精品解析：湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024年下学期长郡斑马湖中学高二入学考试 数学 考试范围：必修二；满分150分，考试时间：120分钟. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知定义在上的偶函数满足，当时，．给出下列四个结论：①的图象关于直线对称；②在上为减函数；③的值域为；④有个零点，其中正确的结论是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①② 2. 在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件 “第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件 “第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C D. 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ） A B. 5 C. D. 5. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且），则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 7. 某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的20个球，其中6个红球、14个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球2次，每次从中任取一球，每个红球兑换20元，每个黑球兑换5元，则每位参与者获奖的期望是（ ） A. 15．5元 B. 31元 C. 9．5元 D. 19元 8. 在中，，，垂足为D.若，，则AD的长为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ） A. 与所成的角为 B. 该半正多面体过、、三点的截面面积为 C. 该半正多面体的体积为 D. 该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式 10. 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A 若复数满足，则 B. 若复数，满足，则 C. 若复数，则可能是纯虚数 D. 若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限 11. 如图，已知是边长为4的等边三角形，分别是，的中点，将沿着翻折，使点运动到点处，得到四棱锥，则（ ） A. 对任意的点，始终有平面 B. 对任意的点，始终有 C. 翻折过程中，四棱锥的体积有最大值9 D. 存在某个点的位置，满足平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则__________． 13. 已知，，若，则__________． 14. 已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点． （1）的值为________； （2）若，且的面积为，求b的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量， （1）若与垂直，求k； （2）若向量，若与共线，求. 16. 某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会． ②依次参加A，B，C游戏. ③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元． 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： （1）甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由． （2）在（1）的基础上，解答下列两问． （ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率． （ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数． 17. 如图，在四边形ABCD中，，且，若P，Q为线段AD上的两个动点，且. （1）当为AD的中点时，求CP的长度； （2）求的最小值. 18. 如图，已知，直线平面，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，求证：平面平面． 19. 已知向量，，定义函数． （1）若函数为偶函数，求实数的值； （2）当时，关于的方程，在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期长郡斑马湖中学高二入学考试 数学 考试范围：必修二；满分150分，考试时间：120分钟. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知定义在上的偶函数满足，当时，．给出下列四个结论：①的图象关于直线对称；②在上为减函数；③的值域为；④有个零点，其中正确的结论是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据的奇偶性和周期性，结合当时，，可得到函数的图象，可判断①②③；在同一直角坐标系中画出和的图象，即可判断④的正误． 【详解】由题意知，偶函数，且当时，， 所以当时，， 又因为，所以周期为2， 所以当时，；当时，． 故可画出的图象，如图所示： 由图可知，关于对称，在先减后增，的值域为， 故①正确，②③错误； 再在同一直角坐标系下画出的图象， 由图可知：与有个交点， 即有个零点，故④正确． 故选：A． 2. 在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件 “第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件 “第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对立事件的性质判断B；由结合乘法公式得出，进而判断ACD. 【详解】依题意，事件对立，，故B正确； 设盒子中有个红球，个黄球， ，，故AD正确； ，故C错误； 故选：C 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知：该几何体为高、底面边长均为2的正三棱柱，结合正三棱柱的外接球的结构特征求球的半径，即可得表面积. 【详解】由三视图可知：该几何体为高、底面边长均为2的正三棱柱， 则外接球的球心即为两底面三角形的中心连线的中点，如图所示： 可知底面外接圆半径， 则外接球的半径， 所以外接球的表面积为. 故选：D． 4. 在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积可推出，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】由于,，故有，解得， 又，则, 故选：A． 5. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且），则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出点G到平面D1EF的距离即为点A1到平面D1EF的距离，再由等体积法求解即可. 【详解】∵长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点， G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）， ∴D1E=， ∵A1B1∥EF，∴点G到平面D1EF的距离即为点A1到平面D1EF的距离， 设这个距离为h， ∵， ∴h=． ∴点G到平面D1EF的距离为． 故选：D． 6. 是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 【详解】由题意可得：. 故选：C． 7. 某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的20个球，其中6个红球、14个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球2次，每次从中任取一球，每个红球兑换20元，每个黑球兑换5元，则每位参与者获奖的期望是（ ） A. 15．5元 B. 31元 C. 9．5元 D. 19元 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到每位参与者获奖奖金数的可能取值，计算对应的概率，利用期望的公式，求得数学期望，即可求解. 【详解】由题意知，设每位参与者获奖奖金数为，则的可能取值为， 则， ， 所以每位参与者获奖的期望是（元）. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的计算问题，其中解答中认真审题，准确求得随机变量的取值和相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8. 在中，，，垂足为D.若，，则AD的长为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦函数定义，利用射影定理求解即可. 【详解】由射影定理，得，， 即，， 即，， 又∵，∴. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ） A. 与所成的角为 B. 该半正多面体过、、三点的截面面积为 C. 该半正多面体的体积为 D. 该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式 【答案】ABD 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义可判断A选项；由截面为正六边形可求面积判断B选项；利用柱体和锥体的体积公式可判断C选项；根据顶点，面数，棱数判断D选项. 【详解】该半正多面体，是由棱长为的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的. 对于A选项，连接、、，易知是等边三角形， 因为、分别为、的中点，则，同理可得， 所以， 与所成的角为，A对； 对于B选项，如图，过、、三点的截面为正六边形， 又，所以正六边形面积为，B对； 对于C选项，因为由正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的， 所以该几何体的体积为，C错； 对于D选项，几何体顶点数为，有个面，条棱，满足，D对. 故选：ABD. 10. 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数，满足，则 C. 若复数，则可能是纯虚数 D. 若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限 【答案】AD 【解析】 【分析】 A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果； D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】A选项，设，则其共轭复数为， 则，所以，即；A正确； B选项，若，，满足，但不为；B错； C选项，若复数表示纯虚数，需要实部为，即，但此时复数表示实数，故C错； D选项，设，则， 所以，解得或，则或， 所以其对应的点分别为或，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确. 故选：AD. 11. 如图，已知是边长为4的等边三角形，分别是，的中点，将沿着翻折，使点运动到点处，得到四棱锥，则（ ） A. 对任意的点，始终有平面 B. 对任意的点，始终有 C. 翻折过程中，四棱锥的体积有最大值9 D. 存在某个点的位置，满足平面平面 【答案】AB 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；取中点，利用线面垂直的判定、性质推理判断B；求出四棱锥的体积最大值判断C；确定平面与平面所成角判断D作答. 【详解】等边的边长为4，分别是，的中点，则， 对于A，由，平面，平面，得平面，A正确； 对于B，取的中点，连接，由，得， 而平面，于是平面，又平面， 则，所以，B正确； 对于C，延长交于，则，等腰梯形的面积 为，由选项B知，平面平面，而平面平面， 因此点在平面上的射影在上，点到平面的距离， 当且仅当，即平面时取等号，四棱锥的体积 为，C错误； 对于D，连接，由选项C知，，即为锐角，令平面平面， 由选项A知，，从而平面，又平面，则， 即是平面与平面所成二面角的平面角，所以平面与平面不垂直，D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用平面向量数量积的运算定义和垂直的向量结论可解． 【详解】解：因为，所以， 所以， 所以， 故答案为：． 13. 已知，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用平面向量的坐标运算，利用向量平行的坐标表示列方程求解． 【详解】，， 因为， 所以， 所以． 故答案为：． 14. 已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点． （1）的值为________； （2）若，且的面积为，求b的值为________． 【答案】 ①. 20 ②. 8 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解； （2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解. 【详解】（1）由知， ， （2）设， ， 可得， 所以， 所以， 所以， 故答案为：（1）20；（2）8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量， （1）若与垂直，求k； （2）若向量，若与共线，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助数量积的坐标运算即可得； （2）借助向量共线定理与模长的坐标表示计算即可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为与垂直，所以， 整理得，解得； 【小问2详解】 因为，，， 所以，， 因与共线，故， 所以，解得， 所以，， 所以. 16. 某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会． ②依次参加A，B，C游戏. ③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元． 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： （1）甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由． （2）在（1）的基础上，解答下列两问． （ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率． （ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数． 【答案】（1）甲，理由见解析； （2）（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即得. （2）（ⅰ）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即得；（ⅱ）按游戏使用次数，求出值及对应的概率，再用列表法表示出函数关系即可. 【小问1详解】 甲运动员成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80， 而乙运动员成绩位于的频率为0.6，，则其中位数小于80， 所以甲运动员参加第二阶段游戏. 【小问2详解】 （ⅰ）若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会， ①游戏共使用2次机会，则概率； ②游戏共使用3次机会，则概率， 所以甲能参加游戏的概率为. （ⅱ）由甲参加每个游戏获胜的概率都是，得参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为， ①游戏使用了4次，则或50； ②游戏使用了3次，则或150； ③游戏使用了2次，游戏使用2次，则或150； ④游戏使用了2次，游戏使用1次，则或350； ⑤游戏使用了1次，游戏使用3次，则或150； ⑥游戏使用了1次，游戏使用2次，则或350； ⑦游戏使用了1次，游戏使用1次，则或350或550，其中有2种情况， 因此，当时，；当时，，当时，； 当时，；当时，， 所以用列表法表示关于的函数为： 0 50 150 350 550 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 17. 如图，在四边形ABCD中，，且，若P，Q为线段AD上的两个动点，且. （1）当为AD的中点时，求CP的长度； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，结合向量的几何意义和数量积的定义即可求解； （2）设（），根据平面向量的线性运算可得，，利用数量积的运算律可得，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以， 又， 所以； 【小问2详解】 设，， 则， ， 所以 ， 当时，取到最小值，且为. 18. 如图，已知，直线平面，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，求证：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，设，连接，根据中位线定理可知，而平面，平面，满足定理所需条件； （2）欲证平面平面，根据面面垂直的判定定理可知在平面内一直线与平面垂直，根据线面垂直的判定定理可证得直线平面，而，则直线平面，而直线平面，满足定理条件． 【小问1详解】 设，连接． 由四边形为平行四边形，得是的中点． 又是中点，在中，． 平面，平面，平面 小问2详解】 ，． 又直线平面，平面． 又，平面直线平面． 由（1）知，，直线平面． 又直线平面，平面平面． 19. 已知向量，，定义函数． （1）若函数为偶函数，求实数的值； （2）当时，关于的方程，在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若是偶函数，则有恒成立，结合对数的运算，可得对恒成立，可求得结果； （2）在上单调递增，且，则，得，令，，问题转化为在上有两解，即与的图象恰有两个不同的交点，利用二次函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 ，定义域为， 若偶函数，则有恒成立，即：， 则， 即对恒成立，故； 【小问2详解】 当时，在上单调递增，在也单调递增， 所以在上单调递增，且， 则可化为， 又因为单调递增，得，换底得，即， 令，因，则， 问题转化为在上有两解，即在上有两解， 令，， 即与的图象恰有两个不同的交点， 当时，；当时，；当时，， 因此，又，解得， 故实数的范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$