专题1.6 二次函数区间最值问题（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.6 二次函数区间最值问题（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 二次函数最值问题是中考热点内容，区间最值则是重难点内容。本专题重在解决区间为前提的二次函数最值问题的解题方法。 【知识点1】二次函数区间最值类型 为了形象和记忆方便，特别作以下规定：轴：表示对称轴，区间：表示自变量的取值范围，动：表示含有参数，二次函数区间最值类型有以下四种： （1）定轴定区间：即对称轴，区间都固定求最值； （2）定轴动区间：即对称轴固定，区间动求最值； （3）动轴定区间：即对称轴动，区间固定求最值； （4）动轴动区间：即对称轴动，区间都动求最值。 【知识点2】解题方法：主要抓住三要素 （1）三点：表示区间的两个端点和中点； （2）一轴：表示二次函数对称轴； （3）开口：表示二次函数的开口方向； 以上三要素统称为：“三点一轴及开口”，通过数形结合方法，根据函数的增减性分类讨论解决问题。 【知识点3】四种区间情况讨论 对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，求以下区间的最值。 1、若自变量为全体实数 （1）当a>0时，当时，函数有最小值，如图（1） （2）当a<0时，当时，函数有最大值，如图（2） 图1 图2 2、若：且 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（3）； （2）当a<0时，抛物线开口向下，当时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（4）； 图3 图4 注意：这里一定要注意m,n与的水平距离，距离越远的点，才是最值，一定要结合实际情况。 3、若，且对称轴在区间的右边时 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（5）； （2）当a<0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（6）； 图5 图6 4、若，且对称轴在区间的左边时 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值。 （2）当a<0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值。 图7 图8 【知识点4】总结归纳如下： 1、根据题意画草图； 2、根据题意确定类型： （1）对称轴在区间的左侧；（2）对称轴在区间的中间；（3）对称轴在区间的右侧. 3、画出最高点和最低点，确定最值。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】自变量为全体实数 【例1】（22-23九年级上·广东中山·期末）求函数的最值，并说明是最大值还是最小值． 【变式1】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少？（   ） A．有最小值是4 B．有最大值是4 C．有最小值是8 D．有最大值是8 【变式2】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）二次函数的最大值是 ． 【题型2】自变量取值范围为且 【例2】（23-24九年级上·陕西延安·期中）求二次函数在范围内的最小值和最大值． 【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数的图象（）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【变式2】（23-24九年级上·北京石景山·期中）当，则函数最大值 ，最小值 ． 【题型3】若，且对称轴在区间的右边时 【例3】（20-21九年级上·广东广州·期中）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值． 【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是（    ） A．7 B．4 C．6 D．3 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ． 【题型4】若，且对称轴在区间的左边时 【例4】（22-23九年级上·广东韶关·期中）已知，则函数（    ） A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7 C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值 【变式1】（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【变式2】当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为 . 【题型5】若，且对称轴在区间的位置进行分类讨论 【例5】（23-24八年级下·北京·期中）已知二次函数．当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【变式1】（22-23九年级上·安徽亳州·期中）当时，二次函数（h为常数）有最小值10，则h的值为 【变式2】（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的表达式为，当时，函数有最大值，则的最小值是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【例2】（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 2、拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数（）的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 二次函数区间最值问题（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 二次函数最值问题是中考热点内容，区间最值则是重难点内容。本专题重在解决区间为前提的二次函数最值问题的解题方法。 【知识点1】二次函数区间最值类型 为了形象和记忆方便，特别作以下规定：轴：表示对称轴，区间：表示自变量的取值范围，动：表示含有参数，二次函数区间最值类型有以下四种： （1）定轴定区间：即对称轴，区间都固定求最值； （2）定轴动区间：即对称轴固定，区间动求最值； （3）动轴定区间：即对称轴动，区间固定求最值； （4）动轴动区间：即对称轴动，区间都动求最值。 【知识点2】解题方法：主要抓住三要素 （1）三点：表示区间的两个端点和中点； （2）一轴：表示二次函数对称轴； （3）开口：表示二次函数的开口方向； 以上三要素统称为：“三点一轴及开口”，通过数形结合方法，根据函数的增减性分类讨论解决问题。 【知识点3】四种区间情况讨论 对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，求以下区间的最值。 1、若自变量为全体实数 （1）当a>0时，当时，函数有最小值，如图（1） （2）当a<0时，当时，函数有最大值，如图（2） 图1 图2 2、若：且 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（3）； （2）当a<0时，抛物线开口向下，当时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（4）； 图3 图4 注意：这里一定要注意m,n与的水平距离，距离越远的点，才是最值，一定要结合实际情况。 3、若，且对称轴在区间的右边时 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（5）； （2）当a<0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（6）； 图5 图6 4、若，且对称轴在区间的左边时 （1）当a>0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值。 （2）当a<0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值。 图7 图8 【知识点4】总结归纳如下： 1、根据题意画草图； 2、根据题意确定类型： （1）对称轴在区间的左侧；（2）对称轴在区间的中间；（3）对称轴在区间的右侧. 3、画出最高点和最低点，确定最值。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】自变量为全体实数 【例1】（22-23九年级上·广东中山·期末）求函数的最值，并说明是最大值还是最小值． 【答案】当时， ；是最大值． 【分析】根据二次函数 的性质，时抛物线开口向下，有最大值，无最小值．用配方法将其化为顶点式，即可求出最大值． 解：在本函数中 抛物线开口向下，有最大值， 将 进行配方， 得 ， 当时， ，为最大值． 【点拨】本题考查二次函数 的性质，熟练掌握抛物线图像与系数的关系，能正确求出顶点坐标是解本题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少？（   ） A．有最小值是4 B．有最大值是4 C．有最小值是8 D．有最大值是8 【答案】B 【分析】把代数式化成完全平方的形式，再利用二次函数的性质即可得． 解：， ∵， ∴当时，代数式有最大值，最大值为4， 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，把代数式化成完全平方的形式． 【变式2】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）二次函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】先求出对称轴，再求出最大值即可． 解：∵ ∴二次函数开口向下，在顶点处有最大值， ∵二次函数对称轴为直线， ∴当时，，即最大值为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的性质和最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【题型2】自变量取值范围为且 【例2】（23-24九年级上·陕西延安·期中）求二次函数在范围内的最小值和最大值． 【答案】最小值为2，最大值为6 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求得对称轴与顶点坐标，进而根据二次函数的性质，求得最小值，即可求解． 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∵， ∴当时，取得最大值；当时，取得最小值． ∴二次函数在范围内的最小值为，最大值为． 【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数的图象（）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【答案】C 【分析】根据图象及的取值范围，求出最大值和最小值即可． 解：根据图象及的取值范围， 当时，取最小值为， 当，取最大值为2.5， 该函数有最小值，有最大值2.5， 故选：C． 【点拨】本题主要考查二次函数的图象，二次函数的最值，关键是要能根据图象确定函数的最大值和最小值，函数所对的最低点的值为最小值，最高点的值为最大值． 【变式2】（23-24九年级上·北京石景山·期中）当，则函数最大值 ，最小值 ． 【答案】 8 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质结合解析式即可得到答案． 解：， ，抛物线开口向上， ， 当时，的值最小为， 当时，， 当时，， ， 当，则函数最大值为8，最小时为， 故答案为：8，． 【点拨】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质，将解析式化为顶点式是解此题的关键． 【题型3】若，且对称轴在区间的右边时 【例3】（20-21九年级上·广东广州·期中）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值． 【答案】m1＝，m2＝﹣ 【分析】根据二次函数的性质得到当x＜3时，y随x的增大而增大，根据题意列式计算即可． 解：二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1的对称轴是x＝3， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜3时，y随x的增大而增大， 由题意得，当x＝1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4， 则﹣（1﹣3）2+m2+1＝4， 解得，m1＝，m2＝﹣． 【点拨】本题考查的是二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少． 【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是（    ） A．7 B．4 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数求最值，根据题意用含的代数式表示，将代数式转化为只含的代数式，配方后，求最值即可． 解：∵， ∴， ∴ ； ∵， ∴当时，的值最小为； 故选B． 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围． 解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 【题型4】若，且对称轴在区间的左边时 【例4】（22-23九年级上·广东韶关·期中）已知，则函数（    ） A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7 C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先把解析式化为顶点式得到开口方向和对称轴，进而得到在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此结合自变量的取值范围即可得到答案． 解：由题意得，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴当时，当时，y有最小值1，当时，y有最大值， 故选：C． 【变式1】（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，有最大值，最小值，即可得到的取值范围． 解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ， 该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值， 当时，有最大值，最小值，当时，， 根据对称性可得时，， ， 故选：C． 【变式2】当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质进行解答即可 解：函数y＝－（x－1）2＋2的图象的开口向下，对称轴为直线x＝1， 当2.5≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小， 所以当x＝2.5时，y最大＝－（2.5－1）2＋2＝-． 故答案为-. 【点拨】此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时根据函数的解析式判断出函数的增减性质，然后根据范围判断出取最值的x值，然后求出最大值即可，此题易错为不考虑2≤x≤5的范围，单纯的考虑y＝－（x－1）2＋2的最大值，出现错误答案． 【题型5】若，且对称轴在区间的位置进行分类讨论 【例5】（23-24八年级下·北京·期中）已知二次函数．当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，分类讨论思想，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质及自变量的取值范围即可解答． 解：， ∴对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①当即时， 时，y有最小值n，时，y有最大值m， ∴， 又， 整理得， 解得， 又， ∴不符合题意，舍去； ②当时， 时，y有最大值m，时，y有最小值n， ∴， 又， 整理得， 解得， 又， ∴不符合题意，舍去； ③当时，， ∴时，y有最大值为4， ∴， 又， ∴， ∴或， 解得，，，， 又， ∴t的值为或． 综上，t的值为或 【变式1】（22-23九年级上·安徽亳州·期中）当时，二次函数（h为常数）有最小值10，则h的值为 【答案】或/或 【分析】先把代入，求出或，再根据位置关系分类讨论的取值问题即可． 解：令代入得， ， ∴， ∴或， ①当时，在处取得最小值， ∴（舍去）或， ②当时，在处取得最小值， ∴或（舍去）， ③当时，在处取得最小值， 最小值为，不符合题意， 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了二次函数的顶点式和最小值，熟练运用二次函数的图象特征是解题的关键． 【变式2】（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的表达式为，当时，函数有最大值，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图象及性质，二次函数顶点式等．根据题意可知对称轴，分三段区间对抛物线增减性最值进行求解即可得出本题答案． 解：∵， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时取最大值，此时； 当时，时取最大值，此时， 当时，时取最大值，此时， 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． （1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 【例2】（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 【答案】A 【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解． 解：令，则， 解得：，， ∴抛物线对称轴为直线 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为． 故A正确，B错误； 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为， 故C、D错误， 故选：A． 【点拨】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·浙江舟山·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数（）的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式，利用数形结合的思想是解题的关键． 根据完美点的概念，可得，即，根据只有一个完美点，可得，从而解出，所以函数，由此得出函数的顶点坐标和对称轴及性质，即可求解． 解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， ∴，即， 又∵方程的根为， ∴， ∴函数， ∴该函数图象的顶点为， 如图，在对称轴直线右侧，y随x的增大而减小，在左侧，y随x的增大而增大， 当时，函数的最小值为，最大值为1， 当时，解得或4， ∴．    故选：C． 【例2】（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，求出的取值范围以及的最值是解题关键．先将抛物线化为顶点式，得到对称轴为，顶点坐标为，再根据，得到，进而得到，，求出时，的最大值和最小值，得到，然后根据二次函数的性质和的取值范围，求出的最大值和最小值即可得到答案． 解：根据题意可得：， ∴抛物线的对称轴，顶点坐标为， ∵，即与的差值为， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴ 则对称轴， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为， 综上所述：； 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$