精品解析：河北省承德市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

承德市高中2023—2024学年第二学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4，本试卷主要考试内容：计数原理，随机变量及其分布，成对数据的统计分析，集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数与导数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，且，则（ ） A. 8或20 B. 8或-20 C. 或20 D. 或 3. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 5 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1 若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ） A. 5.75 B. 7.5 C. 7.55 D. 8 5. 投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 6. 向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 300种 B. 210种 C. 120种 D. 60种 8. 已知函数则方程的实数个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 恰有一个极值点 B 有最小值但没有最大值 C. 直线与曲线的公共点个数最多为4 D. 经过点只可作的一条切线 11. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则______，展开式中的常数项为______． 13. 已知函数满足，若，则______. 14. 已知，若不等式恒成立，则a取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足. （1）求函数和解析式； （2）对任意实数，恒成立，求的取值范围. 16. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男 45 5 50 女 35 15 50 合计 80 20 100 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ （2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 附：. 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 17. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 18. 为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）． （1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率； （2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望； （3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值． 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”． （ⅱ）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 承德市高中2023—2024学年第二学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4，本试卷主要考试内容：计数原理，随机变量及其分布，成对数据的统计分析，集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数与导数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由否定的定义判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：D 2. 已知集合，且，则（ ） A. 8或20 B. 8或-20 C. 或20 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据互异性得到，分中只有1个元素和有2个元素两种情况，结合根的判别式和韦达定理得到答案. 【详解】由题意得， 若中只有1个元素，则，且，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 若中有2个元素，则，则， 所以为方程的两根，故， 解得，满足，故， 所以或20. 故选：A 3. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 4. 已知变量和的统计数据如下表： 1 2 3 4 5 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1 若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ） A. 5.75 B. 7.5 C. 7.55 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知样本中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入即可. 【详解】，， 所以，即， 令，解得. 故选：A. 5. 投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出、，由条件概率公式计算可得答案. 【详解】因为每枚骰子朝上点数有奇数1，3，5三个，偶数有2，4，6三个， 所以3枚骰子朝上的点数之和为奇数的情况有奇数+奇数+奇数，偶数+偶数+奇数， 共两种情况，可得， 恰有1枚骰子朝上的点数为奇数的情况有偶数+偶数+奇数， 可得， 则. 故选：B. 6. 向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据容器形状，结合自变量为水的高度可得解. 【详解】在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长. 故选：A. 7. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 300种 B. 210种 C. 120种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】甲场馆安排2名志愿者可以知有种，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况，第二种是乙、丙各安排2名有，第三种是乙安排3名丙安排1名，根据分步计算可得答案. 【详解】根据题意可知，甲场馆安排2名志愿者可以知有种， 乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法 第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况， 第二种是乙、丙各安排2名有， 第三种是乙安排3名丙安排1名， 所以根据分步算法可得种. 故选：B 8. 已知函数则方程的实数个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可. 【详解】函数的部分图象如图所示. 由方程，解得或. 当时，有5个实根，当时，有6个实根， 故方程的实根个数为11. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性及两点分布的定义即可判断AB；根据期望和方差的公式及性质即可判断CD. 【详解】因为，所以，且， 又，所以A正确，B错误； ，故，故C正确； ， ，故D错误. 故选：AC. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 恰有一个极值点 B. 有最小值但没有最大值 C. 直线与曲线的公共点个数最多为4 D. 经过点只可作的一条切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由导数得出单调性进而判断AB；由单调性得出图像，结合直线过定点判断C；由导数的几何意义判断D. 【详解】对于A，的定义域为，， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 故是唯一的极值点，故A正确； 对于B，函数在上的最小值为， 又因为当时，且，当且时，， 当且时，， 所以既无最小值也无最大值，故B错误； 对于C，由B选项作出函数的大致图象如图所示， 直线恒过点， 当足够大时， 直线与曲线有2个交点， 直线与曲线有2个交点， 则直线与曲线的公共点个数最多为4，故C正确； 对于D，易知点不在的图象上，设切点为， 则，解得， 则经过点只可作曲线的一条切线，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】参数分离结合不等式的性质判断A；举反例判断B；由换元法结合基本不等式判断C；由，并运用两次基本不等式判断D. 【详解】对于选项A，由，，得，解得，A正确. 对于选项B，取，满足，此时，B不正确 对于选项C，由，得，取，， 则，由，得，则，则， 当且仅当，时，等号成立，从而，C正确. 对于选项D，由，得， 则. 因为 ，当且仅当， 即时，等号成立， 所以最小值为1，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则______，展开式中的常数项为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用二项式的各项系数和求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为零，即可得解. 【详解】因为二项式展开式中各项二项式系数的和为16， 所以，解得， 展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：；. 13. 已知函数满足，若，则______. 【答案】76 【解析】 【分析】先由题意得到，从而利用函数的对称性与的值即可得解. 【详解】由题可知，， 令，则， 所以. 故答案为：76. 14. 已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】不等式同构变形为 ，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围． 【详解】因为，，所以等价于. 若，则，，显然恒成立. 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增， 由，得，则，则在上恒成立. 令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：不等式同构变形：若不等式能变形为，而是单调的如递增，则转化为，经常用到的如对数与指数间的互化：，，，，等等． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足. （1）求函数和的解析式； （2）对任意实数，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的性质得到，求出的范围，再由确的值，再代入检验，即可求出的解析式，再利用换元法求出解析式； （2）参变分离可得，恒成立，结合二次函数的性质求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 依题意幂函数为偶函数，且在区间上单调递增， 可得，解得， 由于，故， 当时，，此时为奇函数，不符合题意， 当或时，，此时为偶函数，符合题意， 故； 由，可得，令， 所以， 故. 【小问2详解】 由，恒成立， 可得，恒成立. 又，所以当时，取得最小值， 故，即的取值范围为. 16. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男 45 5 50 女 35 15 50 合计 80 20 100 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ （2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 附：. 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验，代入公式求解即可，（2）结合超几何分布求解即可. 【小问1详解】 零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为客户对该产品的评价结果与性别有关. 【小问2详解】 由题意得抽取的8人中，男性人数为， 女性人数为. 当3人中有2名女性和1名男性时，， 当3人全部为女性时，， 则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 17. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义先求斜率，即可得切线方程； （2）分，和三种情况，利用导数研究函数的图象最值，数形结合求解问题. 【小问1详解】 由，得，则. 因为，， 所以的图象在点处的切线方程为. 【小问2详解】 显然不符合题意， 又， 当时，可知当时，，在上单调递减， 当时，，上单调递增， 则， 且当时，， 当时，， 所以，化简可得， 因为在上单调递减，且， 所以不等式的解集为. 当时，可知当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则， 且当时，， 当时，， 所以关于x的方程不可能有两个不同的实数解. 综上，a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 18. 为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）． （1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率； （2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望； （3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）． 【解析】 【分析】（1）设为甲的答题数，则可能取3，4，5．求出概率即可； （2）可能取0，5，10，15，20．求出对应的概率，列出分布列求出期望； （3）甲能胜出的概率，即．求导数求出函数的单调性求解． 【小问1详解】 设为甲的答题数，则可能取3，4，5． ； ； ． 所以甲进入初赛的概率为． 【小问2详解】 可能取0，5，10，15，20． ； ； ； ； ． 的分布列为 0 5 10 15 20 所以． 【小问3详解】 因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为， 所以甲能胜出的概率， 即． 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”． （ⅱ）设，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用给定定义结合分离参数法求解即可. （2）（ⅰ）利用给定定义结合导数证明即可.（ⅱ）利用给定定义结合裂项相消法证明即可. 【小问1详解】 由题可知任意，且， 即，解得． 因为，所以，即的取值范围为． 【小问2详解】 （ⅰ）证明：设， 则． 令，且， 则，则在上单调递增， 所以，即， 所以是上的“好函数”． （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当时，， 令，则， 即． 故， 化简可得． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后结合裂项相消法得到所要求的不等关系即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$