精品解析：湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

6学科网列组卷网 株洲市二中2024年下学期高二年级升学考试 数学试题 一、单选题 1.已知集合M={(a,b)ab=l6,a,b∈N},则M中元素的个数为() A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合M即可得解， M={(116),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)} 【详解】依题意， 所以M中元素的个数为5. 故选：C 2.已知直线：ax+4y-2=0与直线l2:2x-5y+b=0互相垂直，交点坐标为(1，c),则a+b+c的值为 () A.20 B.-4 C.0 D.24 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出C的值，再将公共点 的坐标代入直线？的方程，可得出b的值，由此可得出a+b+C的值. 2 【详解】已知直线1，的斜率为4，直线，的斜率为5 a 2 又两直线垂直，则-4×5-1，解得a=10 45 4:10x+4y-2=0,即5x+2y-1=0, 第1页/共25页 6学科网列组卷网 将交点1，c)代入直线4的方程中，得c=-2, 将交点(1，-2)代入直线12：2x-5y+b=0的方程中，得b=-12. 所以，a+b+c=10-12-2=-4. 故选：B. 3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若a=bcosC,则△ABC的形状一定为() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理将a=bcos C化为a=b.a2+b2-c2 2ab,然后化简可得答案. 【详解】 a=bcosC 由余弦定理可得0=b.4+h2-c2 2ab，则2a2=a2+b2-c2, 则a2+c2=6 ,所以△ABC为直角三角形 故选：A. 4设 “是两条不同的直线， Q,B,Y是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（） ①若mca,n/1a ’则 ,”为异面直线②若a/,B1?,则a/B ③若LB.mLy,a1B 则a1y ④若m上a,nLB,m/n,则LB ⑤若1a,n1/B,/B,则Ln A.②③⑤ B.①②⑤ C.④⑤ D.①③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误： 第2页/共25页 6学科网列组卷网 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确： 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得B∥7，再根据1B,可得“1Y,故③正确： 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若n/B,a1/B,则存在mca且mn, 为10，mC“,所以山m,又因为m∥n,所以山”，故⑤正确， 因为 故选：A. 5.已知点P0,-关于直线-y+1=0对称的点2在圆C:x2+y2+mr+4=0上，则m=（) 9 9 A.4 B.2 C.-4 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】设Qα，b),利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可. b+1 =-1 a-0 【详解】设 ,则a+0b-1, 9(a,b)[22+10’牌得 a=-2b=1 9 因为Q在C上，所以4+1-2m+4=0,解得m=2,经检验，符合题意 故选：B 6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10 天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合 该标志的城市是() A.甲：中位数为2，众数为3 B.乙：总体均值为3，中位数为4 C.丙：总体均值为2，总体方差为3 D.丁：总体均值为1，总体方差大于0 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例排除ACD三个选项，根据方差的计算判断C选项正确. 第3页/共25页 6学科网列组卷网 【详解】A选项，数据可以为 0.0,11,2,233,38,不符合该标志： B选项，数据可以为“0,0,1,1,4,4,4,4,4,8”，不符合该标志； C选项，总体均值是2时，只要出现超过7人时，方差就大于3，故C正确： D选项，数据可以为000,00,0,00,010”，不符合该标志 故选：C 7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，P为线段BC上的动点，则下列结论错误的是( A D C -P- D 2 A.直线AP与BD所成的角不可能是6 .BP-IBC 5 B. 3 则二面角B-AP-B的平面角的正弦值为 C当BP-2PC时，AP=24 3 2 D.当BP=2PC时，点D到平面ABP的距离为3 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结 合同角的三角函数基本关系式计算后可判断B的正误，利用空间中的距离公式计算CD后可判断它们的正 误，· 第4页/共25页 6学科网列组卷网 A D C B 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则4(00,0)，B(20,0),C(22,0),D(0,2,0, A(0,0,2,B(2,0,2),C(2,2,2,D(0,2,2), 对于A,设BP=BC=0,2,-2)=(0,24,-2(0≤1≤1，故P(2,2x,2-21. 故AP=(2,2,-21,而BD=(-2,2,0), BD·AP 4-4t 电线4P与。所成的角为，心o5A、 BD BD AP 22×V√4+412+4f2, 4-4t 若直线4P与BD所成的角是名，则25xN4+, 整理得到：42+4+1=0，此方程在0，上无实数解， π 故直线AP与BD所成的角不可能是6，故A正确。 对B,当-写风c,价A分12号引】 我BP0,3，西BA20,2,设此时平面4BP的法向宽为万三abC。 2b+1 4 i·BP=0 则 即33e=0 -所=0即a+2c=0取。=16-2'0=1故元=1，-2刘 ，故 第5页/共25页 6学科网列组卷网 又4平=2号引.码-20，投平面aP的法向量为=么网， .22 元·4P=0 2u+三v-2w=0 则1 33 即 i·4B,=02u=0 ，取 则 ,故 v=14=0w=1's=(01,1 -1√5 V33 故os(5,)=6×V2一6，故二面角B-4P-B的平面角的正弦值为6，故B错误 对于C.当®P-20C.又的有P2引.黄P-(2引.数 4+20-562V4 9 3 3,故C正确。 对于山，当月P-2C时结合A中分新可阳号黄2号引. 42 而BA=(-2,02),设平面4BP的法向量为m=(x八2， 4.2 mBP=0 y+ z=0 3 则 m5以-0即2x+2z=0取-2则-1-2故m=-2,12到 即 ，则 。’故 m·DA2 又D4=(0,-2,0),放D到平面4BP的距离为m3,故D正确. 故选：B. 8.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义 1-cos0 为角”的正矢，记作sin6.定 0 定义 为角”的余矢，记作Cov ers0 -sin0 ,则下列命题正确的 是() A.函数fx)=ver sinx-cov ersx+l的对称中心为 第6页/共25页 6学科网列组卷网 B.若8（刘=versinxo-l,则8(）的最大值为V2+1 C若=grsn2x-01,创a=10<a<受则周心角为，半径为3的期形省面货为 4π 3 versinx-1 v2 covers3x-1 1 D.若cov ersx-12，则cov ersx-13 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义，把新函数转化为熟悉的三角函数，再分析它们的有关性质即可. 【详解】对A:f)=rsn-coV+1=1-cosx-(1-sin)+l=sinx-cosx+1 +1 由 4 =k,k∈Z→tEm+死 4，k∈Z,所以函数f(x的对称中心为 a+keZ. 4 故A错 误： B:g(x)=versinx.coversx-1=(1-cosx)(1-sin x)-1=sinx.cosx-cosx-sinx. 设sinx+cosx=t,则te[V2,V],且sinx:cosr=1 2, a号.-2.问 2 2 当1=-V2时，ym=5+2故B错误： C:(=versin 2x-coversx+1=1-cos 2x-(1-sinx)+1-sin x-cos2x+1. 第7页/共25页 6学科网列组卷网 因为ia个=1h0ca<至.所以sna-1-2snal+1=1与2sina-l以s如a+l=0, 所以sina=2→9 a= 6. x32=3如 所以圆心角为《，半径为3的扇形的面积为：26 4,故C错误； versinx--l√2 cosxv2 对D:由CoV ersx-L2→Sinr2→tanr=V2=sin2x=2 3 covers3x-1 sin 3x3sin x-4sin'x 所以cov ersx-1sinx sinx =3-4sin2r-3-4×2-{ 33,故D正确， 故选：D 二、多选题 9.下列四个命题中，是真命题的是() A.x∈R,且x0,x+x≥2 B.3x∈R,使得x2+1≤2x x2+y2 2xy C.若x>0,y>0,则1V2≥x+y 5 x2-4x+5 D.若x≥2，则2x-4的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式即可逐项判断求解。 .1 【详解】对于A,x∈R,且x≠0，x+≥2 对x<0时不成立： 第8页/共25页 6学科网列组卷网 对于B,当x=1时，X+1=2,2x=2,r+1≤2x成立，正确： x2+y2、2xy 对于c,若x>0,y>0,则(x2+y2）(x+y)≥2y.4y=82y2,化为1V2 x+y,当且仅当 x=y>0 时取等号，正确： 对rw小2 5 :t> 2,.x-2>0, x2小2]小3y 1 ,x-2= 当且仅当x-2,即x=3时取等号. 1. 故的最小值为 故选：BCD, 10.设复数z的共轭复数为z，i为虚数单位，则下列命题错误的是() A.22= B.若2=cos2+isin2 2 则在复平面内对应的点位于第二象限 2-i c21+2i是纯虚数 D.若2-3+4州=1，则的最大值是6 第9页/共25页 6学科网命组卷网 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，举出反例：B选项，先求出共轭复数，由三角函数性质得到cos2<0,-sin2<0,确定 所在象限；C选项，利用复数除法法则化简，得到C正确；D选项，由复数模长的几何意义确定其轨迹， 从而确定的最大值， 【详解】A选项，设z=2+i,则2=(2+=4+4i+=3+4i,=2+1P=5,故2≠，A错 误： B进项豆=6os2-n2,因为2c(3 所以cos2(0,sin2)0→-sin2<0,则z在复平面内对应 的点位于第三象限，B错误： C选项， 品2， =-i 5 为纯虚数，C正确： D选项，若上-3+4州=1，则z的几何意义为到点3,4)的距离为1的圆上的点， 此圆上的点到原点的距离最大值为圆心(3，-4)到原点的距离加上半径1， 故2的最大值为V3-02+(-4-0)2+1=6,D正确. 故选：AB 1L.设a为正实数，定义在R上的函数fx满足f0)+f(a=1,且对任意的x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)成立，则() Afa-2或fa=-l B.fx)关于直线x=a对称 C.f八)为奇函数 D.f(x+4a)=f(x) 【答案】ABD 第10页/共25页 株洲市二中2024年下学期高二年级升学考试 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ） A. 20 B. C. 0 D. 24 3. 在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 4. 设是两条不同直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，，，则 A ②③⑤ B. ①②⑤ C. ④⑤ D. ①③ 5. 已知点关于直线对称的点在圆：上，则（ ） A. 4 B. C. D. 6. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（ ） A. 甲：中位数为2，众数为3 B. 乙：总体均值为3，中位数为4 C. 丙：总体均值2，总体方差为3 D. 丁：总体均值为1，总体方差大于0 7. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ） A. 直线与所成的角不可能是 B. 若，则二面角的平面角的正弦值为 C. 当时， D. 当时，点到平面的距离为 8. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的对称中心为 B. 若，则的最大值为 C. 若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为 D. 若，则 二、多选题 9. 下列四个命题中，是真命题的是( ) A. ∀x∈R，且x≠0，x＋≥2 B. ∃x∈R，使得x2＋1≤2x C. 若x＞0，y＞0，则≥ D. 若x≥，则的最小值为1 10. 设复数的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题错误的是（ ） A. B. 若，则在复平面内对应的点位于第二象限 C. 是纯虚数 D. 若，则的最大值是6 11. 设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（ ） A. 或 B. 关于直线对称 C. 为奇函数 D. 三、填空题 12. 在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则乙获得冠军的概率为________． 13. 已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为________． 14. 定义，设函数，若函数在上单调递减，则实数取值范围是______. 四、解答题 15. 已知点为圆上的一点，圆心坐标为，且过点的直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）求直线方程. 16. 2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式．某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分（满分：100，所有人的成绩都在内），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及中位数． 17. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，. （1）证明： ; （2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离. 18. 已知函数，对，有 （1）求的值及的单调递增区间： （2）在中，已知，其面积为，求； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若，求实数的取值范围 19. 已知集合且中元素的个数为．若存在，得为2的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的均为2的正整数指数幂，则称为的强子集． （1）请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由； （2）是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $