精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

2023-2024学年上学期高二数学12月月考 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 复数，则 A. B. 8 C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘法运算化简复数z，然后求出其模即可. 【详解】∵， ∴. 故选C 【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设， 则， . 2. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是棱的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，数形结合表示即可. 【详解】由题意，因为是棱的中点，所以. 因为，所以， 所以， 则. 故选：A 3. 平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点距离之和的几何意义分析即可 【详解】因为，表示点到两点的距离之和为2， 又，则点的轨迹就是线段. 故选：A 4. 若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则m的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】找到椭圆的右焦点，利用的准线过焦点，即可求解. 【详解】解：椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的右焦点，可得，解得． 故选：A． 5. 若直线与相离，则点与圆的位置关系为（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题设及点线距离公式有，进而可得即可判断位置关系. 【详解】由题设与直线的距离，即， 所以点在圆内. 故选：A 6. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或6 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行得到方程，求出或，通过检验舍去不合要求的解. 【详解】直线：与直线：平行， 所以，解得：或， ①当时，：，：，，符合题意； ②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去， 故， 故选：B 7. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，以的右焦点为圆心的圆与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由于双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以可得，所以双曲线的一条渐近线为，再由圆与它的渐近线相切，列方程可求出的值 【详解】解：由直线垂直的条件，可得，所， 由点到渐近线的距离， 可得，． 故选：D． 8. 已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计算方法，求解出的最小值. 【详解】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，， 所以，当且仅当，，三点共线时取得等号． 故选：C. 【点睛】本题考查根据双曲线的定义求解线段和的最小值，难度一般.（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解. 二、多选题（每小题5分，共4小题20分） 9. 已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 8 【答案】BC 【解析】 【分析】根据到焦点距离的范围求解即可. 【详解】由题意可知，所以，即. 故选：BC. 10. 已知双曲线E：，则（ ） A. E的焦距为6 B. E的虚轴长为 C. E上任意一点到E的两条渐近线的距离之积为定值 D. 过点与E有且只有一个公共点的直线共有3条 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线方程，得到，从而可判断出选项A和B的正误； 对于选项C，设出，求出双曲线的渐近线方程为，再直接求出到两渐近距离的乘积，再结合条件，即可判断出选项C的正误； 对于选项D，借助几何图形，再结合双曲线的性质，即可判断出选项D的正误. 【详解】因为双曲线E：，所以， 对于选项A，因为焦距为，故选项A正确； 对于选项B，因为虚轴长为，故选项B错误； 对于选项C，双曲线E：的渐近线方程为，即或， 设，则E的两条渐近线的距离之积为， 又，整理得，所以为定值； 对于选项D，如图，由双曲线的性质知，当直线过且与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，这样的直线有两条， 又双曲线的右顶点为，所以直线与双曲线只有一个交点， 当直线与渐近线不平行时，且斜率存在时， 设直线方程为，联立， 消得到， 由， 化简得到，得到， 综上，有4条直线与双曲线只有一个交点，故选项D错误， 故选：AC. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知求得，，.又椭圆的定义，即可判断A项；当点为短轴顶点时，的面积最大，即可得到B项；设出点的坐标，表示出，根据椭圆的范围即可得到范围，进而判断C项；由椭圆的定义可得，，，求出时的值域，即可判断D项. 【详解】 由可得，，，. 对于A项，的周长为，故A项错误； 对于B项，设，，则，所以当点为短轴顶点时，的面积最大，最大面积为，故B项正确； 对于C项，设，，，，则，，则.因为，所以，所以，又，所以，所以的取值范围为，故C项正确； 对于D项，由可得，，由C知，，则，因为，所以，所以，同理有.所以，当时有最大值4，当或时，值为3，但是且，所以的取值范围为，故D项正确. 故选：BCD. 12. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题意，代入公式，可得答案； 对于B，设动点，代入定义式，根据绝对值的定义，分段去掉绝对值，整理函数，可得答案； 对于C，由题意，作图，根据绝对值的几何意义，结合几何性质，可得答案； 对于D，取特殊值，计算可得答案. 【详解】对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知，则A正确； 对于B选项，设，则，从而，故B错误； 对于C选项，作轴，交直线于，过作，垂足为. 由曼哈顿距离的定义可知. 当不与重合时，因为直线的斜率为，所以，所以； 当与重合时，. 综上，，则.故C正确. 对于D选项，若，则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式对化简后代值求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 14. 已知是抛物线：的焦点，A是上的一点，若，则A的纵坐标为_________. 【答案】##3.5 【解析】 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：，准线为， 设A的纵坐标为， 由题意可知：，解得， 所以A的纵坐标为. 故答案为：. 15. 双曲线的弦被点平分，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意易得直线斜率存在时，设方程为，，进而联立方程，结合韦达定理，中点公式求解即可. 【详解】解：当直线斜率不存在时，方程为，根据双曲线的对称性，不能平分弦，故不满足题意； 当直线斜率存在时，设方程为，， 所以，联立方程得， 所以，，， 因为弦被点平分，所以， 所以，解得， 此时联立后的方程为，满足， 所以，直线的方程为，即 故答案为： 16. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若满足，则椭圆的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设直线方程为，联立椭圆方程得，由韦达定理得，再根据条件得，联立方程即可得出结果. 【详解】根据题意，设直线方程为，， 由，消得到， 易知，由韦达定理得， 又因为，所以，得到， 将代入，得到， 将代入，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分） 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合余弦定理即可求解， （2）由面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 整理得，∴， 由，∴； 【小问2详解】 ①，又②，由①②得，， ∴． 18. 在直角中，是直角，顶点，的坐标分别为，，圆是的外接圆． （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】（1）（2）或． 【解析】 【分析】（1）由是直径可得圆心坐标和半径 （2）一是考虑斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径求得，得切线方程中． 【详解】解：（1）∵在直角中，是直角，顶点，的坐标分别为，， ∴是直径，则的中点，即圆心， 半径， 则圆的方程为． （2）∵， ∴点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，到圆心的距离．此时满足直线和圆相切， 当直线斜率存在时，设为，则切线方程为， 即， 则圆心到直线的距离， 即，平方得， 即， 则，此时切线方程为， 综上求过点且与圆相切的直线的方程为或． 【点睛】本题考查求圆的切线方程，由圆心到切线距离等于半径判断直线与圆相切． 19. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接与交于点，连接 为三棱柱，为平行四边形，点为的中点 又为的中点，则， 又平面平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由已知条件得面，则，由得.以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由面得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由求得，然后利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1： ，面 面， ，，即 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 面，则平面的一个法向量为 设平面的法向量为，则，即 令 设平面与平面的夹角为， 平面与平面的夹角的余弦值是． 解法2：设点为的中点，点为的中点， 连接交于点，连接， 设点为的中点，连接 点为的中点，点为的中点 且，点为的中点 为矩形， 又平面， 在中，，可得 为等腰直角三角形，其中 而点为的中点，且 点为的中点，点为的中点 且， 又在Rt中，，点为的中点， 在中，，且点为的中点 且 即为平面与平面的夹角 在中， ． 平面与平面的夹角的余弦值是． 20. 已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 ​轴，且经过点​. （1）求抛物线方程; （2）若直线 ​与抛物线交于​两点，且满足​，求证: 直线​恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1） （2）定点，证明如下： 如图， 设直线 ​的方程为:​， 联立方程 ​ 消 ​有：​ 由于交于​两点，设​， 则 ​，即​， ​， 由 ​. 则 ​. 解得: ​，验证满足条件. 所以直线 ​的方程为​， 即证直线​恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点，代入即可求出结果; （2）由题意直线方程可设为，将其与抛物线方程联立，根据韦达定理，化简求解，即可求出定点. 【小问1详解】 由题可知，拋物线的开口向右， 设拋物线方程为 ​， 因为经过点​， 所以 ​，解得​ 所以，抛物线的标准方程为: ​. 【小问2详解】 略 21. 已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线定义得到，结合离心率得到，求出，得到双曲线的标准方程； （2）先分析得到直线的斜率不为0，设出直线的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据为直径的圆过原点，得到，从而列出方程，代入两根之和，两根之积，得到，再由弦长公式求出答案. 【小问1详解】 由双曲线的定义可得，解得：. 因为双曲线的离心率为，所以，解得. 因为，所以. 故双曲线的标准方程为 【小问2详解】 当直线的斜率为0时，此时两点为双曲线的顶点，故以为直径的圆不过原点，不合题意，舍去； 直线的斜率不为0，则设直线， 联立整理得， 则， 故. 因为以为直径的圆过原点，所以，所以 所以，即， 化简整理得，即， 则， 故. 【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中以为直径的圆过原点，所以，从而由向量数量积为0列出方程，注意考虑直线的斜率存在和不存在两种情况. 22. 已知焦距为2的椭圆：，，分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点且满足，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质直接求即可； （2）分斜率不存在，等于零，不等于零三种情况讨论，由弦长公式得出面积的表达式再用二次函数的单调性求得结果. 【小问1详解】 设 因为过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8 所以则有 所以 所以 所以的方程为 【小问2详解】 斜率不存在时.方程为，方程为 则有 所以 斜率为时.方程为，此时无法构成，不符合题意； 斜率存在且不为时.设方程为 则方程为 所以 由 得 所以 所以 同理，设 代入并化简可得. 所以 即... 令则 即 所以此时当时，面积最小， 【点睛】本题计算量较大，属于弦长问题；第一问直接由椭圆的定义可得；第二问需要分类讨论斜率不存在，等于零，不等于零三种情况，再由弦长公式得到面积的表达式，最后得出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上学期高二数学12月月考 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 复数，则 A. B. 8 C. D. 20 2. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是棱的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 不存在 4. 若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则m的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 若直线与相离，则点与圆的位置关系为（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 6. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或6 7. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，以的右焦点为圆心的圆与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 8 D. 7 二、多选题（每小题5分，共4小题20分） 9. 已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 8 10. 已知双曲线E：，则（ ） A. E的焦距为6 B. E的虚轴长为 C. E上任意一点到E的两条渐近线的距离之积为定值 D. 过点与E有且只有一个公共点的直线共有3条 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为8 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 12. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13. 已知，则________． 14. 已知是抛物线：的焦点，A是上的一点，若，则A的纵坐标为_________. 15. 双曲线的弦被点平分，则直线的方程为______． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若满足，则椭圆的离心率为___________. 四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分） 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 18. 在直角中，是直角，顶点，的坐标分别为，，圆是的外接圆． （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程． 19. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 20. 已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 ​轴，且经过点​. （1）求抛物线方程; （2）若直线 ​与抛物线交于​两点，且满足​，求证: 直线​恒过定点，并求出定点坐标. 21. 已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长. 22. 已知焦距为2的椭圆：，，分别为其左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点且满足，求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $