精品解析：黑龙江省龙东十校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2023级高二上学年入学考试数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，且，则（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算. 【详解】因为，所以, 即，则. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用复数乘除，结合乘方计算即可. 【详解】由题意得. 故选：A. 3. 若向量，且，则（ ） A. B. 8 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算，结合垂直的坐标结论计算即可. 【详解】由题意得. 因为，所以，即. 故选：B. 4. 某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合给定的频率分布直方图中的数据，即可求解. 【详解】根据题意得，体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为. 故选：A. 5. 已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的判定与性质即可判断． 【详解】若，，则不一定平行（缺少条件相交）； 若，，则，且， 故“，且”是“”的必要不充分条件， 故选：C． 6. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出母线，根据侧面积列出方程，求出母线，进而得到圆台的高，得到圆台的体积. 【详解】设该圆台的母线长为，根据题意可得，解得， 由题意得，， 所以该圆台的高为，则． 故选：B 7. 图，在九面体中，平面平面，平面平面，底面为正六边形，下列结论错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】D 【解析】 【分析】运用面面垂直，结合面面平行得到面面垂直，判定C；证明平面.同理可得平面，则，运用线面平行判定判断A； 证明平面，结合，得到平面，判断B；利用反证法，得到平面，不成立，判断D. 【详解】取的中点的中点，连接.因为平面平面， 平面平面，所以平面平面，C正确. 因为，所以，面， 平面平面，又平面平面，所以平面. 同理可得平面，则，因为 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面平面，所以平面正确. 连接，易得，则平面，面，则. 因为且都在面内，所以平面. 因为，所以平面，B正确. 连接，则，若平面平面成立， 根据面面垂直的性质易得平面，再由线面垂直的性质有. 因为，根据线面垂直的判定得平面，这显然不成立， 所以平面平面不成立，D错误. 故选：D. 8. 如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知甲组数据为，乙组数据为，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（ ） A. 丙组数据的中位数为5 B. 甲组数据的分位数是2 C. 甲组数据的方差等于乙组数据的方差 D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合中位数，百分位数，方差，平均数的公式求解即可. 【详解】将丙组数据从小到大排列为，可得丙组数据的中位数为，A正确． 将甲组数据从小到大排列为，因为，所以甲组数据的分位数是B错误． 易得甲组数据的方差为，乙组数据的方差为，C正确．甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，D正确． 故选：ACD 10. 记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理得，由三角形面积公式得，进而得出，再根据余弦定理求得或，即可求解． 【详解】由正弦定理得，得，则， 由，得，所以， 由余弦定理，得或17， 所以或， 所以的周长为8或， 故选：AB． 11. 已知边长为的正三角形的三个顶点都在球的表面上，为球表面上一动点，且不在平面上，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 的最大值为10 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当三棱锥的体积最大时，若点与点关于点对称，则三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出草图，设正三角形的外心为，当三棱锥的体积最大时，三点共线.找出直线与平面所成的角，求出.进而分别运用球的表面积公式计算表面积，的最大值为，运用棱锥体积公式计算三棱锥，的体积即可. 【详解】如图，设正三角形的外心为， 当三棱锥的体积最大时，三点共线. 设球的半径为，易得. 直线与平面所成的角为，得. 由，得 球的表面积为，A错误，的最大值为，B正确. 三棱锥体积的最大值为，C正确. 三棱锥的体积为，D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知空间向量，若共面，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由已知可得，代入坐标计算可求的值. 【详解】因为共面，所以，即， 则. 故答案为：0. 13. 已知数据的极差为6，且分位数为，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】运用数据极差和百分位数概念和计算方法分类讨论即可. 【详解】因为，所以. 当时，数据的分位数为4，由，得，不符合题意，舍去. 当时，数据的分位数为，由，得（负根舍去），符合题意.故. 故答案为：5. 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】表达出，平方后求出，求出；求出，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值. 【详解】连接， ， 故； ， 故 ， 故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在内，并将部分数据整理如下表： 分数 频数 10 10 20 20 （1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）； （2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 【答案】（1） （2）96，5.8 【解析】 【分析】（1）由中位数的佑计值的定义求解即可； （2）由平均数的估计值与方差的计算公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得这100家企业评分在内的频数为 设这100家企业评分的中位数的估计值为， 因为评分在内的频数之和为， 评分在内的频数之和为， 所以，由，得. 【小问2详解】 这100家企业评分的平均数的估计值为 这100家企业评分的方差的估计值为： . 16. 记的内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，在边上存在一点，使得，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，再用余弦定理可解; （2）运用正弦定理，结合勾股定理可解. 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以. 因为，所以，解得， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 设，在中，由正弦定理得，则， ，由 解得或（舍去）， 故的长为. 17. 如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为是等腰直角三角形，为的中点， 所以，平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面 因为平面，所以，又为的中点， 所以是等腰三角形，故. （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，结合面面垂直的性质可得平面，然后根据等腰三角形的性质结合条件可得. （2）作，垂足为，连接，由面面垂直的性质可得平面，再由三角形全等，得出，从而建立空间坐标系利用空间向量解决问题. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在平面上，作，垂足为，连接. 平面平面，平面平面， 又平面，所以平面. 由（1），又，则为等边三角形. 所以，， 所以，所以， ， 所以,在等腰直角三角形中，， 所以与全等，故，即， 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. . 设平面的法向量为， 则即取，可得. 设平面的法向量为， 则即取，可得. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 18. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． （1）求的长； （2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】（1）70海里 （2）2小时 【解析】 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【小问1详解】 根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． 【小问2详解】 由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 19. 将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，得到几何体.已知分别为上的动点且. （1）证明：平面； （2）求的长； （3）当的长度最小时，求直线到平面的距离. 【答案】（1） 在上取点，使得，连接， 如图1. 因为，所以. 因为平面平面，所以平面. 因为，所以，又，所以. 因为平面平面，所以平面. 因为且都在面内，所以平面平面. 因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而线面平行，求出平面平面，得到线面平行； （2）作出辅助线，得到为二面角的平面角，并求出各边长，得到答案； （3）作出辅助线，证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出，表达出，求出，，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，如图2. 由题意可得是边长为4的正三角形，则， 且，所以为二面角的平面角，即，则为正三角形， 所以. 【小问3详解】 取的中点，连接，则，且. 由（2）得，，平面， 所以平面，因为平面，所以. 又因为，，平面， 所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系， 则， . 又，所以. 连接，则， ， 所以. 当时，取得最小值，且最小值为3，则的最小值为 此时，则. 设平面的法向量为， 则即取，得. 因为平面，所以直线到平面的距离就是点到平面的距离， 则点到平面的距离. 故直线到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二上学年入学考试数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，且，则（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，且，则（ ） A. B. 8 C. D. 2 4. 某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积（ ） A. B. C. D. 7. 图，在九面体中，平面平面，平面平面，底面为正六边形，下列结论错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 8. 如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知甲组数据为，乙组数据为，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（ ） A. 丙组数据的中位数为5 B. 甲组数据的分位数是2 C. 甲组数据的方差等于乙组数据的方差 D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数 10. 记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 11. 已知边长为的正三角形的三个顶点都在球的表面上，为球表面上一动点，且不在平面上，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 的最大值为10 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当三棱锥的体积最大时，若点与点关于点对称，则三棱锥的体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知空间向量，若共面，则__________. 13. 已知数据的极差为6，且分位数为，则__________. 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在内，并将部分数据整理如下表： 分数 频数 10 10 20 20 （1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）； （2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 16. 记的内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，在边上存在一点，使得，求的长. 17. 如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 18. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． （1）求的长； （2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 19. 将菱形绕直线旋转到的位置，使得二面角的大小为，连接，得到几何体.已知分别为上的动点且. （1）证明：平面； （2）求的长； （3）当的长度最小时，求直线到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $