精品解析：北京市第十五中学2025届高三上学期8月阶段测试数学试卷

北京十五中高三年级阶段测试数学试卷 2024.8 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共48分） 一、选择题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合描述求集合，应用集合交运算求交集即可. 【详解】，或， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用集合交运算求交集，属于简单题. 2. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质计算即可. 【详解】由于是等比数列，且，， 所以， 故选：C. 3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，赋值，如，即可判断A、B、C，再根据基本不等式即可判断D. 【详解】解：由，令， 则，则，故A错误； 则，则，故B错误； 则，则无意义，故C错误； 因为，则，所以. 故选：D. 4. 下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A中，函数，所以函数为奇函数，不符合题意； 对于B中，函数满足，所以函数为偶函数， 当时，函数为上的单调递增函数，符合题意； 对于C中，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D中，为偶函数，当时，函数为单调递减函数，不符合题意， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 5. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用导数公式和运算法则求解. 【详解】A. 由导数公式得，故正确； B. 由导数运算法则得，故错误； C. 由导数公式得，故正确； D. 由导数公式得，故正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查导数公式和运算法则的应用，属于基础题. 6. 已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以在上单调递增，无最小值， 根据题意，存在最小值， 所以，即. 故选：A. 7. 的二项展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为3，求出，从而可求得结果. 【详解】解：的通项公式为：， 令，可得， 所以二项展开式中的系数：． 故选：B． 8. 若函数，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知为奇函数且在上单调递增，分析可知等价于，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知， 若，同理可得，所以为奇函数， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知在上单调递增， 若，等价于，等价于，等价于， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 9. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得. 【详解】由，故，故， 由对勾函数性质可得， ，且， 综上所述，有. 故选：C. 10. 已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意设，， 由，所以，则， 又，且， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 故选：C 11. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 72 B. 73 C. 74 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为74. 故选：C. 12. 已知数列满足则（ ） A. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 B. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，对于任意正整数，存在，使得 【答案】D 【解析】 【分析】直接构造反例即可说明A和B错误；然后证明引理：当时，对任意的正整数，都存在，使得. 最后由该引理推出C错误，D正确. 【详解】当时，，，所以此时不是递增数列，A错误； 当时，，，，所以此时不是递减数列，B错误； 我们证明以下引理：当时，对任意的正整数，都存在，使得. 若该引理成立，则它有两个直接的推论： ①存在，使得对任意的正整数，都存在，使得； ②当时，对任意的正整数，都存在，使得. 然后由①是C的否定，故可以说明C错误；而②可以直接说明D正确. 最后，我们来证明引理： 当时，对任意确定的正整数： 如果，则； 如果，则或. 此时若，则； 若，则. 无论哪种情况，都有，从而. 这说明或，所以可以选取，使得. 这就说明存在，使得. 这就证明了引理，从而可以推出C错误，D正确. 故选：D. 【点睛】最关键的地方在于引理：当时，对任意的正整数，都存在，使得. 这一引理可以帮助我们判断出较难判断的C和D选项. 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 函数的定义域是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】求使函数有意义的的范围即为定义域，逐项求解即可. 【详解】解：由题意得，解得且， 故函数的定义域为且. 故答案为：且 14. 已知复数，则___． 【答案】 【解析】 【分析】先计算复数，再根据复数的模的定义求结果. 【详解】由，故. 故答案为： 15. 已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是__________，__________. 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】只要找到一组满足题意的角即可. 【详解】因为为第一象限角，且， 取，则且在第一象限， 此时， 故命题为假命题，满足题意， 所以的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）. 16. 已知向量，满足，，且，则___________. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】由向量模长的计算和数量积计算即可. 【详解】， ， ， 故答案为：. 17. 在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出等差数列的首项，直接求出的通项公式即可，利用数列的单调性得最小项为或，利用累加法即可求解. 【详解】由题意，又等差数列的公差为1，所以； 故，所以当时，，当时，， 所以，显然的最小值是或. 又，所以 ，即的最小值是. 故答案为：， 18. 已知函数的值域是，若，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出在上单调递增，在上单调递减，然后作出与在上的图象，求出在上的值域，再结合图象可求得结果. 【详解】当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为， 作出与在上的图象如图所示： 当，时，，此时， 此时， 因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知, 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 三、解答题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 19. 在中，，是边上的点，，，. （1）求cos B与的面积； （2）求边AC的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理与面积公式计算即可得； （2）借助正弦定理计算即可得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，∵，∴， 在中，由正弦定理得， 即. 20. 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表． 高二 成绩分组 频数 规定成绩不低于90分为“优秀”． （1）估计高一年级知识竞赛的优秀率； （2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列； （3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差的大小关系．只需写出结论 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接求解即可； （2）先分别求出在高一、高二年级学生中选中成绩优秀学生概率和不优秀学生的概率，由题意可知的所有可能取值为0，1，2，然后求出对应的概率，从而可求出随机变量的分布列； （3）由题意可知X，Y均符合两点分布，从而可求出的值，进而可比较大小. 【小问1详解】 高一年级知识竞赛的优秀率为． 所以高一年级知识竞赛的优秀率为 【小问2详解】 在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为，选中成绩不优秀学生的概率为； 在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为，选中成绩不优秀学生的概率为． 的所有可能取值为0，1，2； ； ； ． 所以随机变量的分布列为： P 0 1 2 【小问3详解】显然X，Y均符合两点分布，且，，，， 所以 所以 21. 已知函数. （1）若，，求的值； （2）设，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）或 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用特殊角的三角函数值，即可求出结果； （2）根据条件得到，再利用的图象与性质，即可求出结果. 【小问1详解】 因为，由，得到， 解得或， 即或，又， 所以或. 【小问2详解】 因为， 令，因为，得到， 由的图象与性质知，，所以， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 22. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【小问1详解】 由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． 【小问2详解】 因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 23. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求曲线在点处的切线方程； （2）定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数． ①，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由； ②，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）切线方程为， （2）①是“控制函数”，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据斜率求出切点坐标，再由直线的点斜式方程可得答案； （2）①由得，根据的范围可得答案；②转化为，恒成立，令求出在的最值可得答案. 【小问1详解】 ，所以， 解得或，可得切点坐标为，或， 所以曲线在点处切线方程为， 曲线在点处的切线方程为； 小问2详解】 ①，是“控制函数”，理由如下， 由得， 可得，， 因为时，恒成立， 即恒成立， 所以函数为函数的“控制函数”； ②，若为函数的“控制函数”， 则，恒成立， 即，恒成立， 令，， ， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在有极小值，，， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十五中高三年级阶段测试数学试卷 2024.8 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共48分） 一、选择题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 5. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 的二项展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. D. 8. 若函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 11. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 72 B. 73 C. 74 D. 75 12. 已知数列满足则（ ） A. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 B. 当时，递减数列，且存在常数，使得恒成立 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，对于任意正整数，存在，使得 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 函数的定义域是__________. 14. 已知复数，则___． 15. 已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是__________，__________. 16. 已知向量，满足，，且，则___________. 17. 在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______. 18. 已知函数的值域是，若，则m的取值范围是________． 三、解答题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 19. 在中，，是边上的点，，，. （1）求cos B与的面积； （2）求边AC的长. 20. 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国周年”知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表． 高二 成绩分组 频数 规定成绩不低于90分为“优秀”． （1）估计高一年级知识竞赛的优秀率； （2）将成绩位于某区间频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列； （3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差的大小关系．只需写出结论 21. 已知函数. （1）若，，求值； （2）设，求在区间上的最大值和最小值. 22. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 23. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求曲线在点处的切线方程； （2）定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数． ①，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由； ②，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $