精品解析：江苏省南京市第一中学2024-2025学年高三上学期8月阶段性检测数学试卷

南京一中2024-2025学年度第一学期高三阶段性检测试卷 数学 2024.08 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式确定集合B，再根据并集的概念求. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：B 2. 已知复数（其中i为虚数单位，）．若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的乘法，写出，再根据纯虚数的概念求参数. 【详解】， 因为是纯虚数，所以. 故选：B 3. 有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生都要有，则不同的选法共有（ ） A. 135种 B. 150种 C. 165种 D. 270种 【答案】A 【解析】 【分析】先对不同的选法分类：1男2女，2男1女，再分步求解. 【详解】不同的选法种数中，1男2女的选法有：种； 2男1女的选法种数有：种. 所以共有选法：种. 故选：A 4. 设a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对A：若，在空间中，直线的位置关系部能确定，故A错； 对B：若，则或，故B错； 对C：若，当直线不平行时，，当直线平行时，直线与平面的位置关系不能确定，故C错； 对D：两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.故D正确. 故选：D 5. 已知 是单位向量，，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，先求，再根据，求. 【详解】因为是单位向量，所以. 又，即. 又，所以. 故选：C 6. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先可得，然后当时，，然后建立不等式求解即可. 【详解】因为将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 所以 当时， 因为函数在区间上是单调增函数，所以 解得 故选：C 7. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，令，则，由双曲线定义及所给条件可得，得，再结合直线的斜率为，即可求解. 【详解】取的中点，连接，令，则，如图， 因点为双曲线左右两支上的点， 由双曲线定义得，， 则， 令双曲线的半焦距为， 直角中，， 直角中，， 则有，即， 因直线的斜率为，即，即， 于是有，则，解得， 因此双曲线的离心率. 故选：C. 8. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，然后结合赋值法求出，，再研究函数的周期性，即可得到问题的答案. 【详解】因为函数的定义域为，且①， ①式中，用替换，可得：② 由①②得：，所以函数为偶函数. ①式中，令，可得：； 另：令，可得：，所以； 令可得：，所以； 令可得：，所以. ①式中，用替换，可得：， 迭代可得：，即. 所以，故是以6为周期的周期函数. 所以，， 所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：对于函数方程的问题，采用“赋值法”可求一些特殊的函数值，这往往是问题的突破口. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某公司给一款新产品投放广告，根据统计，投入单位：万元的广告费与该产品的收益单位：万元的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得到经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 与的样本相关系数 B. C. 当投入万元的广告费时，该产品的收益一定是万元 D. 时，残差为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据和的变化规律，即可判断A；计算出，将样本中心点代入回归直线方程，即可求，即可判断B；根据回归直线方程的概念分析即可判断C;根据回归直线方程计算时的，计算，即可判断D． 【详解】对于A，由表格可知，越大，越大，所以与有正相关关系，所以相关系数，故 A正确； 对于B，,，则样本中心点为，将样本中心点代入直线方程，得，所以，故 B正确； 对于C，，当时，，该产品的收益大概是万元，C选项错误； 对于D，,当时， 则残差为，故D选项错误． 故选：AB． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 是图象的一条对称轴 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平方关系和二倍角公式将函数降幂化简，然后结合三角函数的性质分析每个选项. 【详解】 ． 对选项A，，故A正确； 对选项B，函数定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，故B正确； 对选项C，，，由余弦函数的单调性可知C正确； 对选项D，或，故D错误. 故选：ABC 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点A，B和点D，E，其中点A，D在第一象限，过抛物线C上一点分别作的垂线，垂足分别为M，N，O为坐标原点，若，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则直线的倾斜角为 C. 四边形的面积的最小值为64 D. 四边形的周长的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线和抛物线的位置关系结合韦达定理，结合向量数量积可得，得，判断A，结合向量坐标运算可判断B，根据弦长公式结合抛物线焦半径性质判断C选项．根据基本不等式判断D选项. 【详解】对A，由题意得，准线方程为， 设直线，与联立得， 设,，,，故， 则，所以，解得， 故准线方程为，A正确； 对B，由A选项可知，， 因为，所以，代入，得，即， 因为点在第一象限，所以，解得， 故直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，解得B正确； 对D，抛物线的焦点的坐标为，．且四边形为矩形， 因为，， 所以，由， 即，当且仅当时，等号成立， 所以四边形周长的最大值为，故D正确； 对C，由A选项，得，， 则，同理得， ， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时，故C错误． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据二项式定理的通项公式，即可求解． 【详解】因为的展开式通项公式为， 其中， 故二项式的展开式中的系数为：． 故答案为：. 13. 设随机变量X服从正态分布，则的最小值为______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】由题意可知，，再由基本不等式求解即可． 【详解】由题意可知，正态曲线关于对称，所以， 所以， 因为，得， 得，等号成立时，， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，．则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得到，即，结合角的范围可得，，令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】由，根据正弦定理得：， 由于，可知，即， 因为为钝角，则为锐角，即， 则，则． ． 因为为锐角，所以，即，则， 设，则， ． 因为，则，从而． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知是各项均为正数，公差不为的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）定义在数列中，使为整数的叫作“调和数”，求在区间内所有“调和数”之和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合等比中项的知识求得等差数列的公差，从而求得通项公式. （2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前项和公式求得. 【小问1详解】 因为成等比数列，所以， 因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为， 所以，整理得，解得， 所以. 【小问2详解】 设，所以， 又，可取大于2的所有整数， 令，且为整数， 所以可以取， 此时分别为， 所以区间内所有“调和数”之和 . 16. 甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球. （1）求第4个回合甲发球的概率； （2）设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）分布列如下： 1 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）分类讨论结合独立事件乘法公式计算即可； （2）分情况讨论列出分布列并计算期望即可. 【小问1详解】 由题可知，第2回合甲发球的概率为，乙发球的概率为. 所以第3回合甲发球的概率为， 乙发球的概率为. 可得第4个回合甲发球的概率为. 故第4个回合甲发球的概率为； 【小问2详解】 由题意可知：可以取1，2，3，4. 当时，；当时，； 当时，前4个回合甲发球两次的情况分以下三种： 第一种情况，甲第1，2回合发球，乙第3，4回合发球，其概率为. 第二种情况，甲第1，3回合发球，乙第2，4回合发球，其概率为. 第三种情况，甲第1，4回合发球，乙第2，3回合发球，其概率为. 故前4个回合甲发球两次的概率为； 当时，， 故的分布列为： 1 2 3 4 . 17. 如图，在多面体中，底面是平行四边形，，为的中点，． （1）证明： （2）若多面体的体积为，求半面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在中，由余弦定理可得， ，，， ，平面， 平面，又平面，， 由于，所以四边形为平行四边形， ，． （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，由勾股定理得，再由，得平面，，从而四边形为平行四边形，，，由此能证明． （2）推导出平面，取中点，连接，设，由多面体的体积，求出，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 又，平面， 平面， 取中点，连接，设， 设多面体的体积为， 则． 解得． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,2,，,1,，,,，,0,， ． 则平面的一个法向量， ,1,，,0,， 设平面的一个法向量， 则，取，得， 所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左，右顶点分别、，短轴长为2，以为直径的圆与直线相切 （1）求椭圆的方程． （2）过点作直线l交椭圆于，两点（与，不重合），连接交于点．证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）先确定，再根据直线与圆的位置关系求，可得椭圆标准方程. （2）设直线：，与椭圆方程联立，求出，，再得到直线的方程，求出交点即可判断. 【小问1详解】 易知：， 由以为直径的圆与直线相切，所以点到直线的距离为， 所以. 所以，椭圆的方程为：》 【小问2详解】 如图： 因为直线的斜率不为0，所以可设直线：，将其带入椭圆，得： ， 整理得：. 由得：. 设，，则，. 所以 又， 所以直线的方程为：， 直线的方程为： 所以. 所以. 即与的交点在定直线：上. 19. 若函数满足：对任意的实数，有恒成立，则称函数为“增函数”. （1）求证：函数不是“增函数”； （2）若函数是“增函数”，求实数的取值范围； （3）设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”. 【答案】（1）取，则， 因为，故函数不是“增函数”. （2） （3）， 根据题意，得，可得方程的一个解， 令，则，故在上是严格增函数， 所以是唯一解，又，此时在处的切线方程即为， 故；设，其中，， 由在上是严格增函数以及，得，即， 所以在上是严格增函数， 因为，则， 故，得证， 所以函数是“增函数”. 【解析】 【分析】（1）利用给定新函数定义，举反例即可证明. （2）结合新函数定义得恒成立，利用不等式求解范围即可. （3）借助导数的几何意义，对该函数求导后，令导数函数值为1，可得该方程的根，且时其中一个根，结合导数可证明该函数严格单调递增，故有且仅有，而后设出，根据在上是严格增函数，可得在上是严格增函数，又，则，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是“增函数”， 故任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题时给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键是要理解函数的新定义，明确其含义，依此取判断解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2024-2025学年度第一学期高三阶段性检测试卷 数学 2024.08 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中i为虚数单位，）．若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生都要有，则不同的选法共有（ ） A. 135种 B. 150种 C. 165种 D. 270种 4. 设a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知 是单位向量，，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某公司给一款新产品投放广告，根据统计，投入单位：万元的广告费与该产品的收益单位：万元的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得到经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 与的样本相关系数 B. C. 当投入万元的广告费时，该产品的收益一定是万元 D. 时，残差为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 是图象的一条对称轴 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点A，B和点D，E，其中点A，D在第一象限，过抛物线C上一点分别作的垂线，垂足分别为M，N，O为坐标原点，若，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则直线的倾斜角为 C. 四边形的面积的最小值为64 D. 四边形的周长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______． 13. 设随机变量X服从正态分布，则的最小值为______． 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，．则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知是各项均为正数，公差不为的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）定义在数列中，使为整数的叫作“调和数”，求在区间内所有“调和数”之和． 16. 甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球. （1）求第4个回合甲发球的概率； （2）设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望. 17. 如图，在多面体中，底面是平行四边形，，为的中点，． （1）证明： （2）若多面体的体积为，求半面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的左，右顶点分别、，短轴长为2，以为直径的圆与直线相切 （1）求椭圆的方程． （2）过点作直线l交椭圆于，两点（与，不重合），连接交于点．证明：点在定直线上． 19. 若函数满足：对任意的实数，有恒成立，则称函数为“增函数”. （1）求证：函数不是“增函数”； （2）若函数是“增函数”，求实数的取值范围； （3）设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $