精品解析：湖南省邵阳市部分学校2024届高三下学期三模联考数学试题

数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A B. C. 13 D. 3. 已知是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，与交于点，点满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 图中的值为0.025 B. 样本中底部周长不小于110cm的树木有12株 C. 估计该片经济林中树木的底部周长的分位数为115 D. 估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出满足“点在圆外部”的一个的值：_________． 13. 展开式中含项系数为______. 14. 在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求的值； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 为创造良好城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据所获得的分数获得相应的奖品．工作人员给每位答题人提供了A，B两类题目．规定每位答题人共需回答3道题目．现有两种方案供答题人任意选择： 甲方案：只答A类题目； 乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，则下一次答B类题目． 已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答错得0分．若小李每道A类题目能答对的概率均为，每道B类题目能答对的概率均为，且每道题能否答对与回答顺序无关． （1）若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率； （2）若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？ 17. 如图，在四棱台中，四边形是边长为4的菱形，，平面，． （1）证明：； （2）求二面角正弦值． 18. 已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为． （1）求的方程． （2）不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 19. 已知函数，． （1）若在处取得极值，讨论的单调性； （2）设曲线在点处切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别根据对数不等式及指数函数值域求集合，再结合交集计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，则 所以. 故选：B. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 13 D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得出复数进而得出虚部. 【详解】因为， 所以虚部为. 故选：A. 3. 已知是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等比数列通项公式求解即得. 【详解】设等比数列的公比为，，，则， 则，所以. 故选：D 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正切的倍角公式求得，再结合两角差的正切公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，可得， 又由. 故选：B. 5. 在平行四边形中，与交于点，点满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出的值，进而求出. 【详解】因为 ， 又因， 所以. 故选：A. 6. 已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在抛物线 的准线上，可得 ，得出斜率关系求出点B,最后应用两点间距离结合勾股定理计算即可. 【详解】 由点在抛物线 的准线上，可得 ，即 ， 所以抛物线 C 的方程为，焦点 ，准线方程为 ， 设则，由 ，可得，即， 整理得，又，所以，解得或， 点B位于第一象限，所以，，且，显然不满足垂直， 所以， 所以，所以. 故选:D. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案. 【详解】由题意可得：， 因为在区间上单调递增， 因为，， 所以，解得：， 又在区间上有且仅有1个零点， 所以，， 结合，所以， 所以这个零点可能为或或， 当时，，， 解得：， 当时，，， 解得：， 当时，无解， 综上：的取值范围为. 故选：A. 8. 已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出直线和直线的方程，分别令，可求出，结合代入化简即可得出答案. 【详解】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 图中的值为0.025 B. 样本中底部周长不小于110cm的树木有12株 C. 估计该片经济林中树木的底部周长的分位数为115 D. 估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 【答案】AC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，以及平均数和百分位数，以及频数与频率的计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A正确； 对于B中，由频率分布直方图，可得不小于110 cm的频数为， 所以不小于110 cm的树木有株，所以B错误； 对于C中，由频率分布直方图得，前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以分位数位于区间，则，所以C正确； 对于D中，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ，所以D错误； 故选：AC. 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式、基本不等式“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，正数，则，当且仅当时取等号，因此，A错误； 对于B，由，得，则 ，当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，由，得，即，而， 因此，C正确； 对于D，由，得，即， 由，得，因此， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由赋值法可判断A，C；由偶函数的定义可判断B；求出的周期为，由赋值法求出，可判断D. 【详解】对于A，令，则， 令，则，则，， 又，所以， 所以由可得，解得：或， 若，则，所以，，故A正确； 对于B，令，因为，， 所以，故是偶函数，故B正确； 对于C，令，则， 因为是偶函数，所以，所以， 则，故C错误； 对于D，令，因为，， 则， 令等价于，所以，即 令等价于，所以， 所以的周期为， 令，则，所以， 令，则， 所以，又，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出满足“点在圆外部”的一个的值：_________． 【答案】4（答案不唯一， ） 【解析】 【分析】利用方程表示圆、点在圆外列出不等式组求解即得. 【详解】圆，则， 由点在圆外部，得， 解得，取. 故答案为：4 13. 展开式中含项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的展开方法求解. 【详解】展开式中含的项为， 故答案为: . 14. 在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为_________． 【答案】##1：8 【解析】 【分析】先根据勾股定理逆定理得到，再根据直角三角形中线性质找出外接球的球心，再结合球的截面距离分析，要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，只需球心到截面的距离最大即可． 【详解】 由题意知，， 由勾股定理可知，， 所以， 取的中点，所以， 所以四面体的外接球在斜边的中点处， 四面体的外接球的半径， 根据题意可知，过点作球的截面，若要所得的截面圆中面积最小， 只需截面圆半径最小，设球到截面的距离，只需球心到截面的距离最大即可， 而当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离最大，即， 取的中点，易知为等腰三角形， ，所以， 所以截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，球的表面积为， 所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求的值； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）2； （2）15. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及二倍角公式化简即得. （2）利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换求出，再利用三角形面积公式计算即得 【小问1详解】 在中，，由正弦定理得 . 【小问2详解】 由及正弦定理，得，即， 则，即， 而，则，又，即，解得，， ，由的面积为，得， 则，又，解得，又，则，解得， 所以周长为. 16. 为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据所获得的分数获得相应的奖品．工作人员给每位答题人提供了A，B两类题目．规定每位答题人共需回答3道题目．现有两种方案供答题人任意选择： 甲方案：只答A类题目； 乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，则下一次答B类题目． 已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答错得0分．若小李每道A类题目能答对的概率均为，每道B类题目能答对的概率均为，且每道题能否答对与回答顺序无关． （1）若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率； （2）若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？ 【答案】（1） （2）乙方案 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）由二项分布求出小李采用甲方案答题的期望，若小李采用乙方案答题，则设他的得分为，求出的可能取值及其对应的概率，由数学期望公式求出，由即可得出答案. 【小问1详解】 若“小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分”记为事件， 则小李至少答对道A类题目， 所以. 【小问2详解】 若小李采用甲方案答题，设他的得分为，则他答对的题数为， 且，所以， 则， 若小李采用乙方案答题，则设他的得分为，的可能取值为， ，， ，， ，， 所以， 因为， 所以小李想要答题得分的期望值更大，应该选择乙方案答题. 17. 如图，在四棱台中，四边形是边长为4的菱形，，平面，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 菱形中，，则是正三角形，在平面内过作， 由平面，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 于是，， 因此，所以 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为． （1）求的方程． （2）不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值. 【小问1详解】 令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得， 由三角形面积为，得，则，， 所以的方程是. 【小问2详解】 （i）由（1）知，点， 当直线l的斜率为0时，设，则，两点的坐标为, 此时，不合题意； 当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，设， 由消去x得：， 则， 直线与的斜率分别为，， 于是 ，整理得，解得或， 当时，直线过点，不符合题意，因此， 直线：恒过定点. （ii）由（i）知，， 则， 因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 19. 已知函数，． （1）若在处取得极值，讨论的单调性； （2）设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； （3）设，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由在处取极值待定，再求导函数，根据导函数的单调性与零点确定符号变化区间，从而讨论的单调性； （2）构造函数将命题转化为在区间恒成立，通过二次求导方法，逐次观察新的导函数零点与探究单调性，再通过连锁讨论回归分析原函数值的范围即可； （3）应用第（2）问结论赋值得，由此放缩后运算求和即可得证. 【小问1详解】 ，，， 由在处取得极值，得，解得. 当时，， 设，则在上单调递减，且. 则当时，，即，故在单调递增； 当时，，即，故在单调递减； 故在处取到极大值，满足题意. 在单调递增；在单调递减. 【小问2详解】 ，，， 曲线在点处的切线的斜率为，. 故切线方程为，即； 构造函数，， 即，其中， 则， 设，其中， 则，令，得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 所以在单调递减，且，. 故当时，，即，则在单调递增； 当时，，即，则在单调递减； 故在处取极大值，且极大值为， 当且仅当时，. 所以当时，恒成立.即恒成立， 故除点外，曲线段总在的下方，命题得证. 【小问3详解】 由（2）结论，任意，，恒成立. 又由可知，单调递减， 则，故恒成立， 令，则恒成立. 又由 所以 . 故， 故 . 即成立，命题得证. 【点睛】关键点点睛：应用导数证明不等式，解决的关键点有三个：一是函数重构，如第（2）问中将图象问题转化为不等式问题，进而构造差函数再利用导数研究单调性；二是多次求导连锁反应，一次求导不能明确问题解决的方向，借助观察零点、导数运算、符号判断等手段发现二次求导的可行性，进而继续求导研究导函数性质，直至新的导函数符号可判断，再依次连锁回归分析即可；三是结论借用，本题第（3）问解决的关键在于应用第（2）问所证明的切线放缩结论，进行赋值构造，再结合所求证结论中的特殊取值加以猜想赋值，值得注意的是赋值一定要先研究参变量需要满足的取值范围，不能盲目入手导致错误. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $