第一章 勾股定理（压轴专练）（九大题型）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第一章 勾股定理 （压轴专练）（九大题型） 题型1： 折叠问题 1．如图，在中，，，．点是上的点，且，点和点分别是边和边上的两点，连接．将沿折叠，使得点恰好落在上的点处，与交于点，则的长为 ． 2．如图，，分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点落在所在平面内的点处． (1)如图1，点在的内部，若，，求的度数． (2)如图2，若，，折叠后点在直线上方，与交于点，且，求折痕的长． (3)如图3，若折叠后，直线，垂足为点，且，，求此时的长． 3．如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12． (1)求BC边上的高线长． (2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE． ①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积． ②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长． 4．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 题型2： 勾股定理与全等三角形 5．如图，过边长为6的等边的顶点A作直线，点D在直线l上（不与点A重合），作射线，将射线绕点B顺时针旋转后交直线于点E． (1)如图1，点D在点A的左侧，点E在边上，求证：． (2)如图2，点D在点A的右侧，点E在边的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明：若不成立，写出你的结论，再证明． (3)如图3，点E在边的反向延长线上，若，请直接写出线段的长． 6．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 7．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 8．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若， ，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．SSS    B．ASA    C．AAS    D．SAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （4）如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 题型3： 勾股定理的实际应用 9．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 10．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 11．（1）【问题发现】①如图1，中，，为边上的中点，连接．设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和，则 ， ．（填“>”，“<”或“”） ②如图2，中，、是边上的两点，若，则与的数量关系是 ． （2）【问题延伸】如图3，四边形中，，，若的长度为6，求出四边形的面积． （3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中，，，．现计划将点处设置为公园的入口，在边上设置一个出口，并修建一条贯穿整个公园的小路．根据规划，要求小路将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域（即与四边形的周长和面积都相同），施工队能否按照规划修建出这条小路？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 题型4： 勾股定理的证明、与弦图有关的计算题 12．阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题： (1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形； (2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab； (3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______． 13．阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． (1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； (2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； (3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． (4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． (5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 14．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 15．【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．                (1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空： =[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）] =__________ (2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程； (3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程． 题型5： 勾股定理与特殊三角形 16．如图1，等边的边长为，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在右侧作等边，连接． 【初步感知】 （1）求证：； 【类比探究】 （2）当点在直线上运动时， ①与的数量关系是； ②的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； 【拓展应用】 （3）当点在直线上运动时，能否形成直角三角形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 17．在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 18．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 题型6： 勾股定理与数轴 19．阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； (2)如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； (3)数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． (4)若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 题型7： 表格类素材题 20．受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．    根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．    素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．    素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．    问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 题型8： 最值问题 21．如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分交于点E． (1)若，求的长； (2)以为边作，，连接，判断之间的数量关系并说明理由； (3)若点P是直线上的一动点，将沿着进行翻折得到，连接，将绕着点B逆时针旋转得到线段，连接．若，当最小时，直接写出的值． 22．如图1所示，点在线段上，分别以为一边，在线段的上方，作等边和等边，连接，它们交于点． (1)容易判断，与的数量关系为______，它们所夹锐角的大小为______度； (2)探究：把图1中的等边三角形绕点逆时针旋转一定角度，变成图2，线段的延长线与交于点．请你判断与的数量关系及的大小，并给出证明过程； (3)应用：如图3所示，点在线段上，，在的上方作等边三角形（的大小和位置可以改变），连接．请直接写出的最小值． 题型9： 动点、旋转问题 23．如图1，有等边和等边，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．    (1)求证：； (2)如图3，若，，且旋转角为时，求的度数； (3)如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值． 24．如图，和中，． (1)如图1，若，．点A、B、D共线时，，求的度数． (2)如图2，，，且点A、B、D不共线时，点H为线段的中点，判断与的数量关系，并证明． (3)如图3，若，．点A、B、D不共线时，点G为的中点，绕点A旋转过程中，连接，若，，直接写出线段的最大值． 25．如图，在中，，点是边上的动点（不与点、重合），把沿过点的直线折叠，点的对应点是点，折痕为．    (1)若点恰好在边上． ①如图1，当时，连接，求证：． ②如图2，当，且，，求与的周长差． (2)如图3，点在边上运动时，若直线始终垂直于，的面积是否变化？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 （压轴专练）（九大题型） 题型1： 折叠问题 1．如图，在中，，，．点是上的点，且，点和点分别是边和边上的两点，连接．将沿折叠，使得点恰好落在上的点处，与交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得出，再根据，，得出，再根据勾股定理，得出，再根据折叠的性质，得出，，，然后设，则，再根据勾股定理，得出，解出即可得出，再根据勾股定理，即可得出的长． 【解析】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵沿折叠，使得点恰好落在上的点处， ∴，，， 设，则， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质，解本题的关键在应用勾股定理列出方程解决问题． 2．如图，，分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点落在所在平面内的点处． (1)如图1，点在的内部，若，，求的度数． (2)如图2，若，，折叠后点在直线上方，与交于点，且，求折痕的长． (3)如图3，若折叠后，直线，垂足为点，且，，求此时的长． 【答案】(1) (2) (3)或10 【分析】（1）根据折叠知，，根据三角形内角和定理即可求得答案； （2）根据，由等边对等角可得，设度，根据三角形内角和为180°，建立一元一次方程解方程求解即可求得，过作于，根据勾股定理求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长； （3）①当点在上方时，②当点在下方时，设，则，勾股定理求解即可； 【解析】（1）由折叠知，， 同理得， ∴. （2）如图，∵， ∴， 设度， ∵， ∴度， ∴， 解得，即， 过作于， ∵， ∴， ∴. （3）当点在上方时，如图3-1 ∵，，直线， ∴， 设，则， 又由折叠知：，， ∴， 在中，根据勾股定理，得 解得，即； 当点在下方时，如图3-2 由折叠知：，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 解得，即. 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 3．如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12． (1)求BC边上的高线长． (2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE． ①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积． ②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长． 【答案】(1)8 (2)①；②或或 【分析】（1）如图，过作于再求解 再利用勾股定理求解高线长即可； （2）①如图，连接 利用等腰三角形的三线合一证明 求解可得 证明 从而可得答案；②分三种情况讨论：当时，再利用等面积法与勾股定理结合可得答案；当于时，利用角平分线的性质及面积比可得答案；当时，如图，则 证明 再利用勾股定理可得答案. 【解析】（1）解：如图，过作于 AB＝AC＝10，BC＝12， 所以BC边上的高线长为 （2）解：①如图，连接 为的中点， 由（1）得： 则 ②当时，由对折可得： 过作于 连接 过作于 过作于 由①得： 则 设 则 由 而 解得： 当于时，则 过作于 由对折可得 当时，如图，则 由对折可得 而 则 而 结合对折可得： 过作于 同理可得： 综上：当DF与△ABC其中一边垂直时，BE的长为或或. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，清晰的分类讨论，等面积法是应用等都是解本题的关键. 4．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 【答案】(1)1 (2)或13 (3)或10 【分析】（1）由长方形性质得知，，，，再证，则，然后由勾股定理得，则，由此得出结论． （2）分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答． （3）分两种情况：E在AB上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答． 【解析】（1） 四边形ABCD是长方形， ，，，， ， 由翻折性质可知：， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ． （2）存在，分两种情况： 如图③，当点E在长方形内部时： 作于G，设，则 由翻折可知，， 在中，由勾股定理可得：，即 ， 解得：，即， 在与 中： ，解得：． 如图④，当点P运动至与点C重合时，在与中： ， ． 综上，当或时，有． （3）过点E作交AB于点M，交CD于点N． 如图⑤，点E在长方形内部： 则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 如图⑥，点E在长方形外部：则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 综上，若点E到直线AB的距离等于3，或． 【点睛】本题是几何综合题目，考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，综合性强，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理，进行分类讨论解题是本题的解题关键． 题型2： 勾股定理与全等三角形 5．如图，过边长为6的等边的顶点A作直线，点D在直线l上（不与点A重合），作射线，将射线绕点B顺时针旋转后交直线于点E． (1)如图1，点D在点A的左侧，点E在边上，求证：． (2)如图2，点D在点A的右侧，点E在边的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明：若不成立，写出你的结论，再证明． (3)如图3，点E在边的反向延长线上，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，,证明见解析 (3) 【分析】(1)根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出,, 则, 再得出, 则有, 由,即可得证； （2）根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出, 由旋转的性质, 从而证明, 得出, 根据, 即可得证; （3）过作于，根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出, 再根据, 从而证明,得出, 由, 得出, 根据勾股定理求得, 再算得, 得为等腰直角三角形，则，即可求出的值. 【解析】（1）证明: 等边三角形， ∴ ， ∵直线 ， ， ， 在和中, ， ∴, ∴, ∴； （2）不成立，,理由如下： ∵直线, ∴, ∴， 又 在和中, ， ， ∴， ； （3）如图所示,过作于, ∵直线 ， 又 ， 在和中, ， ， ∴， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题关键是熟练运用以上性质进行求证. 6．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【解析】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 7．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根据“角角边”即可证明； （2）由、互余，、互余推得，再根据“角角边”即可证明，再根据全等三角形的性质即可推得、、的数量关系； （3）作延长线交于点，同理证明后，求得垂线的长度，根据即可得解． 【解析】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． （2）解：猜想，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）解：作延长线交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 中，， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型的全等判定方法． 8．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若， ，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．SSS    B．ASA    C．AAS    D．SAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （4）如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）D；（2）；（3）；（4）线段、，之间的等量关系为： 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法证明即可解答； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的三边关系计算即可； （3）延长到M，使，连接BM，证明，根据全等三角形的性质解答； （4）延长到点G，使，连结，证明，得到，根据勾股定理解答． 【解析】解：（1）在和中， ， ∴，故选D； （2）∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴； （3）延长到M，使，连接，    ∵，， ∴， ∵AD是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （4）线段之间的等量关系为：． 证明：如图，延长到点G，使，连结，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴． 题型3： 勾股定理的实际应用 9．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【解析】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 10．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【解析】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 11．（1）【问题发现】①如图1，中，，为边上的中点，连接．设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和，则 ， ．（填“>”，“<”或“”） ②如图2，中，、是边上的两点，若，则与的数量关系是 ． （2）【问题延伸】如图3，四边形中，，，若的长度为6，求出四边形的面积． （3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中，，，．现计划将点处设置为公园的入口，在边上设置一个出口，并修建一条贯穿整个公园的小路．根据规划，要求小路将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域（即与四边形的周长和面积都相同），施工队能否按照规划修建出这条小路？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）能， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质， （1）①根据等腰三角形的性质，即可求解；②根据三角形的面积公式，即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，进而得出，，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）延长至，使得，过点作交的延长线于点，同（2）可得，设，则，，根据得出，根据勾股定理求得，根据（2）的方法求得面积，根据题意在上取点，使得，根据将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，得出，进而求得，即可求解． 【解析】解：①∵中，，为边上的中点， ∴， 设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和， ∴， ∴， 故答案为：，． ②设边上的高为， ∵ ∴ ∴ 即 （2）如图所示，延长至，使得，连接， ∵， ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∴ （3）能， 如图所示，延长至，使得，过点作交的延长线于点， 同（2）可得 ∴， ∴ ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴，则， 设，则，， ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ 在上取点，使得， ∵， ∴将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，则即为所求， 由（2）可得 即 解得： ∴ 题型4： 勾股定理的证明、与弦图有关的计算题 12．阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题： (1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形； (2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab； (3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______． 【答案】(1)不能 (2)＝；＞ (3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2） 【分析】（1）分别计算正方形的面积和长方形的面积，比较两个图形的面积大小即可得解； （2）如图3中，分别计算左边大正方形的面积和右边大正方形的面积，即可得a2+b2= c2，再利用 (a+b)2=a2+2ab+b2变形得； （3）如图4，先由完全平方公式和整式的乘法计算得，，，进而可得． 【解析】（1）解：如图1，图2， ∵S正方形=82=64，S长方形=5×13=65， ∴S正方形S长方形， 故答案为：不能； （2）解：如图3中， 左边大正方形的面积：S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2，右边大正方形的面积：S大正方形=c2+4× ab=c2+2ab， ∴a2+2ab+b2= c2+2ab， ∴a2+b2= c2， ∵(a+b)2=a2+2ab+b2， ∴a2+b2 =(a+b)2-2ab， ∵， ∴， ∴， 故答案为：=， ； （3）解：如图4， ，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式及勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 13．阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． (1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； (2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； (3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． (4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． (5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 【答案】(1)5：9 (2)28 (3)24 (4) (5)，见解析 【分析】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可； （3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【解析】（1）∵，b＝2a， ∴c＝a， ∴小正方形面积：大正方形面积＝(a)2：(3a)2＝5：9， 故答案为：5：9； （2）根据题意可求， ∵空白部分的面积为=小正方形的面积-两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为=52-2××4×6＝28． 故答案为：28； （3）根据题意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3． 设AC＝x，则OA＝3+x，AB＝6-x． 在中，，即， 解得x＝1， ∴OA=4， ∴该风车状图案的面积=； （4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40， ∴x+4y＝， ∴S2＝x+4y＝． 故答案为：； （5）结论：． 由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键． 14．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答； （2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案． 【解析】（1）①证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简得． ②在图1中：，， 图2中大正方形的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴图2中大正方形的面积为29． （2）根据题意得：， 如图4： 即有：，，， ∴； 如图5： ，，， ∵， ∴； 如图6： 下面推导正三角形的面积公式： 正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图， 在正中，有，， ∵， ∴，， ∴在中，有， ∴正的面积为：， ∴，， ∵ ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； （3）关系：，理由如下： 以a为直径的半圆面积为：， 以b为直径的半圆面积为：， 以c为直径的半圆面积为：， 三角形的面积为：， ∴， 即：， 结合（1）的结论： ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 15．【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．                (1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空： =[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）] =__________ (2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程； (3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由题中勾股定理的推论将空格补充完整即可； （2）根据材料中勾股定理的推论，完成面积的计算过程即可； （3）设，根据勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面积公式求解即可． 【解析】（1） 故答案为：； （2）在中， 由勾股定理的推论，可知：． ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）如图2，设， 由勾股定理，得， ， 解得， ， ∴， ∴． 题型5： 勾股定理与特殊三角形 16．如图1，等边的边长为，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在右侧作等边，连接． 【初步感知】 （1）求证：； 【类比探究】 （2）当点在直线上运动时， ①与的数量关系是； ②的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； 【拓展应用】 （3）当点在直线上运动时，能否形成直角三角形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）证即可得证； （2）①同第一问，证证即可得证； ②由(1)得，则，因为，所以要使的周长最小，只要最小，当时，的长最小，此时最小，由“三线合一”即可求出的长； （3）分两种情况：当时和当时，分别作出图形，作于点，利用（1）的结果及勾股定理解答即可． 【解析】（1）证明：、都是等边三角形， ．，，，， ， ， ． （2）①如图，当点在线段上、点在延长线上、点在延长线上时， 证明方法同第一问： 、都是等边三角形， ，，，， ， ， ． 故答案为：． ②的周长存在最小值，由（1）得， ， ， 要使的周长最小，则最小， ， 当时，的长最小，如图2， ，， ； （3）当点在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，作于点，如图3， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，作于点，如图4， 同理得，， 设， 由（1）得， ， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ， 综上，当点在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理求最短路线问题、勾股定理等知识，灵活运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键． 17．在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据可证，则可得，，进而可得，在中，根据勾股定理可得，进而可得． （2）连接，，过点作，交的延长线于点，可得是的垂直平分线，设，则，，在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【解析】（1）． 理由如下： ，，， ，． ． 在和中， ． ，． ， 在中，． ， ． （2），，， 和是等边三角形． ，， 则． 如图，连接，，过点作，交的延长线于点， 由（1）可知，， ，． ， ． 在中，，． ，． 是等边三角形，， 平分． ． 设，则，， 在中，， 即． 解得． 的长为． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键． 18．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【解析】（1）解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 题型6： 勾股定理与数轴 19．阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； (2)如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； (3)数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． (4)若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3)，见解析 (4)，见解析 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，掌握数轴上确定表示无理数所在点的位置的方法，是解题的关键． （1）根据图形，利用勾股定理求出大正方形的边长，即可，根据数轴构造无理数的方法，作图即可； （2）由图可知，点到1的距离为，根据两点间的距离即可得出结果； （3）以为圆心，为半径化弧，与数轴的交点到的距离即为，确定点位置，进行比较即可； （4）将的值代入，化简绝对值，然后在数轴上表示出结果即可． 【解析】（1）解：由勾股定理得：，如图，M点表示的数为； （2）由图可知，点到1的距离为， ∴点B表示的数为，点表示的数为：； 故答案为：，； （3）点A表示，点B表示，表示数和的点如图所示： ． （4）由（1），得，， 原式 ． 题型7： 表格类素材题 20．受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．    根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．    素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．    素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．    问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：72 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，弄清题意、将实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到答案； （2）过点E作于点P，求出的长，即可利用据此解答即可； （3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出即可解答． 【解析】解：任务1:∵且，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 任务2：如图：过点E作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 在图2中， ∵, ∴, ∴在中,, ∴, ∴, ∴伞圈D移动的距离为. 任务3:如图：设与交于点O，与交于点Q， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵, ∴,解得：， ∴， 在中，，则， 由勾股定理得：． 故答案为：72． 题型8： 最值问题 21．如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分交于点E． (1)若，求的长； (2)以为边作，，连接，判断之间的数量关系并说明理由； (3)若点P是直线上的一动点，将沿着进行翻折得到，连接，将绕着点B逆时针旋转得到线段，连接．若，当最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形，全等三角形，三角形内角和，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的证明与性质是解题的关键，（1）延长交于点M，由等腰直角三角形的性质可得，进而可得，，再根据是等边三角形，得到，得到，，求出的值，即 可得的值．（2）过点E作，交的延长线与点H，易证，从而得到 ， 再根据，得到，进而得到之间的数量关系；（3）连接，过点G作交的延长线与点H，易证，，，故当最小时，最小，从而得到，故当A、C、F三点共线时，最小，根据 ，可得到的值，进而得到的值． 【解析】（1）解：延长交于点M， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2）解：过点E作，交的延长线与点H， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：连接，过点G作交的延长线与点H， 由题意得：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴当最小时，最小， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴当A、C、F三点共线时，最小，即最小值为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图1所示，点在线段上，分别以为一边，在线段的上方，作等边和等边，连接，它们交于点． (1)容易判断，与的数量关系为______，它们所夹锐角的大小为______度； (2)探究：把图1中的等边三角形绕点逆时针旋转一定角度，变成图2，线段的延长线与交于点．请你判断与的数量关系及的大小，并给出证明过程； (3)应用：如图3所示，点在线段上，，在的上方作等边三角形（的大小和位置可以改变），连接．请直接写出的最小值． 【答案】(1)；60 (2)；；见解析； (3)的最小值为． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，进而得到，证明即可得到结论，根据全等三角形的性质可以得到，推出，即可得出锐角的大小； （2）和是等边三角形，得出，，， 推出，即，进而证明，得到，；设与交于点，则，得到，即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，则，， 先证明，进一步证明，得到，再根据（当且仅当点在线段上时等号成立）得到的最小值，最后依次计算、、和即可； 【解析】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；60； （2）解：；． 证明：∵和是等边三角形， ∴，，． ∴，即． ∴． ∴，且． 设与交于点，则， ∴， 即， ∴，； （3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵（当且仅当点在线段上时等号成立）， ∴， ∴的最小值， ∵，， ∴，   ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 题型9： 动点、旋转问题 23．如图1，有等边和等边，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．    (1)求证：； (2)如图3，若，，且旋转角为时，求的度数； (3)如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用证明即可． （2）过点E作于点F，运用等腰直角三角形的判定性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． （3）设，，，代入计算． 【解析】（1）∵等边和等边， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）过点E作于点F，    ∵旋转角为，，，等边和等边， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 取得中点H，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴, ∴． （3）∵等边和等边，，， ∴，   ， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 24．如图，和中，． (1)如图1，若，．点A、B、D共线时，，求的度数． (2)如图2，，，且点A、B、D不共线时，点H为线段的中点，判断与的数量关系，并证明． (3)如图3，若，．点A、B、D不共线时，点G为的中点，绕点A旋转过程中，连接，若，，直接写出线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键 （1）由“”可证，根据全等进行角度转换，再结合条件即可求解； （2）根据中点将中线进行倍长从而构造出全等三角形，进而根据线段和角的转换即可求解； （3）取的中点，根据勾股定理进行线段的计算，在结合三角形三边关系即可求解． 【解析】（1）解： ， （2），理由如下： 如图，延长至，使得，连接， 点H为线段的中点 ， （3）取的中点，连接 点G为的中点，是的中点 在中， 当三点共线时，最大，此时 故的最大值为． 25．如图，在中，，点是边上的动点（不与点、重合），把沿过点的直线折叠，点的对应点是点，折痕为．    (1)若点恰好在边上． ①如图1，当时，连接，求证：． ②如图2，当，且，，求与的周长差． (2)如图3，点在边上运动时，若直线始终垂直于，的面积是否变化？请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)定值，理由见解析 【分析】（1）①如图1中，连接，．交于．证明点是的中点，即可解决问题．②设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题． （2）如图3中，连接，证明，利用等高模型解决问题即可． 【解析】（1）解：①如图1中，连接，．交于．    是由翻折得到， 垂直平分线段， ，， ， ，， ， ， ， ， ． ②如图2中，设，则 ， ，    ，， ， ， ， 解得， ， 的周长的周长． （2）解：如图3中，结论：定值． 理由：连接，    与关于直线对称， ， ， ， 定值． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，翻折变换，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握轴对称的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$