精品解析：北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题

房山区2024年新高三入学测试试卷 数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与直线相切，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 的展开式中的常数项为　　 A. B. C. 6 D. 24 6. 设向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的八条棱长均为4，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（） A. 1 B. C. 4 D. 9. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 10. 已知集合，是集合表示的平面图形的面积，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线的准线方程是_______ 12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们终边关于轴对称．若，则______． 13. 已知函数若，则______；若在上单调递增，则的一个值为______． 14. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好经过点（图2），设正四棱柱的高为，正四棱锥的高为，则______． 15. 古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，给出下列四个结论： ①数列的一个通项公式是； ②2025既是三角形数，又是正方形数； ③； ④，总存．使得成立． 其中所有证确结论序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在锐角中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点． （1）若为的中点，求证：平面； （2）若．求平面与平面夹角的余弦值． 18. 某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表： 产品等级 一等品 二等品 三等品 样本数量（件） 50 30 20 （1）从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率； （2）若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为．求的分布列和数学期望； （3）为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？ 19. 已知椭圆的一个顶点为．焦距为．过点且斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线与轴垂直，求的值． 20. 已知函数，直线为曲线在点处的切线． （1）当时，求出直线的方程； （2）若，求的最小值； （3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围． 21. 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． （1）若数列，求集合，并写出的值； （2）若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”； （3）已知数列，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 房山区2024年新高三入学测试试卷 数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解并判断即可. 【详解】集合，所以. 故选：A 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程公式即可得到答案. 【详解】双曲线中，则， 故其渐近线方程为. 故选：B. 4. 已知圆与直线相切，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，结合圆的切线性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 依题意，. 故选：D 5. 展开式中的常数项为　　 A. B. C. 6 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项． 【详解】解：二项式展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故选：D 6. 设向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂直关系的坐标表示，结合充分条件、必要条件判断即得. 【详解】向量，则，解得或， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 7. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简函数解析式，由条件确定函数的周期，结合周期公式求. 【详解】由已知， 因为函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于， 所以函数的最小正周期为，又， 所以，故. 故选：B. 8. 已知正四棱锥的八条棱长均为4，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可知的轨迹为以为圆心，1为半径的圆以及圆内的点，利用圆的面积求解即可. 【详解】设顶点在底面上的射影为，连接，则为正方形的中心，如图. 易知,故. 因为当时,, 所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆以及圆内的点， 而正方形内切圆的圆心为，半径为， 故的轨迹在正方形内部，因此表示的区域面积为. 故选：B. 9. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 【答案】C 【解析】 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 10. 已知集合，是集合表示的平面图形的面积，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合，的元素满足的条件，找出所对应的图形，再借助图形的对称性即可求出面积． 【详解】集合表示平行直线与围成的正方形， 集合， 因此集合表示的平面图形为图中阴影部分， 由图形的对称性知：正方形内阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 所以． 故选：B 【点睛】关键点点睛：正确找出可行域和利用对称性求出面积是解题的关键. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线的准线方程是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上， 所以：，即，所以， 所以准线方程为：， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目. 12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据角关于轴对称的特点即可得到答案. 【详解】因为角与角的终边关于轴对称，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数若，则______；若在上单调递增，则的一个值为______． 【答案】 ①. 0 ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据分段函数，代入求值即可；根据增函数的概念列不等式即可. 【详解】若,则时，,所以; 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 若在上单调递增，只需, 解得， 所以满足条件的的一个值为1. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好经过点（图2），设正四棱柱的高为，正四棱锥的高为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设棱柱的底面面积为，根据题意，结合锥体和柱体的体积公式，分别求得的表达式，即可求解. 【详解】设棱柱底面面积为， 在图1中，可得，所以， 在图2中，可得，所以，则， 所以. 故答案为：. 15. 古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，给出下列四个结论： ①数列的一个通项公式是； ②2025既是三角形数，又是正方形数； ③； ④，总存在．使得成立． 其中所有证确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据给定信息,求出数列的通项,再逐一分析各个选项即可. 【详解】对于①，依题意,数列中,, 于是得,满足上式, 故,故①正确； 对于②，数列中,, 于是得,满足上式, ,令，此方程无整数解；令，解得, 所以2025不是三角形数，是正方形数,故②错误； 对于③，当时，, 当时， 则，故③正确; 对于④, , 取 ， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在锐角中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，求出即可得解. （2）选①，选②，利用正弦定理、和角的正弦公式、三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 在锐角中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 选①，，由（1）知，由正弦定理得， 而， 所以的面积为. 选②，，由（1）知， 由正弦定理得，而为锐角，则， ， 所以的面积为. 17. 已知四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点． （1）若为的中点，求证：平面； （2）若．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点,连接，证四边形为平行四边形,得所以,进而得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，然后利用空间向量求夹角即可. 【小问1详解】 取的中点,连接, 因为点为的中点, 所以, 又, 所以, 所以四边形为平行四边形, 所以, 又平面平面, 所以平面; 【小问2详解】 因为四边形为菱形，，， ，， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系, ， 设平面的一个法向量为 则 令则， 平面平面 ，平面， 所以平面, 所以是平面的一个法向量， 假设平面与平面夹角为， 则. 18. 某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表： 产品等级 一等品 二等品 三等品 样本数量（件） 50 30 20 （1）从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率； （2）若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为．求的分布列和数学期望； （3）为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？ 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可. （2）将非一等品视为整体，利用二项分布求出概率，得到分布列和期望即可. （3）依据题意结合整体法得到不等式，求解概率即可. 【小问1详解】 设概率为，由题意得. 【小问2详解】 首先，我们把二等品和三等品视为一个整体， 则单次抽到一等品的概率为，抽到二等品和三等品这个整体的概率为， 当时，抽到的一定在二等品和三等品这个整体里， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 故分布列见下表， 所以数学期望为， 【小问3详解】 设产品中的一等品率为，故非一等品率为， 所以，解得， 产品中的一等品率至少是. 19. 已知椭圆的一个顶点为．焦距为．过点且斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线与轴垂直，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的基本性质求解方程即可. （2）结合给定条件转化为向量共线问题，得到方程求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的一个顶点为．焦距为， 所以，，所以， 故椭圆的方程为，故离心率为. 【小问2详解】 如图，设的方程为，， 联立方程组，可得， 而， 所以，， 因为，过点和的直线与椭圆的另一个交点为， 所以三点共线，所以，共线， 因为与轴垂直，所以，故， ，故得， 所以， 化简得， 所以 而，所以， ，解得，故的值为. 20. 已知函数，直线为曲线在点处的切线． （1）当时，求出直线的方程； （2）若，求的最小值； （3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的最小值为 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率，再求切点坐标，从而得切线方程； （2）求导数，确定函数的单调性即可确定最小值点，从而可得函数最小值； （3）求出原函数的导函数，得到，再求出，即可得到曲线在,处的切线方程．令，利用三次求导可得时，在上存在零点，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 ，则斜率， 又，则线在点处的切线的方程为； 【小问2详解】 ， 则，令得， 则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以的最小值为； 【小问3详解】 由，得，则， 可得曲线在,处的切线方程为， 即． 令，显然，， 令，则，得， 在上单调递减，在上单调递增． 若，时，，， 则在上单调递增，且，在上无零点，舍去； 若，，时，， 则在上单调递增，在,上单调递减，而时，， 在上存在零点． 故的取值范围是． 【点睛】方法点睛：当一阶导数无法求得函数的单调区间时，可考虑利用二阶导数来进行求解，通过二阶导数的符号来确定一阶导数的单调性、符号，从而确定原函数的单调性. 21. 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． （1）若数列，求集合，并写出的值； （2）若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”； （3）已知数列，求证：． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解； （2）若为等差数列，且是递减数列，得到，结合，证得必要性成立； 再由是递减数列，，得到，由此证明为等差数列，得到充分性成立，即可得证； （3）根据题意，得到，得出，设存在， ，推出矛盾，进而得证. 【小问1详解】 由题意，数列， 可得， 所以集合，所以. 【小问2详解】 必要性：若为等差数列，且是递减数列，设的公差为， 当时，，所以， 则，故必要性成立.         充分性：若是递减数列，，则为等差数列， 因为是递减数列，所以， 所以，且互不相等， 所以， 又因为， 所以且互不相等， 所以， 所以， 所以为等差数列，充分性成立. 所以若是递减数列，“为等差数列”的充要条件是“”. 【小问3详解】 由题意集合中元素个数最多为个， 即，         对于数列，此时， 若存，则，其中， 故，         若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾， 故，故，故由得到的彼此相异，所以. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$