第一章 勾股定理（单元重点综合测试B卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第一章 勾股定理（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若5、13、m是一组勾股数，则m的值为（     ） A．5 B．12 C．13 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解勾股数的定义成为解题的关键． 分m为最长边、13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方的条件解答即可． 【详解】解：①m为最长边， ，不是正整数，不符合题意． ②13为最长边，，三边是整数，能构成勾股数，符合题意． 故选：B． 2．如图，湖的两岸有A，B两点，在与成直角的方向上的点C处测得米（即），米，则A，B两点间的距离为（    ） A．40米 B．30米 C．50米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据与的长即可直接求得的长即A，B两点间的距离． 【详解】解：由题可知：为直角三角形，， 米，米， A，B两点间的距离即米， 故选：B． 5．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】D 【分析】先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解∶在中，米， 故可得地毯长度米， 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键． 4．如图，在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3.5 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．作，根据条件证明，可得，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】作 ∵是边上的高线， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， 设，则 ∵，即，解得： 故选：B． 5．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则线段的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理以及三角形面积，由勾股定理求出，再由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理可得， ， ，即， ， 故选：C． 6．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，以及完全平方公式和几何图形面积的结合，正确掌握平方差公式，以及完全平方公式的特点是解题的关键，根据题意由勾股定理可得，，再利用完全平分公式，平方差公式，以及其公式变形求解，即可解题． 【详解】解：由题和勾股定理知，，， 故A项错误，不符合题意； ， ，解得， 故B项正确，符合题意； 有， 故C项错误，不符合题意； ，，表示直角三角形的两直角边， ， ， 故D项错误，不符合题意； 故选：B． 7．如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 8．如图，长方体的长为12，宽为8，高为30，是的中点，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短距离是（   ） A． B． C．25 D．27 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、最短路径：两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别作图,再结合图形运用勾股定理解三角形，比较即可作答． 【详解】解：依题意，高为30，是的中点 ∴ 如图所示： 此时； 或者如图所示： 此时． 或者如图所示： 此时． ∵ ∴则爬行的最短距离是25 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径作圆弧交边于点，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了勾股定理．首先利用勾股定理可以算出的长，再根据题意可得到，根据即可算出答案． 【详解】解：，， ， 以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ， ， ． 故答案为：4． 10．在平面直角坐标系中，点A（-3，4）与原点（0，0）的距离是 ． 【答案】5 【分析】根据A的坐标，利用勾股定理求出点A到原点的距离即可． 【详解】解：点A（-3，4）到原点的距离==5． 故答案为：5． 11．如图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积和是，则其中最大的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理．根据题意可得，最大的正方形的面积为，则答案可解． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，最大的正方形的面积为，则最大的正方形的边长为． 故答案为：． 12．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为 ．    【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，根据图形得，再根据两图形的面积相等即可求出的值，根据即可求解，注意利用图形之间的关系进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为， 由图2可得，小正方形的边长为， ，即， 围成的矩形长为：， 围成的矩形面积为：， 矩形的面积与大正方形的面积相等， ， 解得 或（舍去）， ， 故答案为：10． 13．直角三角形和的直角顶点重合在点A，，，，M、N分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点F，设，则通过勾股定理得，则的最小值转化为在平面直角坐标系中，点到点的距离之和的最小值，过点F作x轴的对称点，当点D与与x轴的交点G重合时，取得最小值． 【详解】解：过点A作于点F，设， 在中，， ∵等腰直角中，， ∴， ∴在中， 则 则的最小值转化为在平面直角坐标系中，点到点的距离之和的最小值， 如图，过点F作x轴的对称点，此时，则， 当点D与与x轴的交点G重合时，取得最小值， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）已知在中，，求的长． 【答案】 【分析】 利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得，．      15．（本题5分）如图，在中，，，，于．求：    (1)的长和的面积； (2)的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得的长；利用三角形的面积公式可求出的面积； （2）再根据三角形的面积公式是一定值求得即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴． （2）解：， ， ． 16．（本题5分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：设米，则米， 在中，，， 即， 解得：， 即米， 答．该河的宽度为75米． 17．（本题5分）如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据当牙刷垂直于底面放置时，最大，当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，即可得出答案． 【详解】解：当牙刷垂直于底面放置时，最大，此时 当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，如图， 在中，根据勾股定理得 的范围是：． 18．（本题5分）如图有两棵树，一棵高，一棵高，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线的应用，设树，过点C作于E，由平行线间间距相等得到，，进而求出，则由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设树， 过点C作于E， 由题意得，， ∴， ∴（平行线间间距相等）， 同理得， ∴， ∴， ∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米． 19．（本题5分）已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明， 首先求出，然后利用梯形的面积得到，进而求解即可． 【详解】证明： ，， ， 即． 20．（本题6分）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【详解】（1）解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 21．（本题6分）如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距． (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)60000元 【分析】本题考查最短路线问题，作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解题的关键． （1）作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置； （2）利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质即可求解． 【详解】（1）解：作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置，此时，的长度之和最短，即所铺设水管最短； （2）过点作直线的垂线，过作直线的平行线，设这两线交于点，则．过作于， 依题意：，， ， （负值已舍去）， 由题意得：， ，， ， （负值已舍去）， ， ， 答：最节约铺设水管的费用为60000元． 22．（本题7分）阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 【答案】任务一：见解析；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了勾股定理，以弦图为背景的计算题，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：根据正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积，列式，化简即可作答； 任务二：结合，化简得出，再代入直角三角形的面积公式进行计算，即可作答． 任务三：先运用勾股定理计算，再运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：任务一：正方形的面积，且正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积， ， 整理得． 任务二：， ， ， ， 的面积． 任务三：∵在中，， ． 是边上的高， ， ， ． 23．（本题7分）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）    (1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意得到，再利用勾股定理求出，即可解题； （2）利用勾股定理求出，根据题意得到，进而得到，再利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，，， 工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ， ， 此时游轮距离岸边还有； （2）解：由题知，，，， ， 游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点， ， ， ， ∴， 工作人员手中的绳子被收上来． 24．（本题7分）【阅读理解】若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 【方法应用】 （1）若，，求的值． （2）若，则________． 【拓展提升】 （3）在中，，，的面积为，求的长． （4）如图，在四边形中，对角线于点O，且，，则四边形的面积为_________． 【答案】（1）10；（2）34；（3）；（4）24 【分析】题目主要考查利用完全平方公式变形求值，勾股定理解三角形，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据题意，利用完全平方公式变形求解即可； （2）根据题意得出，再由完全平方公式变形求解即可； （3）根据题意得出，然后利用完全平方公式及勾股定理求解即可； （4）根据题意得出，结合图形求面积即可． 【详解】解：（1）∵， ∴即， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：34； （3）∵，的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：24． 25．（本题8分）如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 【答案】(1)；； (2)、之间的距离为 (3)市受台风影响的时长为 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用； （1）根据题意，即可得到答案； （2）过作于，设，用表示，，再根据列方程，即可求出从而解决问题； （3）过作于，设台风中心移动到点处时，城市开始受影响；移动到点处时，城市正好结束影响，即在中，求出，从而得到，进一步求出市受台风影响的时长． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：，； （2）如图，过作于， 由题可得，，， 在中，， 设 ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 答：、之间的距离为； （3）如图，过作于， 在中，， ∴km， 设台风中心移动到点处时，城市开始受影响； 移动到点处时，城市正好结束影响，即． 于点， ， 在中， ， ， 答：市受台风影响的时长为． 26．（本题10分）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若5、13、m是一组勾股数，则m的值为（     ） A．5 B．12 C．13 D． 2．如图，湖的两岸有A，B两点，在与成直角的方向上的点C处测得米（即），米，则A，B两点间的距离为（    ） A．40米 B．30米 C．50米 D．米 5．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 4．如图，在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3.5 5．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则线段的长为（    ） A．4 B． C． D．5 6．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，长方体的长为12，宽为8，高为30，是的中点，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短距离是（   ） A． B． C．25 D．27 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径作圆弧交边于点，则的长为 ． 10．在平面直角坐标系中，点A（-3，4）与原点（0，0）的距离是 ． 11．如图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积和是，则其中最大的正方形的边长为 ． 12．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为 ．    13．直角三角形和的直角顶点重合在点A，，，，M、N分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）已知在中，，求的长． 15．（本题5分）如图，在中，，，，于．求：    (1)的长和的面积； (2)的长． 16．（本题5分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 17．（本题5分）如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围． 18．（本题5分）如图有两棵树，一棵高，一棵高，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 19．（本题5分）已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 20．（本题6分）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 21．（本题6分）如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距． (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 22．（本题7分）阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 23．（本题7分）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）    (1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 24．（本题7分）【阅读理解】若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 【方法应用】 （1）若，，求的值． （2）若，则________． 【拓展提升】 （3）在中，，，的面积为，求的长． （4）如图，在四边形中，对角线于点O，且，，则四边形的面积为_________． 25．（本题8分）如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 26．（本题10分）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$