精品解析：福建省上杭县第一中学2025届高三上学期暑期考试数学试题

上杭一中高三数学月考试题 出卷人：游华秀 审题人：罗洪祥 一、单选题：5分*8=40分 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出集合、，再根据补集，交集的定义计算可得. 【详解】解：由，即，解得，所以， 又，所以， 所以，所以，所以． 故选：D． 2. 命题“，是奇函数”的否定是（ ） A. ，是偶函数 B. ，是奇函数 C. ，是偶函数 D. ，不是奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案． 【详解】命题“，是奇函数”的否定是：，不是奇函数， 故选：D． 3. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】当时，，所以， 因为为定义在上奇函数，所以，且， 所以 故选：D 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可. 【详解】解：令， 在上单调递减， 在内递增，且恒大于且 . 故选：C. 5. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 6. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立，解得， 又因为对于任意的，都有成立， 所以， 所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，则在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上，. 故选：D. 7. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断的单调性，再比较的大小关系，由单调性可得的大小关系. 【详解】， 令，则上单调递增， 令，则在上单调递减， 由复合函数的单调性知函数在上单调递减， 又在上单调递减， 而，所以函数在上单调递减， 由得， （证明：令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，， 时，，即） . ，， ， 即， 又函数在上单调递减， ，即. 故选：. 8. 设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数零点的定义，转化为函数，在上的图象有公共点求解. 【详解】由，得， 依题意，在上有解，记，， 因此函数在上的图象有公共点，，如图， 当时，，显然函数在上的图象无公共点， 当时，函数图象都关于对称， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 二、多选题：6分*3=18分 9. 已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，则的最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】由结合基本不等式即可判断A；由基本不等式，换元法及一元二次不等式的解法即可判断B；由基本不等式“1”的妙用即可判断C；由基本不等式及一元二次不等式的解法即可判断D． 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，，即，当且仅当时，等号成立， 设，则，解得，即， 当时，取等号，所以，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，，因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以的最大值为，故D错误， 故选：BC． 10. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 方程仅有6个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据为偶函数和为奇函数可得即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D. 【详解】A：为偶函数，故， 令，得， 为奇函数，故， 令，得，其中， 所以，故A正确； B：因为为奇函数，则,得， 又为偶函数，则，得， 所以，令得， 即，则， 即，所以8为函数的一个周期. 故，所以， 从而为奇函数，故B正确； C：在区间上是增函数，且的图象关于点对称， 所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C错误； D：作出与大致图象，如图所示， 其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点， 故方程仅有6个实数解，故D正确. 故选：ABD. 11. 定义在R上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 时， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的满足，可确定函数的周期性，从而可判断A；结合周期性由时的解析式即可得时的解析式，从而可判断B；根据函数周期性与对称性即可判断C，D. 【详解】因为函数的，所以，则，故函数的周期为，所以，故A正确； 又当时，，则当时，，，故B不正确； 由周期可得，又函数是R上的奇函数， 所以，即，所以，故C正确； 当时，，所以，又因为，所以，， 则，所以，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题：5分*3=15分 12. 已知，且，，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：． 13. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由奇偶性得的值，再根据函数的奇偶性与单调性化简后求解， 【详解】由题意可得 则 当时，单调递增，因为是偶函数， 所以当时单调递减，而 故等价于，得， 解得或， 故答案为： 14. 函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，作出的图象，结合图象即可求解 【详解】根据新定义，作出的图象如下： 要使的图象上恰有3对点关于原点对称， 则与的图象恰有3个交点，如图所示， 则解得. 故答案为： 四、解答题： 15. 已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增 （1）求函数的解析式; （2）设函数，求函数在区间上的最小值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据幂函数的定义和性质列关系式求即可；(2) 分别在，，条件下，结合二次函数的单调性求函数在区间上的最小值即可. 【小问1详解】 因为幂函数在区间上单调递增， 所以，故或1， 当时，不满足偶函数，故舍去； 当时，满足偶函数， 故； 【小问2详解】 因为，由(1)可得，函数的图象的对称轴为， 当即时， 函数在区间上单调递增， 所以， 当即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 当即时，函数在区间上单调递减，所以， 综上所述： 16. 一个袋子中有7个大小相同的球，其中有2个红球，2个蓝球，3个黑球，从中随机取出3个球． （1）求至少取到2个黑球的概率； （2）设取到一个红球得2分，取到一个蓝球得1分，取到一个黑球得0分，记总得分为X，求X的分布列和均值． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型去求至少取到2个黑球的概率； （2）先利用古典概型求得随机变量X的每一个值的概率，进而得到X的分布列，利用随机变量的均值定义即可求X的均值． 【小问1详解】 记“至少取到2个黑球”， 事件A包含：①取到2个黑球，1个红球或蓝球；②取到3个黑球． 所以，故至少取到2个黑球的概率为． 【小问2详解】 X所有可能取值为0，1，2，3，4，5． 即取到2个红球，1个蓝球，则； 即取到1个红球，2个蓝球，或取到2个红球，1个黑球， 则； 即取到1个红球，1个蓝球，1个黑球，则； 即取到1个红球，2个黑球，或取到2个蓝球，1个黑球， 则； 即取到1个蓝球，2个黑球，则； 即取到3个黑球，则． 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，过点作平面． （1）证明：平面平面； （2）已知点F为棱的中点，若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得，利用线面垂直得，进而得平面EAC，结合已知条件得证； （2）利用空间向量法可求 【小问1详解】 设AC与BD的交点为O，连接OF， 因为，且，所以， 因为，所以，，， 且，，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，即， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面EAC， 所以平面EAC， 又因为平面，且平面EAC， 所以平面平面 【小问2详解】 因为，平面， 所以两两垂直， 如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，， 所以， 因为点F为棱的中点， 所以， 设平面FBD的一个法向量为， 则，所以， 取，得， 所以平面FBD的一个法向量为， 记直线AD与平面FBD所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）题目可转化为 ：对任意的都成立，再利用变换主元的方法，把看作自变量，看作参数，即可求解； （2）由函数解析式, 令，再分离参数k，即可求解. 【小问1详解】 ，当时， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得： 【小问2详解】 令则 ,因为不等式在区间上有解 ，又   而 ,即实数的取值范围是 19. 已知函数； （1）设函数，求函数的极值； （2）若不等式当且仅当在区间上成立；求的最大值 （3）实数满足，求证：． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数并判断出其单调性，即可得出极值； （2）结合函数图象将不等式恒成立转化为图象之间位置关系，得出等量关系并求得的表达式利用二次函数性质可求出结论； （3）分别对不等式左右两边利用作差法并构造函数，由导函数求得其单调性即可证明得出结论. 【小问1详解】 ， 令， 令，得， 当时，，当时，， 可得上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． 【小问2详解】 ，得， 易知在上单调递减，在上单调递增，即可得在上单调递增； 易知在处的切线方程为，即； 若不等式当且仅当在区间上成立； 结合及的图象可知，需满足， 可得，． 于是， 易知当时，取得最大值， 故． 【小问3详解】 先证明左边：作差 ； 因为，令，则； 令 当时，，函数在上是增函数，所以， 因此，所以， 即，故； 对于右边 令， 令，则恒成立； 所以在上单调递减， 可得，即， 所以，即， 即，故． 综上得． 【点睛】关键点点睛：在证明不等式时关键是先利用作差法再根据表达式特征，构造函数并利用导数求出函数单调性及其最值，即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上杭一中高三数学月考试题 出卷人：游华秀 审题人：罗洪祥 一、单选题：5分*8=40分 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，是奇函数”否定是（ ） A. ，偶函数 B. ，是奇函数 C. ，是偶函数 D. ，不是奇函数 3. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：6分*3=18分 9. 已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，则的最大值 10. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 方程仅有6个实数解 11. 定义在R上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 时， C D. 三、填空题：5分*3=15分 12. 已知，且，，则的最小值是____________． 13. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是__________. 14. 函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是___________. 四、解答题： 15. 已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增 （1）求函数解析式; （2）设函数，求函数在区间上的最小值 16. 一个袋子中有7个大小相同的球，其中有2个红球，2个蓝球，3个黑球，从中随机取出3个球． （1）求至少取到2个黑球的概率； （2）设取到一个红球得2分，取到一个蓝球得1分，取到一个黑球得0分，记总得分为X，求X的分布列和均值． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，过点作平面． （1）证明：平面平面； （2）已知点F为棱的中点，若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 19 已知函数； （1）设函数，求函数的极值； （2）若不等式当且仅当在区间上成立；求的最大值 （3）实数满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$