精品解析：江苏省南京市玄武高级中学2024-2025学年高三上学期期初考试数学测评卷

2025届高三8月适应性练习 玄高 高三数学 2024.8.26 命题人：沈亚琴 审核人：罗新春 注意事项： 1.本试卷共分4页.满分150分.考试用时150分钟. 2.答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡上，正确填涂考试号.答案涂、写在答题卡上指定位置.考试结束后交回答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合，再求交集. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：C 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算，结合复数的意义求解即得. 【详解】由，得， 所以复数的虚部为. 故选：C 3. 已知向量，，，则实数（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出，，.由已知可得，展开代入，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，，. 因为， 所以，， 所以有， 所以，，解得. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. - B. - C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求得答案. 【详解】由，， 两边平方后相加得， 即,得， 所以, 故选:C. 5. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设半球的半径为，连接交于点，连接，利用四棱锥的体积公式求出半径，再代入球的体积公式即可求解. 【详解】依题意，设半球的半径为， 连接交于点，连接，如图所示： 则有，易得， 所以正四棱锥的体积为： ， 解得：， 所以半球的体积为：. 故选：C. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数在两个区间上的单调性分别求出的范围，再考虑由时左右函数值的大小关系得到的的范围，求其交集即得 【详解】当时， ,依题须使恒成立，则； 当时，由在上递增，须使，即； 又由解得 . 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 7. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定函数定义域为，分别画出函数与函数的图象，再根据在端点处的斜率关系求出零点个数为6个，再由对称性可求出所有零点之和为9. 【详解】易知，可得，即函数的定义域为， 函数的零点即方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标. ，，故两函数的图象都是从原点出发，且是一个交点， 且两个函数的图象都关于直线对称. 函数对应的曲线方程为，表示一个半圆，如图所示： 半圆在、处的切线斜率不存在， 而在、处的切线斜率分别为，， 可见，这两个函数的图象在区间上有6个交点，且这些交点关于直线对称， 而两个关于直线对称的点的横坐标之和等于3，故函数所有零点的和是9 故选：C 8. 已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定不正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 为偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据以及可得，即可判断函数的周期性，进而可判断AB，由复合函数的求导，即可判断CD. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，A正确； 又，故，即， 所以， 故，所以是以4为周期的周期函数， 所以，且不能确定一定成立，故B错误； 因为，所以， 令，则，C正确； 因为，所以， 故，又， 所以，所以为偶函数，D正确． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三个密度函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，，则存在实数，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的性质判断A,B,再根据已知求解概率即可判断C,D.. 【详解】根据正态曲线关于对称，且μ越大曲线越靠近右边，则，故A错误； 又σ越小数据越集中，曲线越瘦高，则，故B正确． ，，则, 所以，C正确； 若，，，则存在实数，使，D正确. 故选：BCD． 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值； 对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可； 对于D：分析可得，结合的单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为R， 且， 当时，；当或时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：对于不等式， 因为，即为不等式的解，但， 所以不等式的解集不为，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 因为函数在上单调递增，所以，故D正确； 故选：BD. 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若，且，则该双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，结合，且，可求得，进而得到答案. 【详解】因为在双曲线的左右支上，所以， ①②得，，即，又，所以，得，又, 所以离心率. 故答案为：. 13. 已知函数，，若直线是曲线与的公切线，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出与的公切线，再求，的值即可． 【详解】设直线与的图象相切于点,，与的图象相切于点,， 又，，． 由点,在切线上，得； 由点,在切线上，得． 故，解得， 故 故答案为： 14. 数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变幻多端，由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数……以此类推，一共10行，设是从上往下数第行中的最大数，则的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型逐个得出概率总结规律即可解题. 【详解】一共 10 行，第10行需要 10 个数， 则最大数在第10行的概率为, 第9行需要 9 个数， 则剩余数中最大数在第9行的概率为 第n行需要 n个数， 则剩余数中最大数在第n行的概率为 满足的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知． （1）当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． （2）记与的面积分别为和，请求出的最大值． 【答案】（1）为定值，定值为1 （2）14 【解析】 【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；法二：在中由余弦定理得 ，在中由余弦定理得，两式相减可得答案； （2）由面积公式可得，令转化为二次函数配方求最值即可． 【小问1详解】 法一：在中，由余弦定理， 得，即①， 同理，在中，， 即②， ①②得， 所以当长度变化时，为定值，定值为1； 法二：在中，由余弦定理 得，即， 同理，在中，， 所以， 化简得，即， 所以当长度变化时，为定值，定值为1； 【小问2详解】 ， 令， 所以， 所以，即时， 有最大值为14． 16. 在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是. （1）求椭圆的方程； （2）当时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出，得椭圆的方程； （2）设直线，的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和求出和的方程，再求出O到直线的距离，可求的面积. 【小问1详解】 由题意知，，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线的斜率为0，不满足， 直线的斜率为0，则三点共线，不合题意， 所以直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 同理可得， 由，得，解得，则， ∴直线的方程为， ∴坐标原点O到直线的距离为， 即的面积的面积为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 17. 如图，在三棱柱中，，，且平面平面. （1）求证：平面平面； （2）设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为，所以. 因为，所以. 在中，，即， 所以，即. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以， 在中，，，， 所以，即， 所以. 而，平面，平面，， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理可得，则，进而由面面垂直的性质得出平面，即得，在中，由余弦定理求出可得，结合可得平面，即可证明； （2）以为坐标原点，以为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量关系求解. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，以为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，， 平面，，， 在三棱柱中，，可得，， 为中点，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得， 则， 设直线与平面所成角为， 则, 故直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数． （i）求的值； （ii）证明：存在实数 ，使得曲线关于直线对称． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当 时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）； （ii）证明：函数的定义域为．若存在 ，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以 ． 可知曲线关于直线对称． 【解析】 【分析】（1）求出，求导，，分和 两种情况讨论函数的单调性. （2）（ⅰ）求出，直接计算，即可得结果；（ⅱ）根据的定义域，推断函数的对称轴为，验证即可. 【小问1详解】 由题意可知，则的定义域为， ， 当时，，则在上单调递减； 当 时，令，即，解得， 若，； 若，， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当 时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 （i）函数，则，，故． （ii）略 19. 对于给定的正整数k,若数列{an}满足 对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”. (1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； （2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用等差数列性质得，即得，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得，，再将条件集中消元：，，即得，最后验证起始项也满足即可． 试题解析：证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则， 从而，当时， ， 所以， 因此等差数列是“数列”. （2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此， 当时，，① 当时，.② 由①知， ，③ ，④ 将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为. 在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 所以数列是等差数列. 点睛:证明为等差数列的方法：①用定义证明：为常数）；②用等差中项证明：；③通项法：为关于的一次函数；④前项和法：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三8月适应性练习 玄高 高三数学 2024.8.26 命题人：沈亚琴 审核人：罗新春 注意事项： 1.本试卷共分4页.满分150分.考试用时150分钟. 2.答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡上，正确填涂考试号.答案涂、写在答题卡上指定位置.考试结束后交回答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则实数（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或1 4. 已知，则（ ） A. - B. - C. D. 5. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 8. 已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定不正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 为偶函数 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三个密度函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，，则存在实数，使得 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若，且，则该双曲线的离心率为___________. 13. 已知函数，，若直线是曲线与的公切线，则____________. 14. 数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变幻多端，由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数……以此类推，一共10行，设是从上往下数第行中的最大数，则的概率为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知． （1）当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． （2）记与的面积分别为和，请求出的最大值． 16. 在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是. （1）求椭圆的方程； （2）当时，求的面积. 17. 如图，在三棱柱中，，，且平面平面. （1）求证：平面平面； （2）设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数． （i）求的值； （ii）证明：存在实数 ，使得曲线关于直线对称． 19. 对于给定的正整数k,若数列{an}满足 对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”. (1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； （2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $