精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年高三上学期暑期摸底测试数学试题

2024-2025学年莆田第十五中学高三暑期摸底测试数学试卷 本试卷共19题，满分 150 分．考试时间 120 分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则“，且”是“，且”（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式在R上恒成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C 或 D. 或 6. 某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 最小值为 D. 的最小值为 11. 设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在上单调 ②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”． 下列说法正确的是（ ） A. 区间是的一个“和谐区间” B. 函数的所有“和谐区间为，， C. 若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是 D. 函数存在“和谐区间” 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 已知集合，则________． 13. 设函数，则函数的定义域为________． 14. 定义在上的函数满足，则的值为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15. 设函数的定义域为，集合 （1）求集合； （2）若，且是必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 17. 某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元． （1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）； （2）该车若干年后有两种处理方案： ①当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出； ②当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出． 问：哪一种方案较为合算？并说明理由． 18. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 19. 对于函数，存在实数，使成立，则称为关于参数m不动点． （1）当，时，求关于参数1的不动点； （2）当，时，函数在上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围； （3）对于任意的，总存在，使得函数有关于参数m（其中）的两个相异的不动点，试求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年莆田第十五中学高三暑期摸底测试数学试卷 本试卷共19题，满分 150 分．考试时间 120 分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件结合一元二次不等式的解法求得集合，再由集合的交集运算即可求解. 【详解】因， 所以 故选：A. 2. 若，，则“，且”是“，且”的（    ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质即可判断. 【详解】若“，且”，则“，且”， 若已知“，且”，可取，，满足，且，但不满足，且， 所以“，且”是“，且”的充分不必要条件； 故选：A 3. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 4. 不等式在R上恒成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出不等式恒成立时，，根据必要不充分条件的含义，一一代入选项比较即可. 【详解】当不等式在R上恒成立时，可得，解得． 选项A中，是不等式成立的充分不必要条件； 选项B中，是不等式成立的既不充分也不必要条件； 选项C中，是不等式成立的必要不充分条件； 选项D中，是不等式恒成立的充要条件． 故选：C． 5. 若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，关于的方程的两个根分别为、，且，结合韦达定理可得出、关于的等量关系，结合二次不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 则关于的方程的两个根分别为、，且， 所以，，，所以，，， 所以，不等式即为，即， 解不等式可得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 6. 某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得该设备年平均费用，结合基本不等式分析运算. 【详解】由题意可得：该设备年平均费用， ∵，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该设备年平均费用最少时的年限为9. 故选：C. 7. 已知且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算可得出且、均为正数，利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则且、均为正数， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，所以，，即，解得. 故选：C. 8. 对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，利用作差法和基本不等式对选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为，，，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知正数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】运用基本不等式逐一判断即可. 【详解】A：因为是正数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，有最大值为，因此本选项不正确； B：因为是正数，， 所以， 当且仅当时取等号，即当取等号，故本选项正确； C：因为是正数，， 所以， 当且仅当时取等号，即当时， 有最小值，因此本选项不正确； D：因为是正数，， 所以，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为 因此本选项正确， 故选：BD 11. 设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在上单调 ②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”． 下列说法正确的是（ ） A. 区间是的一个“和谐区间” B. 函数的所有“和谐区间为，， C. 若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是 D. 函数存在“和谐区间” 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用“和谐区间”的定义逐项计算即可. 【详解】对于A项，因为在上单调递减，值域为，不符合题意，故A项错误； 对于B项，在上单调递增，则， 所以，是的两个不等的实根， 又，，， 所以的所有“和谐区间”为、、，故B项正确； 对于C项，因为存在“和谐区间”， 在上单调递增， 所以， 所以，是的两个不等的实根， 令，（），则在上有两个不等的实根， 令，对称轴为， 则，解得，故C项正确； 对于D项，因为在，上单调递增，则， 所以，是的两个不等的实根， 又或， 所以，， 又， 所以存在“和谐区间”为，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 已知集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出集合，，利用并集的定义求解即可. 【详解】由题可得：，，所以; 故答案为： 13. 设函数，则函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再求出函数的定义域即可. 【详解】在函数中，令，解得：，所以的定义域为：, 在函数中，令，解得：，所以函数的定义域为：; 故答案为： 14. 定义在上的函数满足，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】当时，由，得到当时，成立，进而转化，再由分段函数代入相应解析式求得. 【详解】由题意知，当时，①， 当，即时，②， 所以当时，将②代入①式化简可得， 故当，且时，即时，. . 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 15. 设函数的定义域为，集合 （1）求集合； （2）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由定义域的定义即可求解; （2）由是的必要不充分条件可判断集合是集合的真子集,分类讨论的情况即可求解. 【小问1详解】 要使得函数有意义，只需要 解得，所以集合 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以， 当时，，解得： 当时，解得：， 综上可知，实数的取值范围是 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解分式不等式求解出集合，然后将代入求解出集合，然后根据交集的运算定义进行求解即可； （2）由，可得，然后分和两种情况分类讨论，根据子集的定义求解参数的取值范围. 【小问1详解】 ，当时，， 因此. 【小问2详解】 ，， 若，则，解得； 若，则，解得. 综上所述得， 故的取值范围为. 17. 某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元． （1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）； （2）该车若干年后有两种处理方案： ①当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出； ②当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出． 问：哪一种方案较为合算？并说明理由． 【答案】（1）第3年开始赢利；（2）方案②合算．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）设该车年开始盈利，可构造不等关系，结合可求得解集，由此得到结果； （2）由二次函数最值和基本不等式求最值分别求得两种方案的盈利总额，通过比较盈利总额和所需时长，得到方案②合算． 【详解】（1）客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元，若该车年开始赢利，则， 即，，， 该车营运第年开始赢利． （2）方案①赢利总额， 时，赢利总额达到最大值为万元． 年后卖出客车，可获利润总额为万元． 方案②年平均赢利总额（当且仅当时取等号）． 时年平均赢利总额达到最大值万元． 年后卖出客车，可获利润总额为万元． 两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，方案②合算． 【点睛】关键点点睛：本题考查建立拟合函数模型求解实际问题，解题关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合二次函数性质和基本不等式求得函数的最值. 18. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【小问1详解】 由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. 【小问2详解】 当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 19. 对于函数，存在实数，使成立，则称为关于参数m的不动点． （1）当，时，求关于参数1的不动点； （2）当，时，函数在上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围； （3）对于任意的，总存在，使得函数有关于参数m（其中）的两个相异的不动点，试求m的取值范围． 【答案】（1）-1和3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由不动点的定义解方程即可. （2）将在上有两个不同解转化为在上有两个不同的零点，结合二次函数零点分布即可求得结果. （3）由已知可得有两个不等的实根，即，将问题转化为对于任意的，总存在，使成立，进而转化为存在，，整理得存在，，令，进而转化为求在上的最大值，进而解即可. 【小问1详解】 当，时，， 令，可得即， 解得或， 所以当，时，关于参数1的不动点为和. 【小问2详解】 由已知得在上有两个不同解， 即在上有两个不同解， 令，则在上有两个不同的零点， 所以，解得：． 【小问3详解】 由题意知，函数有关于参数m的两个相异的不动点， 所以方程，即恒有两个不等实根， 则， 所以对于任意的，总存在，使成立， 即存在，，， 所以存在，， 即：存在，， 即：，， 令，， 对称轴为， ①当即时，， 所以，解得或，故不符合题意； ②当即时，， 所以，解得或， 所以. 综述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$