精品解析：北京市北京理工大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学练习

高三数学第一学期开学练习 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A B. C. D. 5. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A B. C. D. 9. 某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ） A. 2千克/小时 B. 3千克/小时 C. 4千克/小时 D. 6千克/小时 10. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是_________． 12. 已知关于的不等式的解集为，则的值_________. 13. 已知函数，则__________；的最小值为__________. 14. 已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________. 15. 已知函数，有如下四个结论： ①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形；④方程有且只有一个实根. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列. （1）求的通项公式及前项和； （2）求数列前10项和. 17. 已知二次函数的最小值为1，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数a的取值范围； （3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围． 18. 近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.彭先生计划在这6个国产新能源品牌或在这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，彭先生使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表： 充电时间段 充电价格（元/千瓦时） 充电服务费（元/千瓦时） 峰时 10：00-15：00和18：00-21：00 1.0 平 时 7：00-10：00，15：00-18：00和21:00-23：00 0.7 0.8 谷时 当日23：00-次日7：00 0.4 （1）若彭先生在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率. （2）若彭先生选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，..，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设为彭先生每次充电的费用，求的分布列和数学期望. （3）求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时平均费用. （4）假设彭先生一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． （3）在区间上有两个零点，求m的范围？ 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）若函数的极小值为0，求a的值； （3）在（2）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值 21. 对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有： （i ）； （ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数. （1）设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数； （2）设数列通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值； （3）设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学第一学期开学练习 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合B，利用集合交运算求. 【详解】由题设，或， 所以. 故选：B 2. 下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，可以说明它在上不是单调递增，从而即可判断；对于BC，可以说明它们的值域并不是，从而判断；对于D，由对数函数性质即可判断. 【详解】对于A，若，由，则，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，二次函数的最小值为，值域并不是，故B错误； 对于C，幂函数在上单调递增，但是它的值域是，并不是，故C错误， 对于D，当时，，由对数函数性质可知在上单调递增，且值域为，故D正确. 故选：D. 3. 若，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案. 【详解】AD选项，，则，但，所以AD选项错误. B选项，若，则，所以B选项错误. C选项，若，由于在上递增，所以，所以C选项正确. 故选：C 4. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断在是连续的增函数，再结合零点存在性定理可求得结果. 【详解】因为和在上都是连续的增函数， 所以在上是连续的增函数， 所以在上至多有一个零点， 因为，， 所以， 所以唯一的零点所在的区间为， 故选：C 5. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由在上单调递减，确定，以及的范围，再根据单调递减确定在分段点处两个值的大小，从而解决问题. 【详解】解：由题意得： 是上的减函数 解得： 故 a的取值范围是 故选：C 6. 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简不等式，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案. 【详解】的定义域是，AB选项错误. ①， 由解得或， 画出的图象如下图所示， 由图可知，不等式①的解集为. 故选：D 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立. 【详解】当，时，， 则当时，有，解得，充分性成立； 当，时，满足，但此时，必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 故选：D. 9. 某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ） A. 2千克/小时 B. 3千克/小时 C. 4千克/小时 D. 6千克/小时 【答案】C 【解析】 【分析】生产100千克该产品获得的利润为，令，由换元法求二次函数最大值即可. 【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，， 令，，则，故当时，最大，此时. 故选：C 10. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，则的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a，b，c，最后根据单调性比较大小. 【详解】由得，∴的周期为2， 又为偶函数，则，， ∵，在上单调递增，∴. 故选：A 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 12. 已知关于的不等式的解集为，则的值_________. 【答案】3 【解析】 【分析】对原不等式等价变形，分是否等于2进行讨论，根据一元二次不等式、方程之间的关系即可求解. 【详解】， 当时，原不等式等价于，故不符合题意， 当时，根据一元二次不等式解集可得，解得， 而当时，原不等式等价于或，故符合题意； 综上所述，的值为3. 故答案为：3. 13. 已知函数，则__________；的最小值为__________. 【答案】 ①. 4 ②. -1 【解析】 【分析】根据单调性分别讨论分段函数每段的最小值，再综合判断. 【详解】， 在区间内单调递减，故在上无最小值，且 在区间内单调递增，故， 故答案为：-1 14. 已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合开口方向以及判别式求得的取值范围. 【详解】当恒成立， 当时，且， 解得：， 当时,成立， 所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题 所以的取值范围为：或． 故答案为： 15. 已知函数，有如下四个结论： ①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形；④方程有且只有一个实根. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案. 【详解】的定义域为，， 因为在上单调递增，且恒成立，所以在上递增，①错误. 由于， ， 所以的值域为，故②错误； 由于， 所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确. 由得 构造函数，在上单调递增， ， 所以在上存在唯一零点，也即方程有且只有一个实根，④正确. 所以正确结论的序号是③④. 故答案为：③④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列. （1）求的通项公式及前项和； （2）求数列前10项和. 【答案】（1），； （2）50 【解析】 【分析】（1）利用等比中项求出，再利用等差数列的通项公式以及前和公式即可求解. （2）讨论值，判断出数列从第几项开始为正，再利用等差数列的前和公式即可求解. 【小问1详解】 等差数列的公差为，，， ，，成等比数列，则，解得， 故等差数列的首项为，公差为. 所以， . 综上所述，，； 【小问2详解】 由（1）可得当时，，当时，. . 17. 已知二次函数的最小值为1，且． （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数a的取值范围； （3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，结合，求得，即可求解； （2）根据二次函数的性质，结合题意，得到不等式，即可求解； （3）根据题意，转化为在区间上恒成立，设，结合二次函数的性质，求得的最小值为，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为， 因为函数的最小值为，可设， 又因为，可得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由函数，其对称轴为， 要使得函数在区间上不单调，则满足， 解得，即实数a的取值范围为. 小问3详解】 解：由函数， 若在区间上，的图象恒在的图象上方， 则由在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 设，其对称轴为，则在上单调递减， 所以函数的最小值为，则有， 所以实数m的取值范围为． 18. 近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.彭先生计划在这6个国产新能源品牌或在这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，彭先生使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表： 充电时间段 充电价格（元/千瓦时） 充电服务费（元/千瓦时） 峰时 10：00-15：00和18：00-21：00 1.0 平 时 7：00-10：00，15：00-18：00和21:00-23：00 0.7 0.8 谷时 当日23：00-次日7：00 0.4 （1）若彭先生在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率. （2）若彭先生选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，..，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设为彭先生每次充电的费用，求的分布列和数学期望. （3）求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用. （4）假设彭先生一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少. 【答案】（1） （2）分布列见解析，48元 （3）1.5元 （4）新能源汽车花费更少. 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布概率计算； （2）根据题意求概率，列分布列，再计算数学期望； （3）分别确定各种可能费用以及概率即可求解； （4）计算两种汽车的花费，比较大小即可求解. 【小问1详解】 记事件：品牌被选中，则. 【小问2详解】 由题，在18：00-21：00有6个时间点，充电价格为1.0元/千瓦时， 在21：00-23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时， 在23：00，23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时， 可能的取值有，则， 分布列如下： 54 45 36 所以元. 【小问3详解】 充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为， 充电1千瓦时的费用为1.5元的概率为， 充电1千瓦时的费用为1.2元的概率为， 所以充电1千瓦时的平均费用为元. 【小问4详解】 若彭先生选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为元， 若彭先生选择新燃油汽车，则需要的能源消耗支出为元， 结合购车成本有，所以新能源汽车花费更少. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． （3）在区间上有两个零点，求m的范围？ 【答案】（1）的单调减区间为；单调增区间为， （2）1个 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可； （2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域然后数形结合即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. 【小问2详解】 因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. 【小问3详解】 若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数的极小值为0，求a的值； （3）在（2）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，根据导函数的正负确定原函数单调性，即可由极值求解， （3）将问题转化为对任意的，，构造函数，即可结合分类讨论求解函数的单调性求解. 【小问1详解】 当时，，则， 故，又， 故在点处的切线方程为 【小问2详解】 ， 故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值，故，故 【小问3详解】 由（2）知，故， 故对任意的，成立，只需要对任意的，， 记，则， ①时，此时， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取极小值也是最小值， 故，不符合题意， ②当时，此时， 故当时， ，单调递增， 故，符合题意， ③当时，此时， 故当时， ，单调递减， 故，不符合题意， ④当时，故当时， ，单调递减， 故，不符合题意， 综上可得， 所以实数的最小值为. 21. 对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有： （i ）； （ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数. （1）设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数； （2）设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值； （3）设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值. 【答案】（1）30；2是数列4阶系数． （2）26 （3）26 【解析】 【分析】（1）根据阶系数的定义进行判断； （2）根据4阶系数定义列出相应的等量关系，进行求解； （3）根据阶系数的定义建立方程，构造函数，根据函数性质得到不等式组，进行求解． 【小问1详解】 因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且， 得． 数列通项公式为，所以当时， , 所以2是数列的4阶系数． 【小问2详解】 因为数列的阶系数为3，所以当时，存在，使成立． 设等差数列的前项和为，则, 令，则, 所以，, 设等差数列前项和为，， 则, 令，则, 所以， 当时，， 当时，， 则，解得． 【小问3详解】 设数列为等差数列，满足，2均为数列的阶系数，， 则存在，使 成立． 设数列的公差为，构造函数． 由已知得 ， 所以，函数至少有三个零点，，， 由函数可知为偶数，且满足， 得， 所以，解得， 构造等差数列为：，，，，38， 可知当时命题成立，即的最大值为26． 【点睛】本题主要考查数列的综合运用，根据阶系数的定义建立方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$