专题1.8 二次函数（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

专题 1.8 二次函数 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）二次函数定义 2 【题型1】二次函数定义 2 知识点（二）二次函数的图象与性质 2 【题型2】二次函数的图象与性质 2 知识点（三）二次函数的图象与性质 3 【题型3】二次函数的图象与性质 3 知识点（四）二次函数的图象与性质 3 【题型4】二次函数的图象与性质 4 知识点（五）二次函数（）的图象与性质 4 【题型5】二次函数（）的图象与性质 5 知识点（六）二次函数（）与系数关系 5 【题型6】抛物线（）的图象位置判断式子符号 5 知识点（七）二次函数的应用 6 【题型7】二次函数的应用 6 知识点（八）二次函数与几何综合问题 7 【题型8】二次函数的几何综合 8 二．同步练习​ 8 【基础巩固（20题）】 8 【能力提升（22题）】 13 【中考真题16题】 18 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）二次函数定义 形如（其中，，是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次函数系数，一次函数系数，是常数项。自变量的取值范围是全体实数。 【题型1】二次函数定义 【例题1】（2024·广东广州·一模）已知． （1）化简A； （2）若点是抛物线上的一点，求A的值． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列函数属于二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 知识点（二）二次函数的图象与性质 二次函数（）的图象是抛物线，它关于轴对称，顶点是原点。当时，顶点的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物上的最高点。 【题型2】二次函数的图象与性质 【例题2】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求的取值范围： （1）函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （2）函数有最大值； （3）函数的图象是开口向上的抛物线． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列函数中，，，，，y随x增大而增大的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 知识点（三）二次函数的图象与性质 二次函数（）的图象可由函数（）的图象向右（当）或向左（当）平移个单位得到。简称“左加右减”。 【题型3】二次函数的图象与性质 【例题3】（23-24九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 【变式1】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东肇庆·二模）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 知识点（四）二次函数的图象与性质 二次函数（）的图象可由函数（）的图象先向右（当）或向左（当）平移个单位，再向上（当）或向下（当）平移个单位得到。简称“左加右减，上加下减”。顶点是（，），对称轴是直线。 【题型4】二次函数的图象与性质 【例题4】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点A，B，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，    根据上述规律解决以下问题： （1）抛物线的顶点坐标是_____________； （2）求抛物线中的值． 【变式1】（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25九年级下·山东济南·阶段练习）对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 知识点（五）二次函数（）的图象与性质 二次函数（）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是（，）。当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物上的最高点。 对于二次函数（），若，则当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，；若，则当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，； 【题型5】二次函数（）的图象与性质 【例题5】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，将该函数的图象向下平移1个单位长度后新的函数解析式是：__________． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．图象与轴没有交点 D．顶点坐标为 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系 （用“<”连接）． 知识点（六）二次函数（）与系数关系 （1）开口方向：时，开口向上，时，开口向下； （2）对称轴位置：、同号，对称轴在轴左侧，、异号，对称轴在轴右侧； （3）抛物线与轴相交位置：时，抛物线交轴正半轴相交，时，抛物线交轴负半轴相交，时，抛物线经过原点； （4）当时，抛物线与有两个交点；当时， 抛物线与有一个交点； 抛物线与有没有交点. 【题型6】抛物线（）的图象位置判断式子符号 【例题6】（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：（1）；（2）；（3）；（4）（的实数）；（5）；（6）其中正确结论的有 个． 知识点（七）二次函数的应用 【题型7】二次函数的应用 【例题7】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商场购入一批进价为50元/个的盲盒进行销售，售价为60元/个，每个月可卖出230个，如果每个盲盒的售价上涨1元，则每月少卖10个（每个盲盒的售价不能高于75元），设每个盲盒的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元， （1）求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围； （2）每个盲盒的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若商场决定每销售一个盲盒就向慈善机构捐赠a元，捐赠后，为确保盲盒每月销售获得的最大利润为2250元，请直接写出a的值． 【变式1】（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 【变式2】（24-25九年级下·天津北辰·阶段练习）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点（八）二次函数与几何综合问题 【题型8】二次函数的几何综合 【例题8】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； （3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【变式2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（2025·四川绵阳·一模）关于抛物线，下列说法中正确的是（ ）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3 2．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为（    ）． A． B． C． D． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 9．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行 才能停下来． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）a的值为 ． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式为 ． 13．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 14．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 15．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则的长为 ． 16．（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为 ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． （1）求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当取什么范围时，随的增大而增大？ 18．（2025·浙江·模拟预测）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． （1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． （2）若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ （3）根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 19．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 20．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【能力提升（22题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京·期中）已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·一模）抛物线 的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽阜阳·三模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 6．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．   B．  C．   D．   7．（2025·四川达州·一模）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥．其中错误结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 8．（2025·山东济南·二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等：当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 11．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 12．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，则 ． 13．（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线． （1）的值为 ． （2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ． 14．（2025·江苏无锡·模拟预测）定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离．若，，则 ．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为 ． 15．（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知直线，将直线向上平移个单位后得到． （1）若的解析式为，则 ； （2）若点在的异侧，则取值范围是 ． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，为等边三角形，，点D在上，，连接，点E为的中点，连接，点P为上一动点，连接，则的最大值为 ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线． （1）当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； （2）已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； （2）如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 19．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式． （2）当时，x的取值范围是_________． （3）点是线段上一点，过点作轴于点，交反比例函数于点，设点的横坐标为．设当为何值时，的面积最大？并求出最大值． 20．（24-25八年级下·浙江金华·期末）某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． （1）求与之间的关系式； （2）是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． （3）当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 21．（2025九年级下·浙江金华·学业考试）已知二次函数（的实数） （1）二次函数图象的对称轴是______． （2）当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． （3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 22．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）抛物线与直线交于两点（在的左边）． （1）求两点的坐标． （2）如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． （3）如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 【中考真题16题】 一、单选题 1．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 5．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 6．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 8．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 9．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 10．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 11．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 12．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      三、解答题 13．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 14．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 15．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … （1）求与的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 16．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.8 二次函数 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）二次函数定义 1 【题型1】二次函数定义 2 知识点（二）二次函数的图象与性质 4 【题型2】二次函数的图象与性质 4 知识点（三）二次函数的图象与性质 6 【题型3】二次函数的图象与性质 7 知识点（四）二次函数的图象与性质 8 【题型4】二次函数的图象与性质 8 知识点（五）二次函数（）的图象与性质 11 【题型5】二次函数（）的图象与性质 11 知识点（六）二次函数（）与系数关系 13 【题型6】抛物线（）的图象位置判断式子符号 13 知识点（七）二次函数的应用 18 【题型7】二次函数的应用 18 知识点（八）二次函数与几何综合问题 22 【题型8】二次函数的几何综合 22 二．同步练习 26 【基础巩固（20题）】 26 【能力提升（22题）】 41 【中考真题16题】 67 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）二次函数定义 形如（其中，，是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次函数系数，一次函数系数，是常数项。自变量的取值范围是全体实数。 【题型1】二次函数定义 【例题1】（2024·广东广州·一模）已知． （1）化简A； （2）若点是抛物线上的一点，求A的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键． （1）先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A； （2）再把点代入得到，则，整体代入化简的A中计算即可． 解：（1）解： ； （2）解：∵点是抛物线上的一点， ∴ ∴ ∴． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列函数属于二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，据此逐项判断即可． 解：A、是一次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意． 故选C． 【变式2】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 知识点（二）二次函数的图象与性质 二次函数（）的图象是抛物线，它关于轴对称，顶点是原点。当时，顶点的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物上的最高点。 【题型2】二次函数的图象与性质 【例题2】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求的取值范围： （1）函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （2）函数有最大值； （3）函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次项的系数小于，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于，据此列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （3）根据函数图象开口向上，可得二次项系数大于，同时二次项的次数须满足，解之即可得出答案． 解：（1）解：由题意可得： ， 解得：； （2）解：由题意可得： ， 解得：； （3）解：由题意可得： ， 解得：． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列函数中，，，，，y随x增大而增大的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查函数图象的增减性，根据一次函数、二次函数和反比例函数图象的性质逐一判断即可解题． 解：中，，y随x的增大而增大； 中，，y随x的增大而减小； ，开口向上，当时，y随x的增大而增大； ，当时，y随x的增大而增大； 故选：C． 【变式2】（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 知识点（三）二次函数的图象与性质 二次函数（）的图象可由函数（）的图象向右（当）或向左（当）平移个单位得到。简称“左加右减”。 【题型3】二次函数的图象与性质 【例题3】（23-24九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 【答案】h的值为8或2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据二次函数的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 解：∵，顶点坐标为，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∵当时，与其对应的函数的最大值是， ∴在对称轴的同侧． ①当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． ②当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． 综上所述，h的值为8或2． 【变式1】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 【变式2】（2025·广东肇庆·二模）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点（四）二次函数的图象与性质 二次函数（）的图象可由函数（）的图象先向右（当）或向左（当）平移个单位，再向上（当）或向下（当）平移个单位得到。简称“左加右减，上加下减”。顶点是（，），对称轴是直线。 【题型4】二次函数的图象与性质 【例题4】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点A，B，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，    根据上述规律解决以下问题： （1）抛物线的顶点坐标是_____________； （2）求抛物线中的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据直线的解析式，再根据横坐标的值依次求出各抛物线顶点坐标，寻找变化规律； （2）设抛物线的解析式为：，化简即可解得． 解：（1）直线的解析式为：， ∵抛物线的顶点的横坐标为2,且顶点在直线上， ∴抛物线的顶点坐标为， 同理可得：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， ， 故抛物线顶点坐标为； （2）由题意得：抛物线形状相同，的顶点坐标为， 故设抛物线的解析式为：， 即， ． 【点拨】本题考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，掌握二次函数的顶点式是关键． 【变式1】（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·山东济南·阶段练习）对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的性质．先化为顶点式，求得、，然后根据题中定义解方程求得值，进而可求解． 解：由得， 设，则， ∵， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴抛物线的“开口大小”为， 故答案为：2． 知识点（五）二次函数（）的图象与性质 二次函数（）的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是（，）。当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物上的最高点。 对于二次函数（），若，则当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，；若，则当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，； 【题型5】二次函数（）的图象与性质 【例题5】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，将该函数的图象向下平移1个单位长度后新的函数解析式是：__________． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）根据函数图象的对称轴是直线，求出，代入抛物线解析式，求出抛物线的顶点式，然后根据二次函数的平移规律求解即可． 解：（1）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线， ∴， ∴ ， ∴抛物线向下平移1个单位后，新的函数解析式为， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．图象与轴没有交点 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，先将解析式化为顶点式，求出抛物线的对称轴和顶点坐标，结合抛物线的开口方向和顶点坐标可得出抛物线的增减性以及抛物线与轴的交点情况，即可求出答案． 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故A选项和D选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点坐标为， ∴图象与轴有交点，故C选项符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故B选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系 （用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入各点的横坐标，可用含m的代数式表示出的值，比较后即可得出结论． 解：当时，； 当时，； 当时，， ∵， ∴． 故答案为：． 知识点（六）二次函数（）与系数关系 （1）开口方向：时，开口向上，时，开口向下； （2）对称轴位置：、同号，对称轴在轴左侧，、异号，对称轴在轴右侧； （3）抛物线与轴相交位置：时，抛物线交轴正半轴相交，时，抛物线交轴负半轴相交，时，抛物线经过原点； （4）当时，抛物线与有两个交点；当时， 抛物线与有一个交点； 抛物线与有没有交点. 【题型6】抛物线（）的图象位置判断式子符号 【例题6】（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与系数的关系，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，即，则可对②进行判断；由抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点位置，可对①进行判断；利用时，函数有最大值，对③进行判断；根据二次函数图象时，，可对④进行判断；由 ，整理得，因，故，结合，即可对⑤进行判断． 解：抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 故②正确； 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴， ， ， ， 故①错误； 抛物线的对称轴为直线， 当时，y取最大值，， 当时， ， 当时，， 故③正确； 抛物线的对称轴为直线， 和的函数值相等， 根据图象可知对应的函数值小于0，则对应的函数值也小于0， 时，， 故④正确； ， ， 整理得 ， ， 即， 又 ， 故⑤正确， 综上所述：②③④⑤正确， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中各个结论是否成立，从而可得答案． 解：抛物线与轴有两个交点， ， ，故①符合题意， ∵抛物线与轴的一个交点在之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在之间， 由图象可得，时，， ，故②不符合题意， 由图象可知，时，， ， ， ， ， ，故③符合题意， 由图象可知，时，取得最大值，此时， ， ， ∴，故④符合题意， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：（1）；（2）；（3）；（4）（的实数）；（5）；（6）其中正确结论的有 个． 【答案】4 【分析】（1）由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴位置确定的符号，可对（1）作判断；（2）根据时，函数值小于，即可求解；（3）根据对称性可得：当时，，可作判断；（4）根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；（5）根据对称轴为，即可判断；（6）根据对称轴为：可得：，结合时，，可作判断； 解：（1）该抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴在轴右侧， 、异号， ； 抛物线与轴交于正半轴， ， ；故（1）正确； （2）根据函数图象，可得当时，函数值小于， 即，故（2）不正确； （3）根据抛物线的对称性知，与的函数值相等，故当时，，即；故（3）正确； （4）对应的函数值为， 对应的函数值为， 又时函数取得最大值， 当时 即，故（4）错误 （5）∵对称轴为：, ， ，故（5）正确. （6）∵对称轴方程， ， ， 当时，， ∴， ，故（6）正确； 故正确的有（1）（3）（5）（6），共5个 故答案为：． 知识点（七）二次函数的应用 【题型7】二次函数的应用 【例题7】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商场购入一批进价为50元/个的盲盒进行销售，售价为60元/个，每个月可卖出230个，如果每个盲盒的售价上涨1元，则每月少卖10个（每个盲盒的售价不能高于75元），设每个盲盒的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元， （1）求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围； （2）每个盲盒的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若商场决定每销售一个盲盒就向慈善机构捐赠a元，捐赠后，为确保盲盒每月销售获得的最大利润为2250元，请直接写出a的值． 【答案】（1），，且x为正整数；（2）当每个盲盒的售价定为66元或67时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据利润等于售价减去进价乘以销售量列式求解即可； （2）根据（1）所求把对应的解析式化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）同（1）列出对应的y关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得，在对称轴处函数有最大值，再根据最大利润建立方程求解即可． 解：（1）解：由题意得， ， ∵每个盲盒的售价不能高于75元， ∴，且x为正整数； （2）解：∵，， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当或时，y有最大值，最大值为2720， ∴或， ∴当每个盲盒的售价定为66元或67时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元； （3）解：由题意得，， ， ∵当为整数时，有最大值，且要保证盲盒每月销售获得的最大利润为2250元， ∴为整数 ∴， 解得或（舍去）． 【变式1】（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 【答案】10 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·天津北辰·阶段练习）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 知识点（八）二次函数与几何综合问题 【题型8】二次函数的几何综合 【例题8】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； （3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点P的坐标是或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 解：（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 【变式1】（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 【变式2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（2025·四川绵阳·一模）关于抛物线，下列说法中正确的是（ ）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像开口，对称轴，与x，y轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键． 根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案． 解：A．在抛物线中，由于，所以该抛物线开口向下，故该选项错误，不符合题意； B．在抛物线中，对称轴是直线，而不是直线，故该选项错误，不符合题意； C．令，即，解得．这表明抛物线与轴有两个交点，故该选项错误，不符合题意； D．因为抛物线中，所以抛物线开口向下，函数有最大值．当时，函数的最大值是，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 3．（2025·安徽阜阳·二模）已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，从而可得抛物线开口向上，对称轴是，根据二次函数的性质可知当时，函数的最大值为. 解：整理：， 可得：， 抛物线开口向上，对称轴是， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值为. 故选：A． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选：C． 5．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律是解题的关键；根据解析式平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可． 解：原抛物线为 ，配方得： ， 将抛物线向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位， 得到的抛物线的解析式为， 故选：A． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数、二次函数性质解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 解：设点坐标为，则， ， 由三角形面积公式可得：， 整理得， 根据二次函数性质可知，当时，三角形面积有最大值，最大值为． 故选：C． 8．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．分，时，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解． 解：当时，抛物线开口向下，此时抛物线与线段没有交点，不合题意； 当时，若抛物线与线段只有一个公共点，如图所示： ∴由图象可知：需满足当时，且当时，， 即， 解得， 故答案为． 10．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可． 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行 才能停下来． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此求解即可． 解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）a的值为 ． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴的计算公式，抛物线的平移的知识， 掌握抛物线对称轴的计算公式是解答本题的关键． （1）将二次函数解析式化为一般式，再根据对称轴公式计算即可； （2）代入，得到抛物线解析式，结合解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式. 解：（1）． 函数图象的对称轴为直线， ， ． （2）由（1）知，， 二次函数的解析式为， 抛物线向下平移3个单位长度后经过原点， 平移后图象所对应的二次函数的解析式为． 13．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O， ∴由图象可得：关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图像与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，即， 解得，， ∴另一根为， 故答案为：． 15．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，点A为抛物线的顶点，点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，中点坐标公式；由题意得点A的坐标，设，利用对称关系求得点C的坐标；利用抛物线的对称性即可求得结果． 解：，则，对称轴为直线； 由题意设，则； ∵轴， ∴点C，点D关于抛物线的对称轴对称， ∴． 故答案为：4． 16．（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的特性，确定点的坐标是解题的关键． 将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即可求解． 解：由题意得，点的坐标分别为：，则点，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ， 则的值为， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． （1）求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当取什么范围时，随的增大而增大？ 【答案】（1）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标；（2） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 解：（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 18．（2025·浙江·模拟预测）为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润（万元）与每月减少的碳排放量（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：． （1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义． （2）若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？ （3）根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值． 【答案】（1），当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元；（2）当利润达到万元时，需要减少吨或吨；（3）满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握顶点式，二次函数函数值、自变量值的计算是关键． （1）由二次函数解析式，根据对称轴直线的计算公式，顶点坐标的计算方法，顶点坐标表示的含义计算即可求解； （2）当时，代入计算即可求解； （3）根据题意图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，确定最大值，代入计算即可求解． 解：（1）解：利润与减少碳排放量之间满足二次函数关系：， ∴对称轴直线为， 当时，， ∴顶点坐标为， ∵，即图象的开口象限， ∴当减少碳排放量等于吨时，最大利润为万元； （2）解：当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∴当利润达到万元时，需要减少吨或吨； （3）解：二次函数解析式为， ∵，顶点坐标为， ∴图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量， ∴当时，确定最大值， ∴， ∴满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值万元． 19．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 解：（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 20．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，，，， 【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考虑：①当时，②当时，③当时，分别求出P的坐标即可． 解：（1）解： 直线与轴交于点A， ， 抛物线过点和， ， 解方程组得， ． （2）存在 ，且过原点， ， 点在上， 设点 ，，， 以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形 ①当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ②当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ③当时，是直角三角形，则， ，， ， ， 即， 或，此时或； 综上所述，，，，． 【点拨】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，直角三角形，勾股定理，分类求解是解决问题的关键． 【能力提升（22题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选B． 2．（24-25八年级下·北京·期中）已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据的范围确定的范围，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，， ∴关于的对称点为：， ∵， ∴； 故选C 3．（2025·湖北·一模）抛物线 的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，利用二次函数的图象判断式子的正负，二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质依次判断即可． 解：由图象得， 对称轴在y轴的左侧， ， ，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间， 抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 当时，，即， ，即， ∴， ， ，故C错误，符合题意； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间， 抛物线与x轴有两个不同的交点， ， ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 4．（2025·安徽阜阳·三模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案． 解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧， ∴只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 5．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称中的最值问题等知识．根据题意可得两个函数的解析式，即可得到点E，F的坐标，作点F关于y轴的对称点H，连接，，，此时的最小，最小值为，根据两点间距离公式即可求解． 解：把代入可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点F的坐标为， 把代入得到，解得， ∴直线解析式为， ∴解方程组得，（舍去）， 点E的坐标为， 作点F关于y轴的对称点H，连接，， 则，点H的坐标为， ∵， ∴当H，Q，E三点共线时取得最小值为， 这时， 故选：D． 6．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可． 解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为， 把分别代入两个函数解析式得： ，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线， 所以C选项符合题意． 故选：C． 7．（2025·四川达州·一模）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥．其中错误结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图象逐项分析，结合已知条件得出结论是解题的关键． ①根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负 ②根据对称轴得到，判断的大小关系 ③根据时，，比较与0的大小； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可 ⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论； ⑥根据，得到，可判断⑥结论． 解：①由抛物线开口向上得 ， 根据对称轴为直线，可知， 抛物线与y轴交点位于x轴下方，可知 ，故①正确； ②由得，故②错误； ③经过 又由①得， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等 当时，，即 即， 经过，即经过 故④正确； ⑤当时,, 当时， 函数有最小值 化简得，故⑤正确； ⑥∵，， ∴，故⑥错误， 综上所述，错误结论有2个． 故选：B． 8．（2025·山东济南·二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等：当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据新定义，求出二次函数的相关函数为，根据的函数值小于，得到与线段没有交点，进而得到与线段有两个交点，求出恰好过和的顶点恰好在线段上，两种临界情况，即可得出结果． 解：由题意，得：二次函数的相关函数为， ∵的对称轴为，当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴， ∵， ∴的函数值小于0， ∵点M，N的坐标分别为，， ∴轴，且在直线上， ∴与线段没有交点， ∵线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点， ∴抛物线与线段有两个交点， ①当恰好过点时，如图： 则：，此时抛物线与线段有两个交点， ②当抛物线的顶点坐标恰好在线段上时，如图，此时，抛物线与线段恰好有1个交点， ∵， ∴， ∴； ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点； 故选A． 二、填空题 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，得到，即可得出结果． 解：当时，即：，此时，不符合题意； 当时，则：为二次函数，对称轴为轴， ∵当时，函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，号时取最大值，即， 则 ∵，方程没有实数根， 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 11．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有， 解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式． 根据二次函数图象的平移规律，求出平移后抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ∵抛物线与x轴交点处， ∴令，即． ∴或， 解得：∴，， ， 故答案为：5． 13．（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线． （1）的值为 ． （2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意可知，求出的值即可； （）由题意可知平移后函数解析式为，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可求解． 解：（）由题意可知， 解得， 故答案为：； （）由题意可知平移后函数解析式为， 当顶点在轴上时，， 解得，即需向上平移个单位长度，不符合条件； 由于抛物线关于对称， ∴抛物线在内对称， 若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与轴交点只能在， 故当时，，解得， 当时，，解得， ∴的取值范围是， 故答案为：． 14．（2025·江苏无锡·模拟预测）定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离．若，，则 ．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的两点之间的距离，二次函数的极值，二次函数与一次函数的交点问题， 先根据定义解答①；再根据两个图象没有交点求出b的取值范围，然后说明当A，B两点的横坐标相等时，即时，取最小值1，接下来根据二次函数的性质讨论最小值，并求出答案． 解：根据题意，得； ∵抛物线与直线没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， 解得． 设点， ∴． ∵抛物线与直线没有交点，且的最小值是1， ∴当A，B两点的横坐标相等时，即时，取最小值1， ∴． 当时，， 解得或（舍去）． 所以． 故答案为：8；． 15．（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知直线，将直线向上平移个单位后得到． （1）若的解析式为，则 ； （2）若点在的异侧，则取值范围是 ． 【答案】 2 【分析】本题综合考查了一次函数图象的平移规律以及点与直线位置关系的应用．第一问直接运用平移的“上加下减”原则，较为基础；第二问将函数与点的位置关系转化为不等式求解，熟练掌握以上解题技巧是解题的关键． （1）对于一次函数（k，b为常数，）的图象平移，遵循“上加下减”原则，即图象向上平移m个单位时，函数解析式变为；向下平移m个单位时，函数解析式变为，已知直线向上平移个单位后得到：，可根据平移规律求解t的值． （2）若两点在直线（A、B不同时为0 ）的异侧，则．先将化为一般式，再把点，代入并根据异侧条件列不等式求解t的取值范围． 解：（1）直线向上平移t个单位后，根据“上加下减”原则，其解析式变为， ∵的解析式为， ∴可得方程． 方程两边可消去，得到，移项可得； 故答案为：2； （2）把移项化为一般式为． ∵点，在的异侧， ∴，即． 令，则． 对于二次函数，二次项系数大于0，图象开口向上，不等式的解集为． 故答案为：． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，为等边三角形，，点D在上，，连接，点E为的中点，连接，点P为上一动点，连接，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了直角坐标系、等边三角形的性质、两点间距离公式、二次函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 取的中点为O，建立直角坐标系，则，,进而得到，即，易得；由两点间距离公式可得，则要使最大，则要使最小；再求得直线直线的解析式为，设，则，即；由，则当最小时，最小；然后运用二次函数的性质求最值可确定a的值，进而确定的最小值，最后代入化简即可 解：如图：取的中点为O，建立直角坐标系，则，, ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴,即, ∴， ∴要使最大，则要使最小， 设直线的解析式为, 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由点P为上，可设， ∴, ∴， ∵， ∴当最小时，最小， ∵的开口方向，对称轴为：， ∴当时，最小时，最小， ∴的最小值为, ∴ 故答案为： 三、解答题 17．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线． （1）当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； （2）已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】（1）；（2）且 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的增减性求解即可； （2）分别求得抛物线经过、两点时的h值，结合二次函数的对称性求解即可． 解：（1）解：由抛物线知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴，则h的最小值为1； （2）解：由题意得， 当抛物线经过点时， 解得或， 当抛物线经过点时， 解得或． 当时，抛物线同时经过点A和点B，不合题意， ， 则h的取值范围是，且． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； （2）如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【答案】（1）；（2）是， 【分析】（1）结合菱形的性质，得出，由勾股定理得，得到，再把代入进行计算，即可作答． （2）结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得因为点B，D在y轴的同侧，所以即，据此即可作答． 解：（1）解：设交y轴于点E， 设菱形的边长为， 则． 关于y轴对称， ． ， ， ， 把代入， 得， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为； （2）解：为定值．理由如下： 过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ． 【点拨】本题考查了二次函数的图象性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式． （2）当时，x的取值范围是_________． （3）点是线段上一点，过点作轴于点，交反比例函数于点，设点的横坐标为．设当为何值时，的面积最大？并求出最大值． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）或；（3）当时，的面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数图象的性质，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象求最值的计算方法是解题的关键． （1）将点代入得出，进而求得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）由题可知，，则进而表示出的面积，根据二次函数的性质，即可求解． 解：（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， ． 当时，， ， 一次函数过，两点， ，解得． ， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）由图象可知： 当时，的取值范围是或． （3）由题可知，， ， ，， 当时，的面积最大，最大值为． 20．（24-25八年级下·浙江金华·期末）某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． （1）求与之间的关系式； （2）是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． （3）当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 【答案】（1）；（2）利润不可能达到600元，理由见分析；（3）当（元/箱）时，销售利润最大值为450元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出，化简即可； （2）化简之后利用根的判别式求解即可； （3）先求出，再根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：由题意得， ∴与之间的关系式为． （2）解：由， 化简得：， ，方程无解， 销售利润不可能达到600元． （3）解：设， ∵， 当（元/箱）时，销售利润最大值为450元． 21．（2025九年级下·浙江金华·学业考试）已知二次函数（的实数） （1）二次函数图象的对称轴是______． （2）当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． （3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1）直线；（2）①；②；（3） 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式代入可得； （2）①根据平移可得，，关于对称轴对称，可得，求出的值，再代入当时的二次函数的解析式求出的值即可； ②根据点到轴的距离小于等于，确定的最小值和最大值，即可得出所有“亲密点”的的取值范围； （3）二次函数图象的对称轴直线为且开口向上，当时随值增大而减小，可知的最小值，然后分类讨论即可； 解：（1）解：∵二次函数（的实数）， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）①当时，二次函数为， ∵点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵点在抛物线上，且到轴的距离小于等于， ∴抛物线的图象开口向上，， ∴顶点处有最小值：当时，， 顶点处有最大值：当时，， 当时，， ∴的取值范围是； （3）当，时，需满足，则， ∵点，是二次函数图象上的两点， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，当时，随值增大而减小， 又∵， ∴当时，有最小值是， ∴， ∴，即， ∴或， ∴解得， 当时，则，解得：， 当时，则，解得：， ∴综上所述，的取值范围为． 【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质，函数的最值问题，不等式（组）的应用等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 22．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）抛物线与直线交于两点（在的左边）． （1）求两点的坐标． （2）如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． （3）如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 【答案】（1）；（2）2或；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； （2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案； （3）设，设直线解析式为，利用待定系数法可得，进而可得；求出直线解析式为，得到，同理可得，进一步可得，则，根据，可得，据此可得，，，即直线解析式为． 解：（1）解：联立，解得或， ∴； （2）解：设， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴点P的横坐标为2或； （3）解：设， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（此时的面积相等，不符合题意）， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 【中考真题16题】 一、单选题 1．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 2．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 3．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；根据抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，当时，，根据题意不能确定的符号，则C选项不一定成立． 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴当时，， ∵当时，， ∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ∴，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当时，，且当时，， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， ∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴当时，的符号不确定，即的符号不确定， ∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D． 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 5．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 6．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 二、填空题 7．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 8．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 9．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 10．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 11．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形， 设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为， 当时，如图， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时，如图， 则矩形菜园的总长为， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴当时，的值均小于； 综上，矩形菜地的最大面积是； 故答案为：． 12．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【答案】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 三、解答题 13．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． 解：（1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． （3）证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 14．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）见分析；（2）四边形面积的最大值为． 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 15．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … （1）求与的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】（1）；（2）网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米；（3） 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 解：（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 解：（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∴与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$