安徽省江淮十校2025届高三第一次联考（一模）数学试题

江淮十校2025届高三第一次联考 数学试题 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条刷码船贴 在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答聚后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂，R。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内。写在试悬、草稿 纸和答题卡上的非答题区城均无效。 4.考试结来后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 若集合5=22lxeR,T=0,2,则Snr等于（） A.{0,1} B.) C.{1,2 D.{0,1,2} 2. 设aeR,2=3+a ,其中i为虚数单位.则“a>1”是“1z卜而”的() i A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若a=h0,b=√血2-n5,c=n√4e,则a、bc的大小关系是（) A.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c 4.已知1b=21a,若a与b的夹角为60°，则2a-b在b上的投影向量为() A. B.-16 c.-36 2 D.36 2 2 5. 定义在R上的函数∫(x)满足f(2x+2)+f(2x)=0,且y=f(2-x)为偶函数，则下列说法 正确的是（) A.函数f(x)的周期为2 B.函数(x)的图象关于x=1对称 C.函数f(x)为偶函数 D.函数f(x)的图象关于x=3对称 6.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC=AB=BC=2√5， AC=2√5，则球0的表面积为（) A.40元 B.20元 3 c.2? D. 2 2π 7.已知函数(x)=nx-mx2+x,若不等式∫(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实 数m的取值范围是() A. 「2+h23+n3y 3+h32+h2 8,9 B 9 4 C. 「3+n32+血2 D 2+h23+h3 94 89 数学试卷（共4页)第1页 8.抛物线y2=2px(P>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为P.过点P作直线与抛物线交于 A、B两点，其中点A在点B的右边.若∠AFP=120,△FAB的面积为√5，则p等于（) A.2V3 B.1 C.2 D.√5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.给出下列命题，其中正确命题为() A.已知数据为、为、名、、x10,满足：为-为1=2(2≤i≤10)，若去掉x、10后组 成一组新数据，则新数据的方差为21 B.随机变量X服从正态分布N,o2),P(x>1.5)=0.34,若P(x<a)=0.34,则a=0.5 C。一组数据(，派=L23456)的线性回归方程为5-2x+3,若之4=30，侧2=6的 D.对于独立性检验，随机变量x的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 10.函数f)=s如(ar+p)的部分图象如图所示，其中一-<p<7,图象向右平移s6∈N)个 单位后得到函数y=8)的图象，且y=8在[子司上单调递减，则下列说正确的是 () A.0=±1 B。=名为图象的一条对称轴 5 C.s可以等于5 D.s的最小值为2 1已知双曲钱C:手-卡=>0>0的左、右焦点分别为不、月，过月的直线！交双曲线 C的右支于A、B两点，其中点A在第一象限.△AFF的内心为I,A山与x轴的交点为P, 记△AFF的内切圆I的半径为：，△BFF的内切圆1，的半径为5，则下列说法正确的有 () A.若双曲线渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为2或 3 B.若A1A,且|8S1-A2a,则双曲线的离心率为@ C.若a=1,b=V5,则5-5的取值范围是(V5,5) D.若直线！的斜率为5，从=21P,则双曲线的离心率为号 数学试卷（共4页）第2页 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知cos2x=cos2(x-),则tanx= 13.现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小踩，第k(k=【,234)个袋中 有k个红球，4-k个白球.现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连峡取出三个 球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为一， 14.以minM表示数集M中最小的数.函数f(x)=cosx·sinx+min{cosx,2sinx(xeR)的最大值 是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图，已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且osA=,a cosC 2b-c (1)求A的值： (2)若c=2b=4,M为边BC上一点，且2BM=3MC,求AM的长. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-MBCD中，PD=PC=CB=BM=之AD=2,AD1CB, ∠CPD=∠ABC=90°，平面PCD⊥平面ABCD,E为PD中点. (1)求证：PD⊥平面PCA: (2)点2在棱PA上，C2与平面PDc所成角的正弦值为 求平面PCD与平面CD2夹角的余弦值. 17.(15分) 椭圆E:兰+y=1的上顶点为P,圆C:K-+y=r>0)在椭圆E内. d (1)求r的取值范围； (2)过点P作圆C的两条切线，切点为A、B,切线PA与椭圆E的另一个交点为N,切 线PB与椭圆E的另一个交点为M.是否存在圆C,使得直线N与之相切，若存在求出圆C的 方程，若不存在，说明理由 18.(17分) 南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站.第1站为双港站，第24站是瑶 湖西站.如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车， 假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也 可以反向乘车 在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游.他们约定每天由一 人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同若某天是张爸爸管理手机，则下一天有 上的概率是大张管理手机：若某天是大张或小张管理手机，则下一天有三的概率是张爸爸管理 手机，第一天由张爸爸管理手机 (1)记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X,求X的分布列及期望 (2)在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系.张爸爸 决定按照事先安排，独自前往景点.大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方. 只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有 寻找到对方，则他们继续乘车寻找.大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为二.求在25分钟 内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率。 19.(17分) 在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法 若f(x)在包含，的某个开区间(a,b)中具有n+1阶导数，设(x)表示f(x)的n阶导数 则对xea,有f树=f)+f飞x-xt"2x-++x-x+R.其 11 21 n 中R)=②x-,5是位于名与x之间的某个值，它称为m阶泰勒余 (n+10！ 项.P因=f化+x-x)+x-2++fx-)叫做f网在x=6处的n 1！ 21 阶泰勒多项式 (1)求血1+x)在x=0处的1阶泰勒多项式R(x)和2阶泰勒多项式(x),并证明：当 x20时，P(x)≤l(1+x)≤R(x): （2)整数m≥2024.定义数列%=4=1,4-2+宁4=经+2，k21.设e为自 然对数的底数. (i)求证：an<e;(i)求证：bn>e. 江准十校2025届高三第一次联考 数学参考答案 选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 0 10 11 答案 B A D B C A C D ABD BD ABD 解析 1. 【答案】B 【解折1由2符受0，得1r<2.则S=2,3n7= x-2 2.【答案】A 【解析】因为z=-a=4-3i,所以1z作+9.令1zb而，解得a>1或a<-1,故 2 “a>1”是“|zP√10”的充分不必要条件， 3.【答案】D 【解折】c-he、h0.a,而a2.血2+n列>4n2:n5=62,且a>0,b>0.故6<a<c. 2 2 4 4 4.【答案】B 【解析】由题意可知，(2a-而-i=21alb1cos60°-41a2-21a2.则2a-b在i上的投影向量为： 2a--五x5=-6. -X 1b11b12 5.【答案】C 【解析】由题意可知，f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则函数f(x)的周期为4。 又f(2-x)=f(2+x)=-f(x),即函数的图象关于x=2对称，也关于(L,0)对称，若f(x)的图象 关于x=1对称，或关于x=3对称，则它的周期为2，由A可知，B、D错误 对于C,由f(2-x)=f(2+x),可知f(-x)=f(4+x)=(x),故C正确. 6.【答案】A 【解折】设△MBC的外接圆的半径为r,又sim∠ACB= AB 4 2W2 .则2r= sin∠ACa=5,故r=E于 记△MBC的外心为O,由PA=PB=PC可知，PO,1面MBC,放PO= 24 由遮意可得外接球的球心在0上，设外接球的半径为R,故-后= 2R86 √24 故球0的表面积为S=40。 3 数学答案（共8页）第1页 7.【答案】C 【解析】函数f)=nx-m2+x,不等式f)>0化为：mx-1<hx.分别令)=r-, g(x)=Inx g()=1-mx, 故函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减. x2 而不等式f(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2. In 2 2m-1< 故 h(2)<g(2) 即 2 故3+ln3≤m< 2+ln2 h(3)≥g(3) In3 9 4 3m-1≥ 3 8. 【答案】D 【解析】易知∠PFB=∠AF，故∠AF=60°，∠BFx=120°.故AF=,P 1-cos60 =2p, BF=- 2p -cos120 3 面8=0故ww94F18F上5p2-5,故p=5, 9.【答案】ABD 【解析】对于A选项，去掉5,0后的平均数为+5+五=8+2=+9，方差为 8 8 s2-名-92+s--9++(-=9y=21故A选项正确： P 对于B选项，由于随机变量X服从正态分布N山，o2),P(X>1.5)=0.34, 则P(X<a)=P(X>1.5)=0.34,则a=0.5故B选项正确： 6 对于C选项，因为∑，=30，所以x=5,又因为回归方程为少=2x+3: 所以万=2x5+3=13,所以∑y=13×6=78,故C选项错误： i=l 对于D选项，对于独立性检验，随机变量X的值越大，则两变量有关系的程度“的错误率更低， 故x越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确. 10.【答案】BD 【解析】由图象可知，37=5还+2红=3江，故@=1又图象过点 632 01,=-号所以)=如(-骨引故A错误，B正确 数学答案（共8页）第2页 国=-引因为：在[司引上单调减，故 3 22kπ+ 3 ,k∈Z. 3π 》意-李一无≤2红大◆ 3 2 解得-3江-2kx505-7压-2kx,kZ. 6 当=2时.受≤，面号>5，放：不可能等于5，放c错误 2 当k=-1时，号S555,又eN,故5咖=2，故D正确 6 II.【答案】ABD 【解折1对于A点5，放e=2或者台5，e25 3 对于B,设1A=x,则|BF3=x,IAE=x-2a,|BF上x+2a. 故2+2x-2a=(c+2a,解得x=3a又r2+x-2a}=4e2,故e= 2 对于C,渐近线的斜率为±√3.设直线AB的倾斜角为20，因为A、B均在右 支上，故60°<20<120°. 对于D,2=丛=5=45=+，故A6+AB,=4c,而AR-A,=2a. IP FPFP 故A5=a+2c，Af=2c-a，由余弦定理可知(2c+a)2=(2c-a)2+4c2+2c-(2c-a),故 5 e-4 12.【答案】-或号 【解】折co2xr=cos-孕户6os2x-sin2 xc0x+sn=(cos+sn动(osx-n对， 1 当cosx+sinx=0=tanx=-l:当cosx+sinx≠0→tanx= 1以.【答案1 【解析】设4=“取出第i个袋子”，i=1,2,3,4.B=“从袋子中连续取出三个球，第三次取出 的球为白球” 则2=4U42U…UA,且4、44A两两互斥。 )=子Pe1)-4号.所P4到=P6)P()-名， 数学答案（共8页）第3页 所以，P()=P(4B)+P(6B+P4+P(AB)-3+2!_ 168 14. 【答案】3 4 令m=cos-sin,n=cos+sin5,则m2+m2=2. 2 2 令80=(2-0，其中1=2e[0,2],则由g0=62-4r3>0,可知0<1<2 即g0在引上为带数在[上为减数g0三)名即9 3 n2=1+sinx= 2 1-sinx=,即sinx三)，cosx=号时等号成立.故f)的最大值为 当且仅当 2sin x2cosx 15.【解析】(1)由题意知，cosA sinA cosC 2sin B-sinC 2cos A-sin B=sin A.cos C+cos A-sin C=sin(A+C)=sin B. 3分 又血B20,故cosA=宁而Ae0,,则4=号 5分 3 (2)在△4BC中，a2=b2+c2-2 be.cos A=b2+c2-bc, BAC=cb.cos4=bite-a be 8分 2 2 M-2+24C,故1m=4c2+962+2丽4C_4c2+962+6c_4x37 12分 5 25 25 25 故AM=2V37 13分 5 16.【解析】(1)由题意：BC=AB=2,∠ABC=90°，：AC=√AB2+BC2=2N2,同理 CD=22, 又AD=4,CD2+AC2=AD2,CD⊥AC.而CD=2N2=VPD2+PC2,即PC⊥PD3分 又平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,ACC平面ABCD, 数学答案（共8页）第4页 ∴AC⊥平面PCD,PDc平面PCD,.PD⊥AC,又PC⊥PD,且PCC面PCA,ACc面 PCA,PC∩AC=C,.PD⊥平面PCA. 7分 (2)以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0,0),A0,22,0),D(2N2,0,0),P(2,0,V2), .CD=(22,0,0),Cp=(2,0,V2),PA=(-V2,22,-V2), 设P@=PA(0<元<1)，有C面=C乎+PA=(N21-),22元，21-)》， 取面PCD的一个法向量m=(0,10),则cos<C②，m>= 2N21 V41-2)2+822 11分 故西=停后，马.令后-)是平面c00的-个法向量，则任西0 即 i.CO=0 [2N2x=0 5x+2+5:=0, 2 令y=1,有万=0,1，-2)，则1s<元m光万：m=5 14分 1n川m5 故平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值为5 15分 17.【解析】(1)设T(0%)为椭圆E上任意一点，-2≤xo≤2，则 17cP=6-2+方--2+2. 4分 3 (2)由题意可知P0,),设M(:,)、N(x2,2).因为r<1,故切线PM、PN的斜率都存在. 又直线PM的方程为y=当x+1,即为O-x-y+x=0.直线PN的方程为 (0y2-1)x-x2y+2=0. 则+当-=r,故+2x0-10+0-=2+产0-. √x2+(04-02 而x=41-),故41-21-)+2x0y-)+(0y,-)2=20y-1)2，又因为片≠1.9分 故2x+(3r2-3)4+5r2-1)=0,同理2x2+(3r2-3)y2+502-1)=0. 故直线MN的方程为2x+3r2-1y+52-1)=0.11分 若直线Mw与圆C相切，则5=，令1=户0号引 V9r2-12+4 数学答案（共8页）第5页 放9r-432+431-9=0,即-92-34x+9)=0.故1=l,或1=17±4 9 故存在满足条件的圆C,其方程为x-+y'=17-4国 15分 9 【备注】本题还有其它方法，可以酌情给分 2 我们可以得到nrnw=l,kpw+w,二然后设直线MN的方程为y=+m,得到 子，再通过相切解出r.我们在得到kw·kpw1，kpm+kw 5 2 m=- 后，也可以用 kw表示出M、N的坐标，再得到直线W的方程，得到它过定点0-引 再设直线 MN为y=- ,通过相切解出r. 18.【解析】(1)由题意可知，X的取值为1、2、3. pX=)=年1 1分 当X=2时，张爸爸管理手机的情况分为：在第3天、第4天、第5天三种情况. Ix3xIx1-3 若张爸爸在第3天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为P=4×。×二×。× 242416 11313 若张爸爸在第4天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为P2=4×一×，×二×) 244216 11133 若张爸爸在第5天管理手机，不同的手机管理方法有2种，其概率为乃3=2×。×一×一×三= 244464 27 故P(X=2)= 4分 64 当X=3时，张爸爸管理手机的情况为：第3天和第5天此时，不同的手机管理方法有4种. 故P(X=3)=4×2×4*2×416 13139 5分 故X的分布列为 2 3 1 27 9 64 64 16 则X的期望为E(X)=163 7分 64 (2)由题意可知，大张和小张有 的概率乘车的方向相同当大张和小张都乘车寻找对方时，我 数学答案（共8页）第6页