第十三章 轴对称压轴训练（构造等腰三角形、手拉手模型9类压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十三章 轴对称压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用平行线+角平分线构造等腰三角形 1 压轴题型二　过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 7 压轴题型三　利用倍角关系构造新等腰三角形 15 压轴题型四　等腰三角形中底边有中点时，连中线 21 压轴题型五　等腰三角形中底边无中点时，作高 26 压轴题型六　巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 32 压轴题型七　共顶点的等边三角形手拉手模型 40 压轴题型八　共顶点的等腰直角三角形手拉手模型 46 压轴题型九　共顶点的一般等腰三角形手拉手模型 51 02 压轴题型 压轴题型一　利用平行线+角平分线构造等腰三角形 例题：（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交于点M，N． (1)证明：是等腰三角形； (2)与相等吗？对你的结论说明理由． 巩固训练 1．（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在中，的平分线交于点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 2．（2024·江西南昌·模拟预测）课本再现 （1）如图1，是的外角，平分，，则________．（填“>”“=”或“<”） 类比迁移 （2）如图2，在中，是的一条角平分线，过点作交于点，求证：． 拓展运用 （3）如图3，在中，，是角平分线上一点，延长至点，使，过点作交于点，猜想与的数量关系，并进行证明． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 压轴题型二　过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 例题：（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 巩固训练 1．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 2．（23-24八年级下·广东茂名·期中）（综合与实践）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与DB的大小关系，请你直接写出结论，______（填“”、“”或“”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）： (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）． 压轴题型三　利用倍角关系构造新等腰三角形 例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 巩固训练 1．在中，，点在边上，，点在线段上，． (1)如图，若点与点重合，则______； (2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系； (3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由． 2．（2023上·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知，在中，点是边上一点，点是延长线上一点，交于点，点是上一点，连接于点． (1)写出图1中与相等的角，______； (2)如图1，若，在图中找出与相等的线段并证明； (3)如图2，若，求的长度． 压轴题型四　等腰三角形中底边有中点时，连中线 例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，D为的中点，于E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 巩固训练 1．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且．      (1)求证：． (2)若，，求的长． 2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知中，，，点D为的中点，点、分别在直线上运动，且始终保持． (1)如图①，若点分别在线段上，与相等且与垂直吗？请说明理由； (2)如图②，若点分别在线段的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由． 压轴题型五　等腰三角形中底边无中点时，作高 例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    巩固训练 1．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在中，点是边上的两点．    (1)如图1，若，．求证：； (2)如图2，若，，设，． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②在①的条件下，，请直接写出的度数． 2．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 压轴题型六　巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 巩固训练 1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题： 如图1，点在的角平分线上，过点作的垂线分别交、于点、．求证：．请你帮助完成此证明．    【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题： （1）将图1沿着过点的直线折叠，得到图2，使点正好与边上的点重合，此时测得．求的度数． （2）如图3，，平分交于，若，，求边的长度． 【拓展提升】 （3） 如图4，是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米．该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要用围栏完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）    压轴题型七　共顶点的等边三角形手拉手模型 例题：（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1， 条件：（1）和都是等腰三角形； （2）（顶角相等） 结论：． 解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得． 解决问题：如图2，和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由． (2)求的度数． 巩固训练 1．（2024·四川内江·一模）如图，点P在等边内，点在外，分别连结接，．    (1)求证：； (2)连接，求证：是等边三角形． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中． (1)求证：； (2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：； (3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长． 3．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究． 教材再现：如图，，都是等边三角形．求证：． (1)请写出证明过程； 继续研究： (2)如图，在图的基础上若与交于点，与交于点，与交于点，连接，求证：平分； (3)在（）的条件下再探索，，之间的数量关系，并证明． 压轴题型八　共顶点的等腰直角三角形手拉手模型 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）和△ADE都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点D、E在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明） (2)如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 巩固训练 1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE． （1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD； （2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．      压轴题型九　共顶点的一般等腰三角形手拉手模型 例题：（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知中，；中，；， (1)如图1，当时，①求证：；②求出的度数； (2)如图2，当时，求∶ ①的度数； ②若，，求的长． 巩固训练 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）【发现】如图①，，求证：； 【拓展】如图②，和均为等边三角形，点D、B、C在同一直线上，连结，则______，若，则_______． 【应用】如图③，和均为等腰直角三角形，，点D、B、C在同一直线上，为中边上的高，连结，则______，若，则______．    2．（23-24七年级下·河南开封·期末）（1）问题发现： 如图①，点D为等边边上一动点，以为边作等边，连接．请猜想与的数量关系为______，______°． （2）类比探究： 与均为等腰直角三角形，．如图②，若点D为线段上一动点，则与的数量关系为______， ______°，并写出证明的过程． （3）拓展延伸 在（2）的基础上，若点D为线段延长线上一动点，如图③，当，，请直接写出四边形的面积． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 4．（2024八年级下·全国·专题练习）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．    (1)如图①，在与中，，当、满足条件____时，与互为“兄弟三角形”； (2)如图②，在与互为“兄弟三角形”，， 相交于点M，连，求证：平分 (3)如图③，在四边形中，，，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用平行线+角平分线构造等腰三角形 1 压轴题型二　过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 7 压轴题型三　利用倍角关系构造新等腰三角形 15 压轴题型四　等腰三角形中底边有中点时，连中线 21 压轴题型五　等腰三角形中底边无中点时，作高 26 压轴题型六　巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 32 压轴题型七　共顶点的等边三角形手拉手模型 40 压轴题型八　共顶点的等腰直角三角形手拉手模型 46 压轴题型九　共顶点的一般等腰三角形手拉手模型 51 02 压轴题型 压轴题型一　利用平行线+角平分线构造等腰三角形 例题：（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交于点M，N． (1)证明：是等腰三角形； (2)与相等吗？对你的结论说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义： （1）根据等边对等角得到，再由角平分线的定义可得，进而推出，由此即可证明结论； （2）根据等边对等角和平行线的性质推出，得到，据此可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即 巩固训练 1．（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在中，的平分线交于点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等腰三角形的判定即可得出答案； （2）利用角平分线的定义、平行线性质得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：，， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，，， ， 又，， ． 2．（2024·江西南昌·模拟预测）课本再现 （1）如图1，是的外角，平分，，则________．（填“>”“=”或“<”） 类比迁移 （2）如图2，在中，是的一条角平分线，过点作交于点，求证：． 拓展运用 （3）如图3，在中，，是角平分线上一点，延长至点，使，过点作交于点，猜想与的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）=；（2）见解析；（3），见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，等量代换得，进而可证； （2）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，等量代换得，进而可证； （3）由角平分线的定义得，根据证明得，，然后证明即可得出． 【详解】（1）∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：=； （2）∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边． （1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，即可得出结果； （2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，进而得到即可； （3）同法（2）可得：，利用，求解即可； （4）同法（2）得到，推出的周长等于，即可得出结果； （5）同法（2）得到，推出的周长等于的长即可． 掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3； （3）同法（2）可得：， ∴； 故答案为：12； （4）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：30； （5）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：5cm． 压轴题型二　过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 例题：（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)相等，见解析 (3)7或3 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可． （2）过作交于，证明是等边三角形，以及即可证明． （3）分为点在射线上或点在射线上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 为等边三角形，点为的中点， ，平分，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：相等，即，理由如下： 如图，过作交于， 是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：如图③，当点在射线上时，过作交的延长线于， 则为等边三角形，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，当点O在射线上时，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点O作，则， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，长为或． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 巩固训练 1．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质； （1）证明为等边三角形，得出，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）过点E作交于点F，由平行线的性质得出，证出，得出，证出，由证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， 为等边三角形， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ， ， ∵ ， ； （2）解：，理由如下： 过点E作交于点F，如图， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ． 2．（23-24八年级下·广东茂名·期中）（综合与实践）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与DB的大小关系，请你直接写出结论，______（填“”、“”或“”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）： (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3)3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形三线合一，结合三角形外角的性质，得到即可； （2）过点E作，交于点F，易得为等边三角形，证明，即可得证； （3）作，易得为等边三角形，证明，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴，， ∵点E为的中点 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 过点E作，交于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在△DBE和△EFC中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）由题意，点在线段的延长线上，作，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 同（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 压轴题型三　利用倍角关系构造新等腰三角形 例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 巩固训练 1．在中，，点在边上，，点在线段上，． (1)如图，若点与点重合，则______； (2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系； (3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）根据直角三角形的两锐角互余得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，进而证明结论； （3）在上截取，连接，证明≌，根据求等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，进而得出结论． 【详解】（1）解：在中，，， 则， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下：如图，在上截取，连接， 则， ， 在和中， ， ≌， ， ， 是的外角， ， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．（2023上·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知，在中，点是边上一点，点是延长线上一点，交于点，点是上一点，连接于点． (1)写出图1中与相等的角，______； (2)如图1，若，在图中找出与相等的线段并证明； (3)如图2，若，求的长度． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）运用三角形外角性质即可求得答案； （2）利用证明，可得，，即可得出答案； （3）延长交的延长线于，过点作交的延长线于，可证得则，设，再根据等腰三角形性质可得，建立方程求解即可得出答案. 【详解】（1），， ． ， 故答案为：； （2），理由如下， ，，， ， 在和中， ， ，． ， 即； （3）如图2，延长交的延长线于，过点作交的延长线于， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设， ，， ，． ， ，， ． ， 解得： ， ， 故的长度为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，全等三角形的 性质与判定，构造全等三角形是解题的关键． 压轴题型四　等腰三角形中底边有中点时，连中线 例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，D为的中点，于E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含角的直角三角形的性质等知识， （1）连接，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答； （2）根据含角的直角三角形的性质即可作答． 【详解】（1）连接， ∵，， ∴，平分， ∴，， ∵于E， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， 则． 巩固训练 1．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且．      (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一证明结论； （2）证明为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：连接，      是的垂直平分线， ， ， ， 是等腰三角形， 为线段的中点， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知中，，，点D为的中点，点、分别在直线上运动，且始终保持． (1)如图①，若点分别在线段上，与相等且与垂直吗？请说明理由； (2)如图②，若点分别在线段的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由． 【答案】(1)且，见解析 (2)成立，见解析 【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到和，再证明，利用全等三角形的性质即可求解； （2）利用等腰直角三角形的性质得到和，再证明，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）且，理由是： 如图①，连接， ∵，，D为中点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）若点分别在线段，的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接，理由如下： ∵，，点D为的中点， ∴， ∴， 在和中， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 压轴题型五　等腰三角形中底边无中点时，作高 例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质．作交于，由等腰三角形的性质可得，由含角的直角三角形的性质得出，计算出即可得到答案．熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于，   ， ，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ． 巩固训练 1．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在中，点是边上的两点．    (1)如图1，若，．求证：； (2)如图2，若，，设，． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②在①的条件下，，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）过A作于F，根据三线合一得到，，利用线段的和差可得结果； （2）①根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，整理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，代入化简可得结果． 【详解】（1）解：如图，过A作于F， ∵，， ∴，， ∴，即；    （2）①猜想：，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得：； ②∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关键是利用这些性质找出角的关系． 2．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)互相垂直； (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； ②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到． 【详解】（1）解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴，     ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：互相垂直；； （2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图：        则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图：        ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 压轴题型六　巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，即可得出； （2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：过点C作交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键． 巩固训练 1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 (4)的面积是 【分析】（1）证（），得，即可； （2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论； （4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图2，延长交于点F， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，证明如下： 如图3，延长、交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （4）解：如图4，延长交于E， 由问题情境可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的面积是． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题： 如图1，点在的角平分线上，过点作的垂线分别交、于点、．求证：．请你帮助完成此证明．    【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题： （1）将图1沿着过点的直线折叠，得到图2，使点正好与边上的点重合，此时测得．求的度数． （2）如图3，，平分交于，若，，求边的长度． 【拓展提升】 （3） 如图4，是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米．该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要用围栏完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）    【答案】【情景建模】见解析；（1）；（2）；（3）至少需要围挡40米． 【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证即可解题． （1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一问的条件和结论结合方程即可解题． （2）延长和相交于点，利用勾股定理和第一问的结论得出,即可解题． （3）延长交于点，延长交于点，得三角形全等，利用全等得性质，将转化为，再用代数式表示出、、即可解题． 【详解】情境建模 证明：点在的角平分线上， ， 由题知， ， ， ， ， （1）解：点、点关于直线对称， 直线垂直平分， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， （2）解：延长和相交于点，如图所示： ， ， 平分，， ， ， 在中， （3）解：延长交于点，延长交于点，如图所示： 、分别平分和，，， 由“情境建模”的结论得：，， ，， 在和中， ， ， ，米，米， 米    设，，则，， ，， ，，， ， ， 的周长 答：至少需要围挡40米． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边． 压轴题型七　共顶点的等边三角形手拉手模型 例题：（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1， 条件：（1）和都是等腰三角形； （2）（顶角相等） 结论：． 解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得． 解决问题：如图2，和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形的性质，结合证明即可； （2）全等三角形的性质，结合三角形的外角，得到，利用平角的定义，即可求出的度数． 【详解】（1）解： 理由：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固训练 1．（2024·四川内江·一模）如图，点P在等边内，点在外，分别连结接，．    (1)求证：； (2)连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质： （1）由是等边三角形可得，运用可证明； （2）由可得，再证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中． (1)求证：； (2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：； (3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得； （3）如图3，过点作于，于，由面积法可求，可证，由直角三角形的性质可求，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 点在线段上，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图3，过点作于，于， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究． 教材再现：如图，，都是等边三角形．求证：． (1)请写出证明过程； 继续研究： (2)如图，在图的基础上若与交于点，与交于点，与交于点，连接，求证：平分； (3)在（）的条件下再探索，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）根据等边三角形性质得出，，，求出，根据证即可； （）过点分别作，，垂足为点 ，，由得到，从而，故有，根据角平分线判定即可求证； （）在上截取一点 ，使得，证明是等边三角形，即可证明，从而得证． 【详解】（1）证明：∵和 都是等边三角形， ∴ ，，， ∴， 即， 在和 中， ， ∴， ∴ （2）如图，过点分别作，，垂足为点 ，， 由（）知：，， ∴， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， 即平分； （3），理由： 如图，在上截取一点 ，使得， 由（）知：， ∴， ∴， 在中， ， ∴ 由（）得：平分， ∴， ∴是等边三角形，又是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用，熟练掌握这些知识，学会运用数形结合的思想是解答的关键． 压轴题型八　共顶点的等腰直角三角形手拉手模型 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）和△ADE都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点D、E在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明） (2)如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形 结合线段的和差即可得到结论； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； 【详解】（1）解：∵和△ADE都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 即， ∵点D，E在，上，， ∴； （2），， 理由如下：延长，分别交、于F、G， ∵和△ADE都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即； 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 巩固训练 1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2），；理由见解析 【分析】（1）延长交于点H，交于点O．只要证明，即可解决问题； （2）由，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长交于点H，交于点O， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． （2），； 理由如下：如图2中， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴，， ∴； 在等腰直角三角形中，为斜边上的高， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE． （1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD； （2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．      【答案】（1）见解析；（2） 结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由见解析；（3） ；，理由见解析 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可证得BC=BD+CD=CE+CD成立； （2）同样证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可证得成立，故BC=CE+CD不成立； （3）补全图形，同样证明△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性质即可作出结论： ；． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 ∴AB=AC，AD=AE， ∴ ∴   ∴ △BAD≌△CAE（SAS） ∴BD=CE ∴BC=BD+CD=CE+CD （2）结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由如下： 又∵AB=AC，AD=AE （3） ；；理由如下： 补全图形如图3， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴∠ABD=135°， 由（1）同理可得， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°， ∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°， 即，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解答的关键． 压轴题型九　共顶点的一般等腰三角形手拉手模型 例题：（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知中，；中，；， (1)如图1，当时，①求证：；②求出的度数； (2)如图2，当时，求∶ ①的度数； ②若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；② 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①根据题意证明，利用全等三角形性质即可解题． ②根据，以及等边三角形性质计算即可． （2）①根据题意得到为等腰直角三角形，结合（1）①同理可证，利用全等三角形性质和等腰直角三角形性质即可解题． ②根据，结合角平分线的性质和等腰三角形性质计算即可． 【详解】（1）①证明：， ， ， ，， ， ； ②，， 为等边三角形， ， ， ， ； （2）解：①，， 为等腰直角三角形， ， 由（1）同理可证， ， ； ②， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）【发现】如图①，，求证：； 【拓展】如图②，和均为等边三角形，点D、B、C在同一直线上，连结，则______，若，则_______． 【应用】如图③，和均为等腰直角三角形，，点D、B、C在同一直线上，为中边上的高，连结，则______，若，则______．    【答案】发现：见解析；拓展：120，8；应用：90，8 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质． (1)证明，根据全等三角形的性质得到； （2）根据等边三角形的性质得到，仿照发现中的证明方法解答； （3）根据等腰直角三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】发现： 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 拓展： 解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 由“发现”可知：， ∴， ∴； 应用： 解：∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 同理“发现”可得：， ∴， ∵， ∴， 在等腰直角中，， 则， ∴． 2．（23-24七年级下·河南开封·期末）（1）问题发现： 如图①，点D为等边边上一动点，以为边作等边，连接．请猜想与的数量关系为______，______°． （2）类比探究： 与均为等腰直角三角形，．如图②，若点D为线段上一动点，则与的数量关系为______， ______°，并写出证明的过程． （3）拓展延伸 在（2）的基础上，若点D为线段延长线上一动点，如图③，当，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1），60；（2），45，证明见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）通过证明，即可得出结论； （2）通过证明，即可得出结论； （3）连接，过点A作与点H，先求出，，则，再通过证明，得出，，，进而得出，最后根据，即可解得． 【详解】解：（1）∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，60； （2）∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，45； （3）连接，过点A作与点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴点H为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，则， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．    (1)如图①，在与中，，当、满足条件____时，与互为“兄弟三角形”； (2)如图②，在与互为“兄弟三角形”，， 相交于点M，连，求证：平分 (3)如图③，在四边形中，，，，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义 【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出、、的关系便可； （2）过点作于点，作于点，再证明得，再根据角平分线的判定定理得结论； （3）延长至，使得，连接，证明，进而得是等边三角形，便可得． 【详解】（1）解：在与中，，， 当时，与互为“兄弟三角形”， ， ， 故当时，与互为“兄弟三角形”， 故答案为； （2）解：在与互为“兄弟三角形”， ，， ， ， ， ，． 过点作于点，作于点，如图②，   ， ， （全等三角形的对应高相等）， 平分； （3）解：延长至，使得，连接，如图③，   ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了新定义，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形和全等三角形是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$