专题1.5 求二次函数解析式的九种类型（专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.5 求二次函数解析式的九种类型（专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）抛物线交轴正半轴于A、B两点，交轴于C点，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 3．（2024·四川成都·模拟预测）如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） 0 3 4 0 A．图象的开口向下 B．有最小值 C．图象与轴的一个交点是 D．图象的对称轴是 4．（2024·上海·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江·模拟预测）有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）在数学实践活动课中，某小组的四位同学对二次函数为常数，且的图象及其性质进行研究，分别得到如下结论： 小赵：该函数图象开口向上； 小钱：该函数的图象经过点； 小孙：该函数的图象经过点； 小李：该函数的图象的对称轴为直线． 若这四个结论中只有一个是错误的，则得到错误结论的同学是（     ） A．小赵 B．小钱 C．小孙 D．小李 9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 10．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图像上，则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为 ，它的对称轴为 ． 12．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）与抛物线形状相同，开口向上，顶点为的抛物线解析式为 ． 13．（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可） 14．（2024·四川成都·二模）已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ． 15．（2024·吉林长春·一模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和，点是抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最大值为 ． 16．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，抛物线的顶点在线段上移动，与x轴交于C、D两点，若，当四边形是矩形时，此时抛物线的解析式是 ．    17．（2024·广西南宁·二模）如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    18．（2024·辽宁·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则点D的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 20．（8分）（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的二次函数的图象过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求当时，的最大值与最小值． 21．（10分）（2024九年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线．抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和，求该抛物线的解析式； 22．（10分）（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线 经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连结，，． （1）求此抛物线的表达式； （2）求四边形的面积． 23．（10分）（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，的平分线交于点D，E为的中点．已知，二次函数的图象经过A，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）F，G分别为x轴、y轴上的动点，依次连接D、E、F、G构成四边形，求四边形周长的最小值． 24．（12分）（2024·山西晋中·模拟预测）综合与探究 如图所示，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，；直线l与抛物线交于点A，D，其中点D的横坐标为2． （1）求二次函数及直线的表达式； （2）点S是线段上的一个动点，过S点作y轴的平行线交抛物线于T点，求线段长度的最大值； （3）在直线AD下方的抛物线上的是否存在一动点P（P与A，D不重合），使的面积有最大值，若存在，求出最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B C B C D C D 1．A 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含30度的直角三角形等知识，根据题意画出图形，设的长为m，由含30度的直角三角形的性质可得出，，，，把A，C两点代入上求解再化解即可得出答案． 【详解】解：根据题意画出图形，设的长为m， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵A，C都在抛物线上， ∴ 解得： ①②得： ， 故选：A． 2．D 【分析】此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质． 根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 因为， 所以抛物线的开口向下．故A选项不符合题意． 因为， 所以当时，y随x的增大而减小．故B选项不符合题意． 令得，， 解得， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 又因为抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线经过第一、三、四象限．故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线．故D选项符合题意． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键． 由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为（、、为常数，）， 由题意可知， 解得， 二次函数的解析式为 ， 函数的图象开口向上，顶点为，图象与轴的交点分别为和， 图象的对称轴是，函数有最小值， 选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 4．B 【分析】依题意当时，，当时，得到，，而恒成立，即，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等． 【详解】解：当时，， ， 当时，， 即， 时，； 当时，，当时，， 即，， 解得：，， 对任意实数，恒有， 恒成立， 即， ， 即， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，解题的关键是明确关于直线翻折得到的图像与原图像关于直线对称．根据直线对称的特点即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数的图像的顶点为， ∴沿直线翻折后的二次函数的图像的顶点为， ∴另一个二次函数的表达式为，即． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，把，代入可得答案． 【详解】解：由与的形状一致，设该二次函数的表达式为， 把，代入得： ， 解得， ； 故选：B． 7．C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，由图知抛物线顶点：，故设，又因为交轴于，代入解析式即可． 【详解】解：图知抛物线顶点：， 故设， 又抛物线交轴于， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，利用二次函数图像的特征，根据题意逐一判断即可． 【详解】解：若该函数图象该函数的图象经过点，， 则， 解得：， 该函数图象开口向上；该函数的图象的对称轴为直线． 符合题意， 若小李的结论是正确的，则，即， ， 当函数的图象经过点，则，即； 当函数的图象经过点，则； 则小钱，小孙的结论都是错误的，不符合题意； 综上，小李的结论是错误的， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，交点式：是常数，，解题的关键是数形结合． 求出，设其解析式为交点式得到，代入求解即可判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，且与轴的交点为， 根据图象夹角为， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴设抛物线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键． 【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作于， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵点、的坐标分别是、， ∴， 解得：， ∴， ∵点在抛物线的图像上， ∴， ∴， 故选：D． 11． 直线 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，先根据两点式求出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求出对称轴即可． 【详解】解：抛物线的解析式为，即， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为，直线． 12． 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线形状相同，开口向上， ∴所求抛物线的． ∵顶点为， ∴所求抛物线为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式．设此函数的解析式为，再把点，代入求出、的值即可． 【详解】解：设此函数的解析式为， 图象过点、， ， 解得， 这个函数表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 14． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及根于系数的关系，熟练掌握待定系数法及根与系数的关系是解题关键． 利用根与系数的关系得出，再将点C代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将三点代入到中，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出是解题的关键．求得抛物线的解析式，设，则，即可得出，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】解： ∵抛物线经过点和， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 设，则， ∵点P是抛物线上第一象限内一动点， ∴ ∴的最大值为 故答案为： 16． 【分析】本题考查二次函数性质与几何图形应用，根据矩形的性质得到，设抛物线解析式为，求得顶点坐标为，代入求出a即可得到抛物线的解析式． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 又∵C、D两点在x轴， ∴轴，轴，轴， ∴， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 将点代入，得 ∴， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 17．/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求二次函数解析式．先求出，然后用待定系数法求解即可． 【详解】如图，作于点C    ∵，，， ∴， ∴， 设函数解析式为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，过点作交于点，过点作，根据题意证明为等腰直角三角形，根据待定系数法求出直线的解析式，联立即可得到答案． 【详解】解：连接，连接，过点作交于点，过点作， ，则为等腰直角三角形，， 由勾股定理得：， ， ， 即， ， 由，得， ， 是等腰直角三角形， ， 的坐标为， ， ， 设的直线的解析式为， 将，代入得： ，解得， 过的直线的解析式为， 令， 解得或， 直线与抛物线的两个交点为， 则点D的坐标为． 故答案为：． 19． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． 20．(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据题意将代入即可得到答案； （2）根据对称轴得到函数增减性即可计算． 【详解】（1）解：将代入 ，解得 ； （2）解：对称轴， 时， ， ，故时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， 当时， ． 21． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和，可得两个交点为，，再利用待定系数法解答即可求解，正确求出交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和， ∴两个交点为，， 把、代入得，， 解得， ∴． 22．(1)； (2)12． 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点式解析式、三角形面积等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）由正方形性质，得到，，将其代入，利用待定系数法解题； （2）利用配方法，将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，最后根据结合三角形面积公式解题． 【详解】（1）由已知得：，， 把B与C坐标代入得 ， 解得：， 则解析式为； （2）∵， ∴抛物线顶点D坐标为， 则． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查待定系数法，二次函数图像的图像和性质，勾股定理以及利用轴对称求最短路径，熟练掌握二次函数图像的图像和性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式即可求出答案； （2）利用轴对称求最短路径的相关概念，延长至，使，延长至，使，连接，交x轴于F点，交y轴于G点，得到即可求出答案． 【详解】（1）解：将代入二次函数，得： ， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交x轴于F点，交y轴于G点， ， ， 由图像可知，， E为的中点， E点坐标为， 的平分线交于点D， ， 故得， 由勾股定理，得 ， ， ． 24．(1)二次函数解析式为；直线的表达式为 (2)线段长度的最大值是 (3)存在，的最大面积是，此时点P的坐标为 【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点S的横坐标为m，线段长度为l，则，当，有最大值，求出即可； （3）过点P作y轴的平行线交直线于Q点，连接，，则点P的坐标为，点Q的坐标为，可得，当，S有最大值，求出结果即可； 本题主要考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点，分别代入二次函数得， 解得， 二次函数解析式为 当时，， 点； 设直线的表达式为，将点，分别代入得， 解得 直线的表达式为； （2）如图设点S的横坐标为m，线段长度为l， 则点S的坐标为，点T的坐标为， 当，有最大值，最大值是 线段长度的最大值是； （3）存在． 如图过点P作y轴的平行线交直线于Q点，连接，， 设点P的横坐标为t，的面积为S， 则点P的坐标为，点Q的坐标为， 当，S有最大值，最大值是 的最大面积是，此时点P的坐标为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$