精品解析：福建省上杭县第一中学2025届高三上学期暑期考试数学试题

上杭一中高三数学月考试题 出卷人：游华秀 审题人：罗洪祥 一、单选题：5分*8=40分 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，是奇函数”的否定是（ ） A. ，是偶函数 B. ，是奇函数 C. ，是偶函数 D. ，不是奇函数 3. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：6分*3=18分 9. 已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，则的最大值 10. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 方程仅有6个实数解 11. 定义在R上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 时， C. D. 三、填空题：5分*3=15分 12. 已知，且，，则的最小值是____________． 13. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是__________. 14. 函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是______． 四、解答题： 15. 已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增 （1）求函数的解析式; （2）设函数，求函数在区间上的最小值 16. 一个袋子中有7个大小相同的球，其中有2个红球，2个蓝球，3个黑球，从中随机取出3个球． （1）求至少取到2个黑球的概率； （2）设取到一个红球得2分，取到一个蓝球得1分，取到一个黑球得0分，记总得分为X，求X的分布列和均值． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，过点作平面． （1）证明：平面平面； （2）已知点F为棱的中点，若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 19. 已知函数； （1）设函数，求函数的极值； （2）若不等式当且仅当在区间上成立；求的最大值 （3）实数满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭一中高三数学月考试题 出卷人：游华秀 审题人：罗洪祥 一、单选题：5分*8=40分 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出集合、，再根据补集，交集的定义计算可得. 【详解】解：由，即，解得，所以， 又，所以， 所以，所以，所以． 故选：D． 2. 命题“，是奇函数”的否定是（ ） A. ，是偶函数 B. ，是奇函数 C. ，是偶函数 D. ，不是奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案． 【详解】命题“，是奇函数”的否定是：，不是奇函数， 故选：D． 3. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】当时，，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以，且， 所以 故选：D 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可. 【详解】解：令， 在上单调递减， 在内递增，且恒大于且 . 故选：C. 5. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 6. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立，解得， 又因为对于任意的，都有成立， 所以， 所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，则在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上，. 故选：D. 7. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断的单调性，再比较的大小关系，由单调性可得的大小关系. 【详解】， 令，则在上单调递增， 令，则在上单调递减， 由复合函数的单调性知函数在上单调递减， 又在上单调递减， 而，所以函数在上单调递减， 由得， （证明：令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，， 时，，即） . ，， ， 即， 又函数在上单调递减， ，即. 故选：. 8. 设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数零点的定义，转化为函数，在上的图象有公共点求解. 【详解】由，得， 依题意，在上有解，记，， 因此函数在上的图象有公共点，，如图， 当时，，显然函数在上的图象无公共点， 当时，函数图象都关于对称， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 二、多选题：6分*3=18分 9. 已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，则的最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】由结合基本不等式即可判断A；由基本不等式，换元法及一元二次不等式的解法即可判断B；由基本不等式“1”的妙用即可判断C；由基本不等式及一元二次不等式的解法即可判断D． 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，，即，当且仅当时，等号成立， 设，则，解得，即， 当时，取等号，所以，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，，因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以的最大值为，故D错误， 故选：BC． 10. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 方程仅有6个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据为偶函数和为奇函数可得即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D. 【详解】A：为偶函数，故， 令，得， 为奇函数，故， 令，得，其中， 所以，故A正确； B：因为为奇函数，则,得， 又为偶函数，则，得， 所以，令得， 即，则， 即，所以8为函数的一个周期. 故，所以， 从而为奇函数，故B正确； C：在区间上是增函数，且的图象关于点对称， 所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C错误； D：作出与的大致图象，如图所示， 其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点， 故方程仅有6个实数解，故D正确. 故选：ABD. 11. 定义在R上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 时， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的满足，可确定函数的周期性，从而可判断A；结合周期性由时的解析式即可得时的解析式，从而可判断B；根据函数周期性与对称性即可判断C，D. 【详解】因为函数的，所以，则，故函数的周期为，所以，故A正确； 又当时，，则当时，，，故B不正确； 由周期可得，又函数是R上的奇函数， 所以，即，所以，故C正确； 当时，，所以，又因为，所以，， 则，所以，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题：5分*3=15分 12. 已知，且，，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：． 13. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由奇偶性得的值，再根据函数的奇偶性与单调性化简后求解， 【详解】由题意可得 则 当时，单调递增，因为是偶函数， 所以当时单调递减，而 故等价于，得， 解得或， 故答案为： 14. 函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，作出的图象，再求出图象关于原点对称的图象对应的函数解析式，由交点个数并结合图象列式求解 【详解】根据新定义，作出的图象如下： 由的图象上恰有3对点关于原点对称，得函数图象关于原点对称的图 象与的图象有3个交点，由，得，则， 因此函数的图象与的图象恰有3个交点， 当时，函数的图象与的图象只有2个交点，不符合题意， 则，即，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题： 15. 已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增 （1）求函数的解析式; （2）设函数，求函数在区间上的最小值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据幂函数的定义和性质列关系式求即可；(2) 分别在，，条件下，结合二次函数的单调性求函数在区间上的最小值即可. 【小问1详解】 因为幂函数在区间上单调递增， 所以，故或1， 当时，不满足偶函数，故舍去； 当时，满足偶函数， 故； 【小问2详解】 因为，由(1)可得，函数的图象的对称轴为， 当即时， 函数在区间上单调递增， 所以， 当即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 当即时，函数在区间上单调递减，所以， 综上所述： 16. 一个袋子中有7个大小相同的球，其中有2个红球，2个蓝球，3个黑球，从中随机取出3个球． （1）求至少取到2个黑球的概率； （2）设取到一个红球得2分，取到一个蓝球得1分，取到一个黑球得0分，记总得分为X，求X的分布列和均值． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型去求至少取到2个黑球的概率； （2）先利用古典概型求得随机变量X的每一个值的概率，进而得到X的分布列，利用随机变量的均值定义即可求X的均值． 【小问1详解】 记“至少取到2个黑球”， 事件A包含：①取到2个黑球，1个红球或蓝球；②取到3个黑球． 所以，故至少取到2个黑球的概率为． 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5． 即取到2个红球，1个蓝球，则； 即取到1个红球，2个蓝球，或取到2个红球，1个黑球， 则； 即取到1个红球，1个蓝球，1个黑球，则； 即取到1个红球，2个黑球，或取到2个蓝球，1个黑球， 则； 即取到1个蓝球，2个黑球，则； 即取到3个黑球，则． 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，过点作平面． （1）证明：平面平面； （2）已知点F为棱的中点，若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 设AC与BD的交点为O，连接OF， 因为，且，所以， 因为，所以，，， 且，，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，即， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面EAC， 所以平面EAC， 又因为平面，且平面EAC， 所以平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得，利用线面垂直得，进而得平面EAC，结合已知条件得证； （2）利用空间向量法可求 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面， 所以两两垂直， 如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，， 所以， 因为点F为棱的中点， 所以， 设平面FBD的一个法向量为， 则，所以， 取，得， 所以平面FBD的一个法向量为， 记直线AD与平面FBD所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）题目可转化为 ：对任意的都成立，再利用变换主元的方法，把看作自变量，看作参数，即可求解； （2）由函数解析式, 令，再分离参数k，即可求解. 【小问1详解】 ，当时， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得： 【小问2详解】 令则 ,因为不等式在区间上有解 ，又   而 ,即实数的取值范围是 19. 已知函数； （1）设函数，求函数的极值； （2）若不等式当且仅当在区间上成立；求的最大值 （3）实数满足，求证：． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数并判断出其单调性，即可得出极值； （2）结合函数图象将不等式恒成立转化为图象之间位置关系，得出等量关系并求得的表达式利用二次函数性质可求出结论； （3）分别对不等式左右两边利用作差法并构造函数，由导函数求得其单调性即可证明得出结论. 【小问1详解】 ， 令， 令，得， 当时，，当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． 【小问2详解】 ，得， 易知在上单调递减，在上单调递增，即可得在上单调递增； 易知在处的切线方程为，即； 若不等式当且仅当在区间上成立； 结合及的图象可知，需满足， 可得，． 于是， 易知当时，取得最大值， 故． 【小问3详解】 先证明左边：作差 ； 因为，令，则； 令 当时，，函数在上是增函数，所以， 因此，所以， 即，故； 对于右边 令， 令，则恒成立； 所以在上单调递减， 可得，即， 所以，即， 即，故． 综上得． 【点睛】关键点点睛：在证明不等式时关键是先利用作差法再根据表达式特征，构造函数并利用导数求出函数单调性及其最值，即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $