专题1.6 二次函数的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

专题1.6 二次函数的应用 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）图形问题 1 【题型1】图形面积问题 1 知识点（二）图形运动问题 2 【题型2】图形运动问题 3 知识点（三）拱桥问题 4 【题型3】拱桥问题 4 知识点（四）销售问题 5 【题型4】销售问题 5 知识点（五）投球问题与喷水问题 6 【题型5】投球问题 6 【题型6】喷水问题 7 知识点（六）增长率问题 8 【题型7】增长率问题 8 【题型8】其他问题 9 二．同步练习 10 1. 基础夯实（选择题4题，填空题4题，解答题6题） 10 2. 能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题6题） 15 3. 直通中考（6题） 20 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）图形问题 图形问题：涉及利用二次函数求几何图形的面积最值等问题。常见题型：（1）已知矩形相邻两边之和，求矩形面积最大值；（2）矩形场地一面靠墙，另外三边用篱笆围成，求矩形面积的最大值等. 解题思路：（1）根据题目条件设出相关变量，（2利用图形的面积公式、周长公式等建立二次函数关系式，（3）若涉及最值问题，可将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质求出最值，同时要注意自变量的取值范围，需结合实际图形的边长限制等条件确定。 【题型1】图形面积问题 【例题1】 （24-25九年级下·湖北孝感·期中）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． （1）请直接写出与，与的函数关系式； （2）当时，求垂直于墙的一边长； （3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 【变式1】（24-25九年级上·天津河东·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积不能为． 其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】 （24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，张大爷想用长为米的栅栏围成一个矩形的菜园，一边靠房屋外墙，已知房屋外墙长米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米． 知识点（二）图形运动问题 图形运动问题：通常与动点相关，在图形运动过程中，某些量与动点运动路程之间的函数关系； 解题思路：（1）分析动点的运动路径和速度，用运动时间表示出相关线段的长度，（2）根据图形的性质，找出所求量与时间的函数关系； 特别注意：对于复杂的图形，可能需要分情况讨论，根据动点在不同阶段的位置来确定函数关系式，最后根据函数性质解决问题。 【题型2】图形运动问题 【例题2】 （24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： （1）出发多少时间时，点之间的距离等于？ （2）面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【变式1】（2025·安徽池州·一模）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接，，．设点M运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，已知动点以的速度从点向点运动，动点的速度是点的倍，从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为 ． 知识点（三）拱桥问题 拱桥问题：以抛物线形状的拱桥为背景，求拱桥高度、跨度相关的问题. 解题思路：（1）建立合适的平面直角坐标系，一般以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立坐标系；（2）设出抛物线的顶点式，根据题目中给出的点的坐标，确定抛物线关系式；（3）根据问题求解. 【题型3】拱桥问题 【例题3】 （2025·河南南阳·三模）图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直平分的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且． （1）求门拱所在的抛物线表达式； （2）如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【变式2】 （2025·安徽滁州·一模）如图是某座抛物线型拱桥的示意图，已知水面宽为20米，抛物线最高点C到水面的距离为5米，景观灯D，E在该抛物线上，，若两盏灯之间的距离为米，则直线与的距离为 米． 知识点（四）销售问题 销售问题：主要是销售利润与销售价、销售量之间的关系经济问题，是中考最常见考点. 解题思路：通过建立二次函数模型，求商场每天的销售利润与每件销售价的函数关系式，进而求出获得最大利润时的销售价，或者已知利润求售价等. 【题型4】销售问题 【例题4】 （2025·辽宁抚顺·模拟预测）某经销商销售一种成本价为元千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元千克，在销售过程中发现日销量（千克）与售价（元千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表： （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）小澎同学说若销售这种商品天，可以获得总利润元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由． 【变式1】（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】 （2025·河南郑州·一模）河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为元箱，当销售价为元箱时，每天可售出箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价元，平均每天可多售出箱． （1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利元． （2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多． 知识点（五）投球问题与喷水问题 解题思路：在二次函数的应用中，投球问题和喷水问题本质上是同一类模型 ——抛物线运动轨迹模型（物体运动或液体喷射的轨迹可抽象为抛物线）。两者的核心是通过建立二次函数关系，解决与 “高度”“水平距离” 相关的实际问题. 【题型5】投球问题 【例题5】 （23-24九年级下·甘肃兰州·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线，当足球飞行的水平距离为6米时，足球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高为米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求y关于x的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽路其他因素）？ （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方米处？ 【变式1】（2025·河南南阳·二模）从某一高度自由下落的小球离地面的高度与下落时间满足关系式，它的图象如图所示，点为其图象上一点．小球下落过程中的速度与小球离的距离满足关系式，已知该小球到达地面的速度超过时会对地面造成伤害，则下列说法错误的是（   ） A．小球开始下落时离地面的高度为 B．小球落地 C．小球不会对地面造成伤害 D．第时小球的速度为 【变式2】 （2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 【题型6】喷水问题 【例题6】（2025·陕西西安·模拟预测）某乡间民宿的院子里安装了一个喷泉装置，喷泉底座安装在点O处，喷泉的出水口为点B，且．如图，这是喷泉喷水时的截面示意图，根据实际情况调整喷泉落地点A，使点A到底座O的距离为．以过点O并垂直于地面的直线为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷泉在y轴两侧的水流最高点C与之间的距离为，喷泉水流近似抛物线． （1）求点C所在抛物线的函数表达式． （2）现打算在喷泉内侧增加圆形花架作为点缀，花架的直径为，花架的中心在喷泉所在的抛物线的对称轴上．为了不影响美观，喷泉与花架上边缘的距离至少保持，则花架的最大高度为多少？ 【变式1】（2025·天津河北·二模）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶． 知识点（六）增长率问题 增长率问题：常用于解决与营业额、产量等相关的增长率问题; 解题思路：（1）明确变量与模型；（2）建立二次函数关系；（3）转化为函数最值问题. 【题型7】增长率问题 【例题7】 （22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【变式1】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 【题型8】其他问题 【例题8】 （2025·河南驻马店·三模）太阳能的特点是巨大、清洁、取之不尽．如图，小明所在的学习小组自制了一个太阳能灶，太阳能灶的关键部件是聚光镜，其截面类似抛物线，我们称之为抛物面．如图，A为抛物面的顶点，当点A与水平地面的距离为时，测得抛物面两端B，C相距，且离地面均为．以O为坐标原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物面的表达式； （2）太阳光线经抛物面反射后集中聚焦在焦点处，将水壶置于焦点位置时，可达到加热的目的．经了解，当太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等时，加热效果最好，请判断该学习小组自制的太阳能灶是否满足该条件，并说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（   ） A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5 【变式2】（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题4题，填空题4题，解答题6题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·海南海口·期末）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为，写出S与x之间的函数表达式 ．（化为一般式，不写x的取值范围） 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 7．（2025·甘肃·一模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 ． 8．（2025·山东菏泽·一模）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 三、解答题 9．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 10．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 11．（24-25八年级下·福建福州·期末）八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以元/朵的价格从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种玫瑰花日销售量y（朵）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价x/元 10 12 14 16 日销售量y/朵 36 32 28 24 小惠判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题： （1）求y关于x的函数解析式： （2）当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润； （3）爸爸要求小惠日销售利润不低于180元，请直接写出销售单价x的取值范围______． 12．（24-25九年级下·全国·假期作业）【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 （1）求a的值； （2）现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 13．（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … （1）将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； （2）当行驶速度为时，求刹车距离S； （3）疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 14．（2025·黑龙江大庆·二模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． （1）每件商品在第50天出售时的利润是______元； （2）求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； （3）若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 2. 能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题6题） 一、单选题 1．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成．若菜地的最大面积为，则a的值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．10或30 2．（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（   ） A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米 3．（2025·天津河北·一模）销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论： ①小球在空中经过的路程是40； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为6； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（2025·甘肃定西·三模）某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面，且最高点到立柱的水平距离为．为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的（两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为的支架．建立了如图所示的平面直角坐标系，与之间的距离是 m． 6．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 7．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 8．（2025·甘肃平凉·一模）年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．问x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 10．（2025·河南驻马店·三模）公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）． 11．（2025·湖北武汉·模拟预测）“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； （3）馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 13．（2025·山西临汾·三模）综合与实践 如图，这是一个直角三角形斜坡截面，，，，坡面上有一根标杆（标杆粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点B不重合，），现在斜坡点A处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 … y 3 3 … （1）求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标． （2）若喷水管喷出的水流恰好经过标杆的顶部点N． ①求标杆的最大高度； ②若点A到M，N两点的距离相等，求点N的坐标． 14．（2025·贵州铜仁·三模）【问题背景】某体育社团开展跳大绳游戏活动，两个摇绳的同学手，之间相距，绳子在摇动过程中呈抛物线形状且轨迹保持不变，当手摇绳子到最上方时，绳子的最高点距地面，握绳的手距离地面，当摇绳两端的手更高时，绳子整体也会相应更高． 【模型抽象】以人站立的地面为轴，绳子最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 （1）求抛物线解析式； （2）若参加跳绳的人身高均为，人与人之间的距离为，最多能有多少人同时参与跳绳（除摇绳人外）？ （3）在（2）的条件下，由于还有1名同学没能同时参与跳绳，若加入这名同学，在不改变摇绳两端的水平距离和绳长的情况下，只需将两端向上移即可，则的值应满足什么条件？ 3. 直通中考（6题） 1．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 2．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 3．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 4．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 5．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 6．（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 二次函数的应用 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）图形问题 1 【题型1】图形面积问题 1 知识点（二）图形运动问题 5 【题型2】图形运动问题 5 知识点（三）拱桥问题 8 【题型3】拱桥问题 9 知识点（四）销售问题 12 【题型4】销售问题 12 知识点（五）投球问题与喷水问题 15 【题型5】投球问题 15 【题型6】喷水问题 19 知识点（六）增长率问题 22 【题型7】增长率问题 22 【题型8】其他问题 24 二．同步练习 28 1. 基础夯实（选择题4题，填空题4题，解答题6题） 28 2. 能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题6题） 40 3. 直通中考（6题） 55 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）图形问题 图形问题：涉及利用二次函数求几何图形的面积最值等问题。常见题型：（1）已知矩形相邻两边之和，求矩形面积最大值；（2）矩形场地一面靠墙，另外三边用篱笆围成，求矩形面积的最大值等. 解题思路：（1）根据题目条件设出相关变量，（2利用图形的面积公式、周长公式等建立二次函数关系式；（3）若涉及最值问题，可将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质求出最值，同时要注意自变量的取值范围，需结合实际图形的边长限制等条件确定. 【题型1】图形面积问题 【例题1】 （24-25九年级下·湖北孝感·期中）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． （1）请直接写出与，与的函数关系式； （2）当时，求垂直于墙的一边长； （3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）；；（2）垂直于墙的一边长为；（3）当垂直于墙的一边长为时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为 【分析】本题考查二次函数解实际应用题，涉及求一次函数与二次函数表达式、二次函数最值等知识． （1）根据题意，表示出长方形的长与宽，根据矩形面积公式即可得到二次函数表达式，由墙的最大可用长度为即可确定自变量的取值范围； （2）令，解方程即可解题； （3）由（1）中得到函数关系式，利用二次函数图像与性质，在自变量范围内讨论求出其最值即可得到答案． 解：（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：当时，， 解得，， ∵， ∴， 答：垂直于墙的一边长为； （3）解：∵， 解得， ∴， ， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小， ∴当时，， 答：垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为． 【变式1】（24-25九年级上·天津河东·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积不能为． 其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 【变式2】 （24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，张大爷想用长为米的栅栏围成一个矩形的菜园，一边靠房屋外墙，已知房屋外墙长米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，又墙长为米，从而可得，故，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 解：由题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为米， ∴． ∴． 又菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是， 即垂直于墙的边长为米时，可围成的菜园的最大面积是平方米． 故答案为：． 知识点（二）图形运动问题 图形运动问题：通常与动点相关，在图形运动过程中，某些量与动点运动路程之间的函数关系； 解题思路：（1）分析动点的运动路径和速度，用运动时间表示出相关线段的长度，（2）根据图形的性质，找出所求量与时间的函数关系； 特别注意：对于复杂的图形，可能需要分情况讨论，根据动点在不同阶段的位置来确定函数关系式，最后根据函数性质解决问题。 【题型2】图形运动问题 【例题2】 （24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： （1）出发多少时间时，点之间的距离等于？ （2）面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】（1）出发时间时，点之间的距离等于；（2）面积的有最大值，此时时间是秒 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键． （1）设出发时间时，点之间的距离等于，根据勾股定理列方程并解方程即可； （2）根据题意得到面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可． 解：（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于， 依题意有， 解得（不合题意舍去）． 答：出发时间时，点之间的距离等于； （2）依题意有， ， ∴面积的有最大值，此时时间是秒． 【变式1】（2025·安徽池州·一模）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接，，．设点M运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），依据题意正确列出函数解析式并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，点M在上，点N在上，设，则，进而可得，然后根据二次函数的图象与系数的关系及的图象与性质即可得出答案． 解：由题意知，点M在上，点N在上， 设，则， ， ， 该二次函数的图象开口向上， 当时，取得最小值，最小值为， 观察各选项可知，选项符合题意， 故选：． 【变式2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，已知动点以的速度从点向点运动，动点的速度是点的倍，从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为 ． 【答案】96 【分析】由题意可知：：：，设，则，过点作垂直于的延长线于点，过点作垂直于的延长线于点，由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为12，得出，则，在中，，得出，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解． 解：由题意可知：：：，设，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， ，则， ， 在中，， ， 则，化简得：， 由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为12， ， ， 为正数， ， ，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，则， ， ， ． 故答案为：96． 【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 知识点（三）拱桥问题 拱桥问题：以抛物线形状的拱桥为背景，求拱桥高度、跨度相关的问题。 解题思路：（1）建立合适的平面直角坐标系，一般以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立坐标系；（2）设出抛物线的顶点式，根据题目中给出的点的坐标，确定抛物线关系式；（3）根据问题求解。 【题型3】拱桥问题 【例题3】 （2025·河南南阳·三模）图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直平分的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且． （1）求门拱所在的抛物线表达式； （2）如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度． 【答案】（1）抛物线的表达式为 y =+5；（2）悬挂标语框时脚手架的高度最低为米 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的二次函数解析式是解决本题的关键；易错点是判断出悬挂位置处的点的横坐标． （1）先求出点B和点D的坐标，设抛物线解析式为：，把点B和点D的坐标代入可得a和h的值； （2）根据点A，B关于y轴对称，，求出点A的坐标，设点 E 右侧处为点I，从而得到I的坐标，求出时的高度，减去即可． 解：（1）解：垂直平分， ， ， 且 ， ， 设抛物线的表达式为， 将 分别代入得 ， ， 抛物线的表达式为； （2）由题意可知，点A，B关于y轴对称，， ， 设点 E 右侧处为点I， 则， 当时，， 米， 答：悬挂标语框时脚手架的高度最低为米． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案． 解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∵， ∴当水面上升2米后，宽度变为米， 故选：B． 【变式2】 （2025·安徽滁州·一模）如图是某座抛物线型拱桥的示意图，已知水面宽为20米，抛物线最高点C到水面的距离为5米，景观灯D，E在该抛物线上，，若两盏灯之间的距离为米，则直线与的距离为 米． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标，即可得出结果． 解：以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意，得：， ∵，两盏灯之间的距离为米， ∴点的横坐标为：， 设抛物线的解析式为：，把代入解析式，得： ， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴直线与的距离为4； 故答案为：4． 知识点（四）销售问题 销售问题：主要是销售利润与销售价、销售量之间的关系经济问题，是中考最常见考点. 解题思路：通过建立二次函数模型，求商场每天的销售利润与每件销售价的函数关系式，进而求出获得最大利润时的销售价，或者已知利润求售价等. 【题型4】销售问题 【例题4】 （2025·辽宁抚顺·模拟预测）某经销商销售一种成本价为元千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元千克，在销售过程中发现日销量（千克）与售价（元千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表： （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）小澎同学说若销售这种商品天，可以获得总利润元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）错误，见分析． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，二次函数的应用，求出相应的函数关系式是解题的关键． （）由已知设与之间的函数表达式，把，，代入即可求解； （）设每天利润为元，则，即，然后通过二次函数的性质即可求解． 解：（1）解：由已知设与之间的函数表达式， 把，，代入得， 解得， ∴； （2）解：小澎同学的说法是错误的， 理由如下，设每天利润为元， ∴， 即， ∵，抛物线开口向下， ∴当元时，每天利润最大元， ∵， ∴他的说法是错误的． 【变式1】（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 【变式2】 （2025·河南郑州·一模）河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为元箱，当销售价为元箱时，每天可售出箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价元，平均每天可多售出箱． （1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利元． （2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正确掌握相关性质是解题的关键． （）设每箱石榴降价元，再表示出单件利润和销售量，然后根据单件利润乘以销售量等于列出方程，求出解即可； （）设利润为，即可得出关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可求解． 解：（）设每箱石榴降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或； （）设利润为， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，利润有最大值，为元， 故答案为：． 知识点（五）投球问题与喷水问题 解题思路：在二次函数的应用中，投球问题和喷水问题本质上是同一类模型 ——抛物线运动轨迹模型（物体运动或液体喷射的轨迹可抽象为抛物线）。两者的核心是通过建立二次函数关系，解决与 “高度”“水平距离” 相关的实际问题。 【题型5】投球问题 【例题5】 （23-24九年级下·甘肃兰州·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线，当足球飞行的水平距离为6米时，足球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高为米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求y关于x的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽路其他因素）？ （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方米处？ 【答案】（1），球不能射进球门；（2）当时他应该带球向正后方移动2米射门 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入平移后的解析式中即可求解． 解：（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入到得， 解得：或（舍去） ∴当时他应该带球向正后方移动2米射门． 【变式1】（2025·河南南阳·二模）从某一高度自由下落的小球离地面的高度与下落时间满足关系式，它的图象如图所示，点为其图象上一点．小球下落过程中的速度与小球离的距离满足关系式，已知该小球到达地面的速度超过时会对地面造成伤害，则下列说法错误的是（   ） A．小球开始下落时离地面的高度为 B．小球落地 C．小球不会对地面造成伤害 D．第时小球的速度为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确地列出函数关系式是解题的关键．根据题意和二次函数的性质逐个选项进行判断，即可求解． 解：A、把代入得：， 解得：， 小球开始下落时离地面的高度为， 故A选项说法正确； B、由上可知，， 把代入得：， 小球落地， 故B选项说法正确； C、由题意得，小球落地时离的距离， 代入得：， ， 小球会对地面造成伤害， 故C选项说法错误； D、把代入得：， 第时小球离地面的高度为， 第时小球离的距离， 代入中得：， ， 第时小球的速度为， 故D选项说法正确； 综上所述，故选：C． 【变式2】 （2025·浙江宁波·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 【题型6】喷水问题 【例题6】（2025·陕西西安·模拟预测）某乡间民宿的院子里安装了一个喷泉装置，喷泉底座安装在点O处，喷泉的出水口为点B，且．如图，这是喷泉喷水时的截面示意图，根据实际情况调整喷泉落地点A，使点A到底座O的距离为．以过点O并垂直于地面的直线为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷泉在y轴两侧的水流最高点C与之间的距离为，喷泉水流近似抛物线． （1）求点C所在抛物线的函数表达式． （2）现打算在喷泉内侧增加圆形花架作为点缀，花架的直径为，花架的中心在喷泉所在的抛物线的对称轴上．为了不影响美观，喷泉与花架上边缘的距离至少保持，则花架的最大高度为多少？ 【答案】（1）；（2）花架的最大高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）首先根据题意求出点B的坐标为，点C的坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，然后将当代入解析式求解即可． 解：（1）由题意，得， ∴点C所在抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点B的坐标为，点A的坐标为． 设点C所在抛物线的函数表达式为． ∵， ∴． 将点代入表达式，得， 解得， ∴点C所在抛物线的函数表达式为； （2）∵花架的直径为，且抛物线的对称轴为直线， ∴当时，． ∵喷泉与花架上边缘的距离至少保持， ∴花架的最大高度为． 【变式1】（2025·天津河北·二模）如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定①；求出抛物线的顶点坐标可判定②；求出喷头的坐标可判定③，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．先建立直角坐标系，求出函数解析式，根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 解：先以所在直线为轴建立直角坐标系，二次函数的图像过，设抛物线的解析式为， ， ， 抛物线解析式为：， 当时，， 当时，， 桶高米，设可以摆放个桶 ， 解得， 故至少要摆个桶， 故答案为：． 知识点（六）增长率问题 增长率问题：常用于解决与营业额、产量等相关的增长率问题; 解题思路：（1）明确变量与模型；（2）建立二次函数关系；（3）转化为函数最值问题. 【题型7】增长率问题 【例题7】 （22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 解：（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【变式1】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，理解题意找到题目中的等量关系是关键． 每年的增长率都为，第一年后的产量是件，即可得第二年后的产量是，即可求解． 解：根据题意，第一年后的产量是件， 第二年后的产量．即． 故答案为：． 【题型8】其他问题 【例题8】 （2025·河南驻马店·三模）太阳能的特点是巨大、清洁、取之不尽．如图，小明所在的学习小组自制了一个太阳能灶，太阳能灶的关键部件是聚光镜，其截面类似抛物线，我们称之为抛物面．如图，A为抛物面的顶点，当点A与水平地面的距离为时，测得抛物面两端B，C相距，且离地面均为．以O为坐标原点，水平地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物面的表达式； （2）太阳光线经抛物面反射后集中聚焦在焦点处，将水壶置于焦点位置时，可达到加热的目的．经了解，当太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等时，加热效果最好，请判断该学习小组自制的太阳能灶是否满足该条件，并说明理由． 【答案】（1）；（2）满足，理由见分析 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的实际应用，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设抛物面的表达式为，将将，代入中求解，即可解题； （2）设太阳光线照射在抛物面上的点为，则点P到地面的距离为，利用勾股定理求出并判断，即可解题． 解：（1）解：设抛物面的表达式为， 依题意可得，抛物面的顶点坐标为，且过点， 将，代入中， 得， 解得， 抛物面的表达式为； （2）解：满足； 理由如下：设太阳光线照射在抛物面上的点为，则点P到地面的距离为， ， ， ， ， 点P到地面的距离等于的长，即该学习小组自制的太阳能灶满足太阳光线照射在抛物面上的点到地面的距离与其到焦点的距离相等． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（   ） A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案． 解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B中的满足条件， 故选：B． 【变式2】（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 【答案】10 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题4题，填空题4题，解答题6题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·海南海口·期末）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意列出二次函数解析式即可． 解：由题意得，与的函数解析式为， 故选：D ． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 3．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答． 解：设， 把代入中得：， ； 设， 把代入中得： ， 解得：， ； 设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元， 由题意得： ， ， 当时，， ， 当时，， 能获取的最大总利润是万元， 故选：D． 4．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键； 将抛物线化为顶点式即可解决问题. 解：∵， ∴当时，； 故选：B. 二、填空题 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为，写出S与x之间的函数表达式 ．（化为一般式，不写x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可知：，，利用矩形面积公式列式即可求出，解题的关键是找到所给面积的等量关系． 解：由题意可知：， ∴； 由矩形面积公式得： ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．核心知识点是利用二次函数模型解决最值问题．解题关键在于建立正确的二次函数表达式，通过分析函数对称轴与开口方向，结合自变量实际取值范围，求出日营业收入最大时的房价．设房价提高x个10元，日营业收入为y元，进而构建日营业收入的二次函数关系式．再依据二次函数性质，找到对称轴，结合房价的取值范围，确定使日营业收入最大的房价． 解：设房价提高x个10元，日营业收入为y元． 此时房价为元，日均入住数为间． 日营业收入，展开并整理： 对于二次函数，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值． 对称轴为． 当时，房价为元，且150元在元范围内． 综上，该宾馆将标准房价格提高到150 元时，客房的日营业收入最大， 故答案为：150． 7．（2025·甘肃·一模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 因为，所以抛物线的顶点坐标为， 得到当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案． 解：， 抛物线的顶点坐标为， 当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是， 故答案为：． 8．（2025·山东菏泽·一模）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．首先利用图标得出一组对称点，然后利用二次函数对称轴与顶点（最值）得出即可． 解：由，可知抛物线的对称轴为直线， 故当时，植物生长的温度最快． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，表示出剩余面积的长和宽，结合面积关系列出式子，即可作答 解：∵一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路， ∴剩余面积的长和宽分别为 ∴ 10．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 【答案】（1）；（2）米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 解：（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 11．（24-25八年级下·福建福州·期末）八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以元/朵的价格从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种玫瑰花日销售量y（朵）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价x/元 10 12 14 16 日销售量y/朵 36 32 28 24 小惠判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题： （1）求y关于x的函数解析式： （2）当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润； （3）爸爸要求小惠日销售利润不低于180元，请直接写出销售单价x的取值范围______． 【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）当时，最大，最大值为元；（3）日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法，二次函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可； （2）销售单价x元，则每朵的利润为元，设销售利润为，由此列式，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）根据（2）中的利润，当时，，结合二次函数图象即可求解． 解：（1）解：y与x是一次函数关系，设， ∴， 解得，， ∴y关于x的函数解析式为： （2）解：销售单价x元，则每朵的利润为元， 设销售利润为， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为元； （3）解：∵， ∴当时，， 整理得，， 解得，，即， ∵，函数图象开口向下， ∴日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为． 12．（24-25九年级下·全国·假期作业）【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 （1）求a的值； （2）现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【答案】（1）；（2）米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 解：（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米； 13．（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … （1）将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； （2）当行驶速度为时，求刹车距离S； （3）疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 【答案】（1）图见分析；；（2）刹车距离为；（3）汽车原速度为 【分析】此题考查了画函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量的值，正确掌握函数知识是解题的关键． （1）根据表格，描点、连线即可得出相应图象；然后设，利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）根据题意确定，然后代入求解即可； （3）根据题意得出疲劳驾驶下反应距离，确定，求解即可． 解：（1）解：图象如图所示： ∴设，将点，代入得： ， 解得 故． （2）由题意：， 则 当时，． 故刹车距离为． （3）疲劳驾驶下反应距离 由题意：， 解得 故汽车原速度为． 14．（2025·黑龙江大庆·二模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． （1）每件商品在第50天出售时的利润是______元； （2）求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； （3）若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【答案】（1）100；（2）；（3）从开始销售的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用． （1）当时，设y与的函数关系式为，图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后将求得y的值，然后依据利润售价成本求解即可； （2）当时，设y与的函数关系式为．图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后结合（1）中的关系式可得到y与的关系式； （3）抛物线的顶点坐标为，设商品的成本与时间的关系式为，然后可求得的解析式，然后由得到与的函数关系式，最后，依据二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得：，， ， 当时，， ． 故答案为：100； （2）解：由（1）知，当时， 当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得，， 与的关系式为． 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：设商品的成本与时间的关系式为． 将代入得：， ， ， 当时，取最大值为100， 元． 答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元． 2. 能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题6题） 一、单选题 1．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成．若菜地的最大面积为，则a的值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用．已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，求当时，的范围，进而即可得到a的值，即可回答问题 解：设，则，劳动教育基地的面积为y， 根据题意得：， ∵墙的最大长度为， ∴， ∵最大值， ∴，即或（不合题意舍去）， ∴． 故选：A． 2．（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（   ） A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际问题，先计算出水面的纵坐标，然后求出水位上升2.7米后，点，的横坐标，然后求出水面宽即可． 解：∵水面宽米， ∴点的横坐标为， ∴， 当水位上升2.7米后，， 令，则， 解得，， ∴水面宽等于， 故选：A． 3．（2025·天津河北·一模）销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元，则每件商品的利润为元，销售量为件，据此列出w关于x的函数关系式，再逐一判断即可得到答案． 解：设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元， 由题意得，， ∵， ∴当，即时，w最大，最大值为1800， ∴售价为40元时，每月总利润最高，为1800元，故①错误； 当时， ， ∴售价上升5元时，每月总利润为1750元，故②正确； 当时， ， 当时， ， ∴售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，故③正确； 故选：C． 4．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论： ①小球在空中经过的路程是40； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为6； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点，读懂函数图象是解题的关键． 根据函数的图象中的信息判断即可． 解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m； 故①错误； ②设函数解析式为：， 把代入得， 解得， 函数解析式为， 故②错误； ③令，， 解得：或6， 小球的运动时间为， 故③正确； ④把代入解析式得，， 解得：或， 小球的高度时，t为秒或秒， 故④错误； 综上，正确的只有一个， 故选A． 二、填空题 5．（2025·甘肃定西·三模）某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面，且最高点到立柱的水平距离为．为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的（两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为的支架．建立了如图所示的平面直角坐标系，与之间的距离是 m． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是用待定系数法求出函数关系式． 由题意得，右侧抛物线顶点坐标为，再把抛物线设为顶点式，然后代入，求出a值，即可得到抛物线解析式，然后把人攻求出x，即可得到点E坐标，又由点C、E关于对称，求得点C坐标，即可求出的长． 解：由题意得，右侧抛物线顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得：， ∴该抛物线解析式为， 当时，则， 解得：，， ∴， ∵点C、E关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 【答案】2450 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键；先求出每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，再求出日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，根据日销售利润等于日销售数量与每件利润的积，得到二次函数，由二次函数的性质求出最大值即可． 解：设每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图1知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得， ∴； 设日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图2知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得：， ∴； 设日销售利润为w，则， 即， ∵， ∴当时，有最大利润，且最大利润为2450元； 故答案为：2450． 7．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点的k值，利用数形结合思想得出答案．先求得点A、C的坐标，再得到直线过定点，分别求出直线经过点C、A以及与抛物线相切时的k值，结合图象，即可得出答案． 解：令，由解得，， 令，则， ∴，， ∵当时，， ∴直线经过定点， 如图， 当直线经过点C时，由得，此时直线与图象G有两个交点， 当直线与抛物线相切时， 由得， 由解得，， 当直线经过点A时，由得，此时直线与图象G有一个交点， 由图可知，当，直线与图象G有两个交点， 故答案为：． 8．（2025·甘肃平凉·一模）年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令即，然后解一元二次方程即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 解：令， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点到轴的水平距离是， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．问x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】当米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米 【分析】本题考查二次函数的应用，由题意得，，则，即可求解； 解：由题意得，， ∴， ∴当米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米． 10．（2025·河南驻马店·三模）公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）由题意可得顶点的坐标为，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可得悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，把代入（）所得函数解析式求出的值进而即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 解：（1）解：由题意可得，顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵普通货车的高度大约为，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于， ∴悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， 解得， ∴灯带的最大安装长度是． 11．（2025·湖北武汉·模拟预测）“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 【答案】（1）38，10840；（2）见分析；当或360时有最大值元；（3）见分析；，且为10的整数倍. 【分析】（1）由题意，民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，进而可以租出去38个房间，进而求出利润； （2）设利润为元，则，由于 为10的整数倍及二次函数的性质可以判定得解； （3）由题意，令，则当或，又获利润不低于10360元，则，又该民宿空闲房间数不能超过20间，故，进而可以判定求解. 解：（1）解：由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴ ∴ ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间； ∴此时利润（元） 故答案为：38，10840； （2）由题意，设利润为元， ∴ ∵ ∴开口向上，对称轴为直线， 又∵ 为10的整数倍， ∴当或时，有最大值 （3）由题意，令 ∴或 又∵所获利润不低于10360元， ∴ ∵该民宿空闲房间数不能超过20间 ∴ 解得： ∴，且为10的整数倍. 【点拨】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式等相关知识和内容，解题时要熟练掌握并能灵鹤运用二次函数的性质是关键. 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； （3）馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线的解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出B的坐标，然后根据待定系数法求出第二次运行路线的解析式，然后把代入求解即可； （3）把和代入第二次运行的抛物线解析式，解方程求出的值，即可求解． 解：（1）解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为． ∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴乒乓球到轴的距离为或； （3）解：把代入，得， 解得，（舍去） 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 13．（2025·山西临汾·三模）综合与实践 如图，这是一个直角三角形斜坡截面，，，，坡面上有一根标杆（标杆粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点B不重合，），现在斜坡点A处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 … y 3 3 … （1）求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标． （2）若喷水管喷出的水流恰好经过标杆的顶部点N． ①求标杆的最大高度； ②若点A到M，N两点的距离相等，求点N的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为；（2）①的最大值为；②点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，结合表格数据可得，抛物线的对称轴是直线，则该抛物线的顶点坐标为，故可设该抛物线的解析式为，再将点代入得，解得，进而可以判断得解； （2）①依据题意，设直线的解析式为，又将，代入得，可得直线的解析式为，又设点的坐标为，则的坐标为，故，进而可以判断得解； ②依据题意，过点作于点，连接，又设，则点的坐标为，由得为中点，即，又，则，可得，然后将点的坐标代入抛物线的解析式得，求出后即可判断得解． 解：（1）解：由题意可得该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为． 将点代入得，解得， 该抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）解：①设直线的解析式为． 将，代入得解得 即直线的解析式为． 设，则， ， 当时，的最大值为． ②如图，过点作于点，连接，设，则． 由得为中点，即． ， ，即． 将点坐标代入抛物线解析式得， 整理方程得， 解得（舍去），， 故点的坐标为． 14．（2025·贵州铜仁·三模）【问题背景】某体育社团开展跳大绳游戏活动，两个摇绳的同学手，之间相距，绳子在摇动过程中呈抛物线形状且轨迹保持不变，当手摇绳子到最上方时，绳子的最高点距地面，握绳的手距离地面，当摇绳两端的手更高时，绳子整体也会相应更高． 【模型抽象】以人站立的地面为轴，绳子最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 （1）求抛物线解析式； （2）若参加跳绳的人身高均为，人与人之间的距离为，最多能有多少人同时参与跳绳（除摇绳人外）？ （3）在（2）的条件下，由于还有1名同学没能同时参与跳绳，若加入这名同学，在不改变摇绳两端的水平距离和绳长的情况下，只需将两端向上移即可，则的值应满足什么条件？ 【答案】（1）；（2）9人；（3）的值应超过 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得抛物线解析式是解题关键． （1）由已知确定顶点，，设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，解方程即可求出x的值； （3）设出平移后的解析式为，然后求出绳高不低于的水平距离大于等于，求出t的取值范围． 解：（1）解：由题意可设抛物线解析式为，且抛物线过点和点， 则有： 解得： 抛物线解析式为 （2）解：当时有，解得： 当时，则有一个同学在原点处，其两侧均有4个同学，与最远端同学相距， 此时可有9个同学同时参加跳绳． （3）解：由（2）可知，再增加1个同学即有10个同学，此时没有人能站在原点处， 故原点两侧的同学距原点，所以最远端到原点距离为， 解得 即的值应超过即可． 3. 直通中考（6题） 1．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】（1）；；（2）能，；（3）的最大值为800，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 解：（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 2．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】（1）；（2）能安全通过，见分析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 解：（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 3．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；（2）至少需要购进B款纪念品200个；（3），W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 解：（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 4．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 5．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】（1）；（2）不能，理由见分析；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 解：（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点拨】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 6．（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】（1）；（2）这根材料的长度够用 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 解：（1）解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$