. 所以点的横坐标为或. 法二：由题意直线斜率存在，且不为0，设直线的方程为． 令，得 由 得． 易得．设 ，则， ，所以 直线的方程为． 令，得 ， 所以． 所以，. 所以，. 所以点的横坐标为或. 20. 已知函数，直线是曲线在点处的切线． （1）当时，求直线的倾斜角； （2）求证：除切点之外，曲线在直线的上方； （3）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明: 因为．所以，且， 所以直线的方程为，令，定义域为， 法一：当时，，所以. 当时，，所以， 所以对且成立， 即除切点之外，曲线在直线的上方. 法二：因为， 所以时，，， 时，，， 与的变化情况如下表： ↘ ↗ 所以，函数在处取得最小值， 所以对且成立， 即除切点之外，曲线在直线的上方. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，得到，利用导数的几何意义得到切线倾斜角； （2）法一：求出直线的方程为，构造，分和两种情况，得到，得到结论； 法二：求出直线的方程为，构造，求导，得到，得到其单调性，进而对且成立，证明出结论； （3）对成立，令，求导，得到对成立， 所以在上单调递增，故只需，求出答案. 【小问1详解】 当时，， 所以． 所以，所以直线的倾斜角为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为函数在上单调递增， 所以对成立，令， 所以， 所以对成立， 所以在上单调递增， 所以只需， 所以. 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 21. 已知数列满足，其中. （1）当时，求的值； （2）求证：不是单调递增数列； （3）是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1），. （2） 假设数列单调递增， 因为， 所以， 所以 所以 所以， 所以，矛盾. 所以假设不成立， 所以数列 不是单调递增数列. （3） 若， 因为，， 所以 因为，又，所以， 所以，， 所以， 因为，所以 所以，即 因为，且 所以 所以 所以 即，所以， 又所以， 此时 ，矛盾 所以不存在，使得 . 【解析】 【分析】（1）由递推公式逐项计算； （2）假设数列单调递增，由递推公式得到，得到，再由借助单调性说明，发现矛盾即可求证； （3）由递推公式可得：进而说明，找到矛盾，即可解决问题. 【小问1详解】 ，，，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：由递推公式求某一项，常用思路，利用代入法，逐项计算；证明一个以否定结论出现的命题时，一般思路为正难则反，即可考虑反证法.对于是否存在性的问题，一般思路，假设存在，在已知条件的基础上推出矛盾的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $