精品解析：湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

株洲市二中2024年下学期高二年级升学考试 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ） A. 20 B. C. 0 D. 24 3. 在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 4. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，，，则 A. ②③⑤ B. ①②⑤ C. ④⑤ D. ①③ 5. 已知点关于直线对称的点在圆：上，则（ ） A. 4 B. C. D. 6. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（ ） A. 甲：中位数为2，众数为3 B. 乙：总体均值为3，中位数为4 C. 丙：总体均值为2，总体方差为3 D. 丁：总体均值为1，总体方差大于0 7. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. 直线与所成的角不可能是 B. 若，则二面角的平面角的正弦值为 C. 当时， D. 当时，点到平面的距离为 8. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的对称中心为 B. 若，则的最大值为 C. 若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为 D. 若，则 二、多选题 9. 下列四个命题中，是真命题的是( ) A. ∀x∈R，且x≠0，x＋≥2 B. ∃x∈R，使得x2＋1≤2x C. 若x＞0，y＞0，则≥ D. 若x≥，则的最小值为1 10. 设复数的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题错误的是（ ） A. B. 若，则在复平面内对应的点位于第二象限 C. 是纯虚数 D. 若，则的最大值是6 11. 设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（ ） A. 或 B. 关于直线对称 C. 为奇函数 D. 三、填空题 12. 在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则乙获得冠军的概率为________． 13. 已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为________． 14. 定义，设函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知点为圆上的一点，圆心坐标为，且过点的直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）求直线的方程. 16. 2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式．某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分（满分：100，所有人的成绩都在内），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数． 17. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，. （1）证明： ; （2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离. 18. 已知函数，对，有 （1）求的值及的单调递增区间： （2）在中，已知，其面积为，求； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若，求实数的取值范围 19. 已知集合且中元素的个数为．若存在，得为2的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的均为2的正整数指数幂，则称为的强子集． （1）请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由； （2）是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网命组卷网 株洲市二中2024年下学期高二年级升学考试 数学试题 一、单选题 1.已知集合 M={a,blab=16,abeN'y,则M中元素的个数为(） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合M即可得解， M={1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)} 【详解】依题意， 所以M中元素的个数为5. 故选：C 2.已知直线：r+4y-2=0与直线：2x-5y+h=0互相垂直，交点坐标为（L,c）,则a+b+c的值为 () A.20 B.-4 C.0 D.24 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直可求出“的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出C的值，再将公共点 的坐标代入直线？的方程，可得出b的值，由此可得出a+b+C的值 a 2 【详解】已知直线的斜率为4，直线2的斜率为5. a.2 M×=-1 又两直线垂直，则45，解得a=10 第1页/共26页 命学科网命组卷网 :10x+4y-2=0,即5x+2y-1=0 将交点(Lc)代入直线4的方程中，得c=-2。 将交点（-2)代入直线4：2x-5y+h=0的方程中，得b=-12。 所以，a+b+c=10-12-2=-4, 故选：B 3.在4ABC A,B,C ，内角 C,若a=beosC,则△ABC a,b,c 所对的边分别为 的形状一定为() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 【答案】A 【解析】 分析】利用余弦定理将4=bcos C化为a=b.+B2- 2ab ,然后化简可得答案 【详解】a=bcosC, 由余弦定理可得0=6.心+6-c 2ab,,则2a2=a2+b2-c2, 则a+c2=b2 所以△ABC 直角三角形 故选：A 4设m, 是两条不同的直线， ,B,/是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（） mca,n/la m,n ally,Blly al/B ①若 ,则“为异面直线②若 ,则 m⊥a,n⊥B,m/1na⊥B ③ m1R,mL,a1B.则aLy④若 ,则 ,则 回若La,n1IB.aB.则Ln A.②③⑤ B.①②⑤ C.④⑤ D.①③ 第2页/共26页 命学科网 组卷网 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确： a⊥Ba⊥Y 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得 B∥Y ,再根据 ,可得 ，故③正确： 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误， 对O:若/B,aB则存在mc“且m1n, 因为l⊥a,mca,所以1⊥m,又因为m//n,所以l⊥n,故⑤正确， 故选：A, 5.已知点P(0,-)关于直线x-y+1=0对称的点2在圆C,x+广+mr+4=0上，则m=《) 9 9 A.4 B.2 C.-4 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】设(a,b),利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可 (b+1二1 a-0 【详解】设 ,则a+0b-1 g(a,b)22 +1=0’解得 a=-2b=1 9 m= 因为Q在C上，所以4+1-2m+4=0,解得2，经检验，符合题意 故选：B 6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10 天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合 该标志的城市是() 第3页/共26页 6学科网列组卷网 A.甲：中位数为2，众数为3 B.乙：总体均值为3，中位数为4 C.丙：总体均值为2，总体方差为3 D.丁：总体均值为1，总体方差大于0 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例排除ACD三个选项，根据方差的计算判断C选项正确： 0,0,1,1,2,2,3,3,3,8 【详解】A选项，数据可以为“ ”,不符合该标志： B选项，数据可以为0,0,114,4,44,4,8 ，不符合该标志： C选项，总体均值是2时，只要出现超过7人时，方差就大于3，故C正确： D选项，数据可以为0,000,00,00,010，不符合该标志 故选：C 7如图，在棱长为2的正方体MBCD-4B,CD中，P为线段BC上的动点，则下列结论错误的是( A D B C D 二=D A.直线AP与BD所成的角不可能是6 B若BP-C 5 则二面角B-AP-B的平面角的正弦值为6 C当BP=2PC时，AP-2YM4 3 2 D.当BP=2PC时，点D到平面ABP的距离为3 第4页/共26页 6学科网 命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结 合同角的三角函数基本关系式计算后可判断B的正误，利用空间中的距离公式计算CD后可判断它们的正 误， ZA C B 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,0)，B(2,00),C(2,2,0),D(0,2,0, 4(0,0,2),B(2,0,2),C(2,2,2),D(0,2,2) 对于A,设BP=BC=4(02,-2)=(0,24,-2)0≤1≤），故P(2,24,2-2) 故4P=(2,24,-21）,而BD=(-22,0) BD·AP 4-4t 段直线4P与BD所成的角为p则O BD AP 2W2×V4+412+4t2, 4-4t 5 若直线4P与BD所成的角是6，则2√2x√4+87 2 整理得到：4+4+1=0，此方程在[0，]上无实数解， 个 故直线AP与BD所成的角不可能是6，故A正确 第5页/共26页 6学科网6组卷网 对汗8，当P-写C箭合A分折时P2号) 女即(0号).面队=202.陵北时平宿AB到法同楼为=(a. iBP=0 2b+ c=0 3 则{a-4=0即2a+2c=0取a=16=-2c=1薇n=1-2,) 即 ,’则 又4-号引.4码=200.皮平预4网P的法向为5=似. 22 n.4P=02u+2v- w=0 即 33 则n4B=02w=0 ，取，则 =14=0'w=1故5=(0,1) -15 33 故o5(6,)）=、6×N2一6，放二面角B-4P-B的平面角的正张省为6，敬B错误 对时，当8r-2C时.B的分折62引.表亚-（引.位 4+ A= 0V56_2W14 933,故C正确 而BM=(-2,02）,设平面ABP的法向量为m=(xy2) 42 mP=03y+32=0 3 m=002+2z=0取=2则y=z=2数m=2-l2) 第6页/共26页 6学科网6组卷网 m:D4_2 又D4=(0,-2,0),故D,到平面4BP的距离为网3，故D正确 故选：B, 8.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义 1-cos0 versin 1-sin coverse 为角的正矢，记作 ；定义 为角的余矢，记作 ，则下列命题正确的 是() A画数)=wm-ovem1阔中6去（红小eZ B.若8(x)=versincov-1,则8()的最大值为V2+1 若x)=versin2x-Cov ersx+1ha)=1目0<a<2,则圆心角为a,半径为3的扇形 4π 为3 versinx-l√2 covers3x-1 1 D.若cov ersx-1 2,则coversx-13 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义，把新函数转化为熟悉的三角函数，再分析它们的有关性质即可 【详解】对A:f()=versin-coversx+l=1-cosx-(1-sinx)+l=sinx-cosx+1 =2sinx- 4 三，kZ分三标40 由x-4 子e7,所队马f回的对特中为红+剖ke乙故A错 第7页/共26页 命学科网命组卷网 误： B:g(x)=versinx-coversx-1-(1-cosx)(1-sin x)-1-sin x.cosx-cosx-sinx. 设c01,则e-2.可.且mos= 2-1 号1.2同 2 2 1 当1=-2时，ymr=V2+2故B错误： C:()=versin 2x-cov erx+1-1-cos2x-(1-sin x)+1-sinx-cos2x+ 因为AMa=10<a<径，新咖a--2sna+1=1与2na-s如a+=0 ina= 所以 2→ 6. IxIx3-3 所以圆心角为，半径为3的扇形的面积为：26 4,故C错误； versinx-1√2 cosx2 对D:由Cov ersx-12→sinx2→tanx=V2→sn2xs 3 cov ers3x-1_sin 3x3sinx-4sin'x 所以coversx-1 sinx snF=3-4sin2x=3-4×子{ 33,故D正确 故选：D 二、多选题 9.下列四个命题中，是真命题的是() 1 A.x∈R,且x≠0，x+x≥2 B.x∈R,使得x+1≤2x 第8页/共26页 6学科网6组卷网 x2+y2 2xy C.若x>0,>0,则V2≥x+y x2-4x+5 D.若x≥2，则2x-4的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式即可逐项判断求解 【详解】对于A,x∈R,且x≠0，x+≥2 x对x<0时不成立： 对于B,当x=1时，+1=2,2x=2,+1≤2x成立，正确： 2+y≥2y 对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)x+y)2≥2y4y=8x2y2,化为V22x+y,当且仅当 x=y>0 时取等号，正确： “5-北-小 22,·x-2>0, %-2=、1 当且仅当 x-2,即x=3时取等号 第9页/共26页 6学科网命组卷网 故y的最小值为1. 故选：BCD 10.设复数z的共轭复数为z,1为虚数单位，则下列命题错误的是() A.2= B.若z=cos2+isin2,则z在复平面内对应的点位于第二象限 2-i C.a 1+2i是纯虚数 D.若2-3+4州=1，则的最大值是6 【答案】AB 【解析】 cos 2<0,-sin 2<0 【分析】A选项，举出反例；B选项，先求出共轭复数，由三角函数性质得到 ,确定 所在象限；C选项，利用复数除法法则化简，得到C正确；D选项，由复数模长的几何意义确定其轨迹， 从而确定的最大值 【详解1A选项，设2=2+i,则2子=(2+旷=4+4i+=3+4=2+1P=5,故2≠，A错 误； 2E B选项，=c0s2-2,因为2元 所以cos20,sin2)0→-sin2<0,则z在复平面内对应 的点位于第三象限，B错误； 2-i_(2-i01-21）_2-4i-i+22 C选项，21+2i(1+21)1-2i) =-i 5 ,为纯虚数，C正确： D选项，若2-3+41=1 则2的几何意义为到点（③，4）的距离为1的圆上的点， 此圆上的点到原点的距离最大值为圆心（③，4）到原点的距离加上半径1， 第10页/共26页 6学科网列组卷网 故的最大值为V(3-0+(4-0)+1=6,D正确 故选：AB 1.设a为正实数，定义在R上的函数f(✉满是f(0)+f(@)-=L,且对任意的，y∈R,都有 f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x) 成立，则() Afa)-i或fao)-l B.f(x)关于直线x=a对称 Cf()为奇函数 D.J(x+4a)=f(x) 【答案】ABD 【解析】 【分析】采用赋值法可判断选项A,B,C;根据函数周期性可判断选项D 【详解】因为对于任意的xyeR,都有(x+)=f()/(a-)+f)f(a-习成立， 令x=ay=0 代入可得fa=faf@+f0f0) 白因为0)+f)-=1,联这可药@ =2或f(@)=1,故A正确： 令y=a,代入可得x+o)=ff0+f@fa-为， 当f(a=lf(o)=0时，有f(x+0)=f(a-), 则f(0关于直线x=a对称， 当o-分a-t.6fx*o)-fefa-) 再令y=0,代入可得f四=ff(a+f0fa-0,得f)=f(a-x), 第11页/共26页 命学科网命组卷网 所f+a)-2f(a-刘+)f(a-)=fa-) 即()关于直线=a对称。 综上所述，()关于直线x=a对称，B正确： 当0-分a)-黄，令y=-,入可病70=f++1a-. 又因为f的=fa-),所以f-)=fa+为 根据B选项，f(x+a)=f(a-),所以f)=-, 故（四）为偶函数，故C错误 由上面可得，f(x+2a-=f(x+a)+a)=fa-(x+a》=f-x)=f) 所以f(x+4a)=f(x+2a)-f四，故D正确 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：采根据已知条件对任意的 xy∈R 都有 f(x+)=f(,)f(a-y)+f()f(a-)成立，用赋值法可得函数性质，从而判断选项 三、填空题 12.在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”.若在每局比赛中甲获胜的概率为4，乙 获胜的概率为4，则乙获得冠军的概率为」 27 【答案】32 第12页/共26页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】根据三局两胜制中，乙获得冠军有两种情况，第一乙两局都获胜，第二是前两局乙获胜一局，第 三局乙获胜，根据分类原则得到两类结果相加即可求解， 339 【详解】若两局决出冠军，则乙获得冠军的概幸八4×4 4416: 133.31.39 若三局决出冠军，则乙获得冠军的概率44×4十4X4432: 9,927 则所求概率为163232. 27 故答案为： 32 16π 13.已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为3，则圆锥的高为 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的特征，再找到球心的位置，再结合勾股定理得出高 S 【详解】 设圆锥高SO=m,而母线SA=2,在Rt△S0A中，则OA=VSMP-AO2=V4-m2, 设圆锥外接球的半径为R,显然外接球的球心为O在高 0上， 球心0到底面圆心Q的距离00=m-R,由4R2-1 3,得Rs25 3, 第13页/共26页 6学科网 命组卷网 因此4-m2+ 232 m- 3 3解得m=3所以s0长为5 故答案为： 5 l4定义min{a,b}= b,a≥b a,a<b 设函数f树=mi血如Ox..cso(o>0):若两藏在受上 单调递减，则实数0的取值范围是一 3 2] 【答案】 【解析】 ππ 【分析】先考虑g(c)=min{sinx,cosx的单调减区间，再根据f)在)'2上单调递减可得m满足的 不等式组，从而可求其取值范围 【详解】令8()=min{sinx,cosx,则8(x+2m)=8(:),故8()的周期为2元， sinx,0≤xs或5sx≤2元 时，8(x)= 44 又当 cosx,4 5π x∈[0,2m] <x< 4 8(x)的减区间为4 +2km,元+2km π元 当x32, +2m≤r<0 ≤π+2km 故存在k∈Z,使得4 3 2 5L+2km<or<0m≤3n+2km 或 322 第14页/共26页 6学科网命组卷网 3 6k+二≤0≤4k+26k 4 或 +15≤0≤4k+3 4 (无解，舍)， 5 0≤k 而0>0，故 8,故k=0, 21 故实数0的取值范围是 故答案为： 四、解答题 15 15己知点22为圆C上的一点，圆心C坐标为(L,0)且过点4的直线，拨网c截得的弦长为 √5 (1)求圆C的方程： (2)求直线1的方程 【答案】(1)x-)2+y2=1 (2) X= 2或x+V3y-2=0 【解析】 【分析】(1)根据题意求出”=C4, 从而可求出圆的方程： (2)根据已知条件求出圆心C到直线的距离，然后分直线！的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况 讨论求解即可。 【小问1详解】 第15页/供26页 命学科网组卷网 则圆C的方程为： (x-102+y2=1 【小问2详解】 因为圆C的半径为1， 所以当直线，与圆相交所得的弦长为5时，圆心C到直线，的距离为 2 n1:x=。 当直线的斜率不存在时，直线 2,此时圆心C到直线的距离为2，满足题意 即2x-2y+V3-k=0① 2k+0+3-k1 则V(2k)2+(-2)2 2,解得k=-3 3 代入①得：x+V3y-2=0 1 x= 综上，直线1的方程为2或x+V3y-2=0. V 16.2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式.某校抽取100名学生进行了大运会知识 竞赛并记录得分《满分：10，所有人的成绩都在[40,10]内)，根据得分将他们的成绩分成 第16页/共26页 命学科网命组卷网 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)-[90,100六组，制成如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 0.030------ 0.025 0.020 a 0.005- 0405060708090100成绩/分 (1)求图中a的值； (2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数. 【答案】(1)a=0.015 220 (2)平均数72分，众数约为75（分），中位数为3（分） 【解析】 【分析】(1)由所有频率之和为1列方程即可求解： (2)由频率分布直方图中平均数、众数以及中位数的计算公式直接计算即可求解. 【小问1详解】 由慰意知0.05+a+0.020+0.030+0.025+0.005)x10=1,即0.085+a=0.1,存a=0.015. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为 45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05=72 (分). 70+80=75 众数约为2 (分)· 前3组的频率为0.05+0.15+0.2=0.4，前4组的频率为0.05+0.15+0.2+0.3=0.7， 所以中位数为 又◇。5.84×。7。士一22◇ 33(分). 第17页/共26页 可学科网命组卷网 17.如图，在直四棱柱 BCD-4BCD中，底面四边形MBCD为梯形，MD1BC,AB=AD=2, BD=22,BC=4 D (1)证明： AB,⊥AD 6 (2)若直线AB与平面BCD,所成角的正弦值为6，点M为线段BD上一点，求点M到平面 BCD 的距离 【答案】(1)证明如下： 因为AB=AD=2,BD=2√2 所以AB+AD=8=BD,所以AB1AD, 因 ABCD-AB,CD,为直四棱柱， 所以4ALAB 因为41nMD=A,44ADC平面1DD4, 所以AB⊥平面ADDA 因为AB1/ B,所以4B上平面DDA, 因为DC平面DDA,所以48上D 第18页/共26页 6学科网 6组卷网 26 (2)3 【解析】 【分析】(1)因为AB/AB 因此只需证明AB1平面AD0A,只瑞证 AB⊥A4 (由题可证)， AB⊥AD,由勾股定理易证. 6 (2)建立空间直角坐标系，先由直线AB与平面B,CD,所成角的正弦值为6，求出AA,再证明 BD/平 BCD,由此得点M到平面 B.CD 的距离等价于点B到平面B,CD 的距离，再由点到平面的 距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)及题意知， AB,D,4A两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 因为4B=AD=2,BD=22,BC=4设4M=hh>0) 所以40,0,0，B20,0,20,,C24,0,D(0,2,D0,20 所以AB=(20,0),CB=(0,-4,),CD=(-2,-2,),BC=(0,40,BD=(-2,2,0 设平面B,CD的一个法向量为n=(伍，水2) 第19页/共26页 命学科网命组卷网 i.CB =-4y+hz=0 则n.CD=-2x-2y+hz=0 令2=4，则=y=h ,n=(h,h,4) 所以 设直线AB与平面BC 所成的角为日， 则si加6=cos AB-n 2h 6 AB2×V2h+16 6, 解得h=2,所以n=(2,2,4) BC-n 8 26 所以点g到平面BCD的距离为d= 2√63 因为BDi=-2×2+2x2+4x0=0,所以BD1n 因为BD不在平面B,CD,所以BD/平面BCD, 2V6 因为M在线段BD上，所以点M到平面B,CD,的距离等价于点B到平面B,CD,的距离，为 26 故点M到平面BCD,的距离3· e已段()-n2ep-o2a径+p0<州引.对v:eR,有as周 (1)求P的值及)的单调递增区间： (2)在△ABC中，已知a=4f(B)=l,其面积为5V5,求b: (3)将函数y=∫(x)图象上的所有点，向右平移24个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变， 第20页/共26页 6学科网命组卷网 横坐标变为原来的2倍，得到函数y=8(y)的图象，若3x∈0，可，v2g(✉)+sin2x≤2m-3m,求实 数m的取值范围 【答案】(1)p=-乃 (2)b=V21 【解析】 【分】)化商得到f)=sm2x+p,根指对xeR有)s[) 求出p=- 6 整体法求出函数单调递增区间： 3)先根据干移和你前变装得到8()=血一香。分离专数 3r∈[0，，sinx-cosx+2 sin≤2m-3m,令sinx-cosx=t,则1e[-l,V5]。 ,换元得到 1∈[-l,2],-+1+1≤2m-3m,求出-？+1+1最小值为-1，得到不等式，求出答案 【小问1详解】 f(x)=sin2xcosp-cos2xcos sin2xcos+cos2xsinp=sin(x+) 对R有/引)(+ 第21页/共26页 6学科网命组卷网 2π 所以3+P=。+阮，k∈Z 2 乙，解阳P=+饥kE乙 6 因为 0<四<2，故只有当k=0时，满足要求，故0=~” 1-sm2x-8.g+2as2-名经2eZ. +km≤x≤T+k,keZ 解得6 3 f(x)的单调递增区间为L6 【小问2详解】 k为8e0.28-司云5）.数28-君 62,解得B=7 3 a=4成m2csn8=55,前2c5-5v 2 ,解得c=5 b2=a+c2-2 ac cos B=16+25-2×4×5×-=21 由余弦定理得 2 故b=V21 【小问3详解】 y=回图家上的有点，向右移音个年位后，利到=m2x名=m2x-到 再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原米的2倍。符到3()=血x一星)】 第22页/共26页 6学科网命组卷网 ..Zsin)+sin2x s2mm 即3x∈[0，]，sinx-cosx+2 sin xcosx≤2m2-3m 令snx-os=1,则=5sn-4[-l2] 2sin xcosx=1-(sinx-cosx)=1-2 故3t∈[-l,v2],-子+1+1≤2m2-3m, 我中+141-气-+子当，-队：子4141k装面小值 所以-1≤2m2-3m,解得m21或m≤) 故实数m的取值范围为 U.) sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx 【点睛】关键点点睛： 三者的关系如下： (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx (sinx-cosx)2=1-2sin xcosx (sinx+cosx)-(sinx-cosx)=4sinxcosx 当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决 19.已知集合A=儿，2,3，，n(neN,n23),WcA且W中元素的个数为m(m≥2).若存在u, veW(仙≠)得u+v为2的正整数指数幂，则称W为A的弱P（m)子集；若对任意的 5,1∈W(≠)，8+1均为2的正整数指数幂，则称W为A的强P(m)子集」 第23页/供26页 6学科网命组卷网 1)请判断失合所=L2,3}和%=23,4是否为A的P3)子集，并说明理由： (3) (2)是否存在A的强 子集？若存在，请写出一个例子：若不存在，请说明理由： (3)若n=11,且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱P(m）子集，求m的最小值。 【答案】(1) 所是A的弱P③)子集，%不是A的弱P③)子集 理由如下： 1+3=2,所中存在两个元素的和是2的正整数指数器，所以所是A的弱P③)子集 2+3=5,3=4=7,2+4=6,m,中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂， 所以所不是4的弱P③)千集. (2) 不存在4的 P(3) 子集. 理由如下： 假设存在A的强P3)子集W={a,bc,不妨设a<b<c,a6,c为正整数， a+6=2,a+c=2,b+c=2,则k<店<，6，k为正整数，k≤东-1 则b=24-a,c=2-a,f代入b+c=2中， 所以a=24+251-21<251+251-25=20-251≤0 所以a<0 与“为正整数矛盾，所以不存在4的强 (3) 子集 (3)8 【解析】 【分析】山根据4的强P(m）子集的定义，即可容易求得： 第24页/供26页 6学科网命组卷网 (2)利用反证法假设存在A的强P3)子集甲={a,bc,设a<b<Ca,b,c为正整数。 a+b=25,a+c=2,b+c=2,则b=2-a,c=2为-0，代入化简得 a=24+201-251<201+21-2的1=2-2≤0，与0为正整数矛盾，证明不存在4的强 P(3) 子集 3)设4=13列，4={5,1,4={6,10以，A={7,9%,B={2,B={4,B={8 若P不是A的弱P(m子集，可有W最多能包含4,4,4，A中的一个元素以及B,B,B中的元素，一 共7个元素，令%={3,1山，10,92,4,8}，形中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，得%不是A 的弱 子集，分类讨论当m≤7和m≥8 时，不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小 值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设4=L3,4={5,1,4={6,10%,4={7,9%,B={2,B={4,B={8y 若P不是A的弱Pm子集， 则W最多能包含4,4，：4中的一个元素以 B,B,B中的元素，一共7个元素， 令所=3,1山，10,924,8，中任意两个元素的和都不是2的正整数指数系， 所以”不是4的 第25页/供26页 6学科网命组卷网 P(7)子集，当m≤7时，W的任意一个元素个数为m的子集都不是A的弱P(m)子集， 当m之8时，4，，4,4中至少有一个集合是W的子集， 此时W中一定存在两数之和为2的正整数幂， 即A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱P(m)子集，所以m的最小值为8， 【点睛】本题主要为集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用 证明方法：反证法和分类讨论法 第26页/共26页